第11章 图形的平移与旋转
11.3 图形的中心对称
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知识点1 中心对称和成中心对称
1.(2023湖北十堰期末)下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
(1) (2) (3) (4)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点2 中心对称的性质
2.(2023河北石家庄栾城期末)如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论不一定成立的是( )
A.OC=OC' B.OA=OA'
C.BC=B'C' D.∠ABC=∠A'C'B'
3.如图,点A为△ABC与△AB'C'的对称中心,若∠C=90°,BC=,AC=1,则BB'的长为( )
A.2 B.4 C.4 D.8
4.在平面直角坐标系中,点P(3,-2)关于点Q(1,0)成中心对称的点的坐标是 .
知识点3 作一个图形关于某一点成中心对称的图形
5.(2023山东济南历下期中)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1.
(2)平移△ABC,点A的对应点A2的坐标为(3,5),画出平移后对应的△A2B2C2.
(3)请写出(2)中点A的平移距离: .
知识点4 关于原点对称的点的坐标特征
6.【新独家原创】点P(-2,3)关于原点的对称点P1的坐标为 ,点P1关于x轴的对称点P2的坐标为 .
知识点5 中心对称图形
7.【中华优秀传统文化】(2023山东菏泽中考)剪纸是我国最古老的民间艺术之一.下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
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8.(2023宁夏中考,16,★★☆)下图是由边长为1的小正方形组成的9×6的网格,点A,B,C,D,E,F,G均在格点上,下列结论:①点D与点F关于点E成中心对称;②连接FB,FC,FE,则FC平分∠BFE;③连接AG,则点B,F到线段AG的距离相等.其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
9.(2021山东临沂中考,18,★★☆)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A、B的坐标分别是(-1,1)、(2,1),将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点C1的坐标是 .
10.(2022黑龙江牡丹江中考,22,★★☆)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,△ABC与△DEF的顶点均在格点上,请按要求完成下列各题.
(1)在图中画出点O的位置.
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1.
(3)在网格中画出格点M,使A1M平分∠B1A1C1.
11.【教材变式·P190T9】(2022山东聊城冠县期末,22,★★☆)如图,△ABC与△AB'C'关于点A成中心对称,且∠BAC=90°,AB=2,AC=4.连接BC',B'C.
(1)判断四边形B'CBC'的形状,并说明理由.
(2)求四边形B'CBC'的面积.
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12.【几何直观】知识背景:过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将这个图形分成面积相等的两部分.
(1)如图①,直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O,分别与AD,BC交于点E,F,则 (填“>”“<”或“=”).
(2)两个正方形按如图②所示的方式摆放,O为小正方形对角线的交点,求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分.
(3)八个大小相同的正方形按如图③所示的方式摆放,求作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
图① 图② 图③
答案全解全析
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1.C 把一个图形绕一个点旋转180°,如果能和另一个图形重合,那么这两个图形关于这个点成中心对称.(2)(3)(4)中的两个图形成中心对称.
2.D 根据中心对称的性质可知,OC=OC',OA=OA',故选项A,B正确;成中心对称的两个图形是全等形,那么对应线段相等,对应角相等,所以BC=B'C',∠ABC=∠A'B'C',选项C正确;无法证明选项D正确.
3.B 在△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=1,
∴AB==2,
∵△ABC与△AB'C'关于点A成中心对称,
∴点B,A,B'在一条直线上,AB=AB',
∴BB'=2AB=4.故选B.
4.答案 (-1,2)
解析 设点P关于点Q成中心对称的点的坐标是(x,y).
由题意得解得
∴点P关于点Q成中心对称的点的坐标是(-1,2).
5.解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
(3)AA2==5,故点A的平移距离为5.
6.答案 (2,-3);(2,3)
解析 关于原点对称,横、纵坐标都变成相反数,
所以点P1的坐标为(2,-3).
关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标变成相反数,
所以点P2的坐标为(2,3).
7.A 选项A既是轴对称图形,又是中心对称图形,
故选A.
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8.答案 ①②③
解析 ①连接DF,如图1,易知点D与点F关于点E成中心对称,正确;
②连接BC,CE,如图2,由SSS可知△BFC≌△EFC,
∴∠BFC=∠EFC,
∴FC平分∠BFE,正确;
③取AG上的格点M,N,连接BM,FN,如图3,由正方形的性质可知∠AMB=∠FNG=90°,∴B到AG的距离为BM的长度,F到AG的距离为FN的长度,而BM=FN,∴点B,F到线段AG的距离相等,正确.
∴正确结论是①②③.
9.答案 (4,-1)
解析 因为平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,所以点A与点C关于原点对称,因为A(-1,1),所以C(1,-1),所以将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,顶点C的对应点C1的坐标是(4,-1).
10.解析 (1)如图所示,点O即为所求.
(2)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(3)如图所示,点M即为所求.
11.解析 (1)四边形B'CBC'是菱形,理由如下:
因为△ABC与△AB'C'关于点A成中心对称,所以点B,A,B'在一条直线上,点C,A,C'在一条直线上,AB'=AB,AC'=AC,所以四边形B'CBC'是平行四边形,因为∠BAC=90°,所以BB'⊥CC',所以 B'CBC'是菱形.
(2)由(1)知四边形B'CBC'是菱形,BB'=2AB=4,CC'=2AC=8,所以菱形B'CBC'的面积为BB'·CC'=×4×8=16.
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12.解析 (1)=.(2)如图1所示.
图1 图2
(3)如图2所示(答案不唯一).
