第8章 一元一次不等式
8.2 一元一次不等式
基础过关全练
知识点1 不等式的解与解集
1.(2022山东聊城阳谷期末)下列x的值中,是不等式x-1<1的解的是( )
A.-3 B.2 C.3 D.
2.下列说法正确的是( )
A.x=3是不等式x+1>2的解集
B.x=6是不等式x+1>2的一个解
C.不等式-4x>8的解集是x=-2
D.不等式x+2>1的解集是x>3
3.【易错题】【新独家原创】“满足x<2的每一个数都是不等式x+3<6的解,所以不等式x+3<6的解集是x<2”,这句话是否正确 请说明理由.
知识点2 不等式解集的表示方法
4.【教材变式·P91例1】(2023广西中考)x≤2在数轴上表示正确的是( )
5.(2023四川成都嘉祥外国语学校期中)所给不等式的解集在数轴上的表示,正确的是( )
A.x≤3 B.x≥-3
C.x<-4 D.x≤1
6.一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示,则这个不等式的正整数解是 .
7.【新独家原创】在数轴上表示下列不等式的解集,并回答相关问题.
(1)x>-2,并写出所有的非正整数解.
(2)x<0,并写出最大整数解.
(3)x≥-2.5,并写出最大负整数解.
知识点3 一元一次不等式的定义与解法
8.(2023山东菏泽定陶期中)下列不等式中,是一元一次不等式的是( )
A.x2+3x>1 B.x-<0
C.+> D.-<5
9.在解不等式>的过程中,出现错误的一步是 ( )
去分母,得5(x+2)>3(2x-1),①
去括号,得5x+10>6x-3,②
移项,得5x-6x>-10-3,③
合并同类项、系数化为1,得x>13.④
A.① B.② C.③ D.④
10.(2023湖北宜昌中考)将不等式>x-1的解集表示在数轴上正确的是( )
AB
CD
11.(2023内蒙古包头中考)关于x的一元一次不等式x-1≤m的解集在数轴上的表示如图所示,则m的值为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
12.(2023山东菏泽单县期中)不等式-5≤0的非负整数解共有
个.
13.【新考向·新定义试题】(2023山东聊城东阿期中)定义新运算:对于任意实数a,b,都有a△b=a(a-b)+1,例如:2△5=2×(2-5)+1=-6+1=-5.若3△x的值小于16,则满足条件的最小整数x为 .
14.解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
(1)3(x+2)+1<13; (2)<+1.
15.先化简,再求值:÷(*),其中x是不等式≤x-3的解,且是满足(*)式的最小整数解.
能力提升全练
16.(2023陕西西安铁一中学期中,8,★★☆)已知是不等式kx+2y≤4的一个解,则整数k的最小值为( )
A.3 B.-3
C.4 D.-4
17.(2023山东菏泽单县期中,18,★★☆)若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y-2m+1>0,则m的取值范围是 .
18.(2022江苏南京期末,14,★★☆)若ax+m≤3的解集为x≥2,则关于y的不等式a(1-y)+m≤3的解集为 .
19.【分类讨论思想】(2020四川绵阳中考,18,★★★)若不等式>-x-的解都能使不等式(m-6)x<2m+1成立,则实数m的取值范围是 .
20.(2022河北中考,20,★☆☆)整式3的值为P.
(1)当m=2时,求P的值.
(2)若P的取值范围如图所示,求m的负整数值.
21.【新考向·规律探究题】(2023北京市十一学校期中改编,24,★★☆)对于正数x,观察下列不等式及其解集的特征:①x+<3的解集是1
(2)第n个不等式为 ,其解集为 .
(3)根据上述规律,解关于正数x的不等式x-1+<4a+2(a为正整数).
素养探究全练
22.【运算能力】
(1)求不等式5(a-2)+8<6(a+2)+7a的最小整数解.
(2)若(1)中的最小整数解满足关于x,y的二元一次方程2x-ax=2y+3,请写出此方程的一对整数解.
23.【运算能力】是否存在整数m(m≠0),使关于x的不等式1+>+与x+1>的解集相同 若存在,求出整数m的值和不等式的解集;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
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1.A 把各个选项代入不等式,只有x=-3能使不等式x-1<1成立,所以x=-3是不等式x-1<1的解.
2.B x=3是不等式x+1>2的一个解,选项A错误,不符合题意;x=6是不等式x+1>2的一个解,选项B正确;不等式-4x>8的解集为x<-2,选项C错误,不符合题意;不等式x+2>1的解集是x>-1,选项D错误,不符合题意.
3.解析 这句话不正确,理由:当x=2时,不等式x+3<6成立,所以x=2是不等式x+3<6的解,但x<2中不包含x=2,不符合解集的定义,所以这句话不正确.
4.C x≤2在数轴上表示为下图,故选C.
5.B 选项A中的数轴所表示的不等式的解集为x<2,选项B中的数轴所表示的不等式的解集为x≥-3,选项C中的数轴所表示的不等式的解集为x>-4,选项D中的数轴所表示的不等式的解集为x≥1.
6.答案 1,2
解析 由题中数轴可以看出不等式的解集为x<3,所以这个不等式的正整数解是1,2.
7.解析 (1)x>-2在数轴上表示为,所有的非正整数解为-1,0.
(2)x<0在数轴上表示为,最大整数解为-1.
(3)x≥-2.5在数轴上表示为,最大负整数解为-1.
8.C 根据一元一次不等式的定义,+>是一元一次不等式.x2+3x>1的未知数的最高次数是2,x-<0含有两个未知数,-<5的未知数出现在分母中,都不是一元一次不等式.
9.D 合并同类项、系数化为1,得x<13,故选D.
10.D >x-1,去分母,得1+4x>3(x-1),去括号,得1+4x>3x-3,移项,得4x-3x>-3-1,合并同类项,得x>-4,在数轴上表示其解集,如图所示.
11.B 根据数轴,可知不等式的解集是x≤3,x-1≤m移项,得x≤m+1,∴m+1=3,解得m=2.
12.答案 6
解析 去分母,得2x-1-10≤0,移项,得2x≤1+10,合并同类项,得2x≤11,系数化为1,得x≤,∴非负整数解有0,1,2,3,4,5,共6个.
13.答案 -1
解析 根据新运算,得3△x=3(3-x)+1=9-3x+1=10-3x,
∵3△x的值小于16,
∴10-3x<16,解得x>-2,
∴满足条件的最小整数解为-1.
14.解析 (1)去括号,得3x+6+1<13,
移项,得3x<13-6-1,合并同类项,得3x<6,
系数化为1,得x<2.解集在数轴上表示如下:
(2)去分母,得3(x+1)<2(x-1)+6,
去括号,得3x+3<2x-2+6,
移项、合并同类项,得x<1.
解集在数轴上表示如下:
15.解析 原式=÷
=÷=·
==,
解不等式≤x-3,得x≥4,
∵x-2≠0,x≠0,4-x≠0,
∴x≠2且x≠0且x≠4,
∴符合条件的x的值为5,
∴原式==.
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16.A 把代入不等式kx+2y≤4,得-2k+10≤4,解得k≥3,
则整数k的最小值为3,故选A.
17.答案 m<1
解析 ①+②,得3x+3y=3,所以x+y=1,
因为x+y-2m+1>0,所以x+y>2m-1,所以2m-1<1,
解不等式,得m<1,即m的取值范围是m<1.
18.答案 y≤-1
解析 因为ax+m≤3的解集为x≥2,a(1-y)+m≤3,所以1-y≥2,所以y≤-1.
19.答案 ≤m≤6
解析 解不等式>-x-,得x>-4,
由题意知x>-4能使不等式(m-6)x<2m+1成立.
①当m-6=0,即m=6时,(m-6)x<2m+1,即0<13,恒成立;
②当m-6≠0时,m-6<0,即m<6,
∴不等式(m-6)x<2m+1的解集为x>,
由题意得-4≥,
∴-4m+24≤2m+1,解得m≥,∴≤m<6.
综上所述,实数m的取值范围是≤m≤6.
20.解析 (1)当m=2时,P=3×=3×=-5.
(2)由题图可得P≤7,即3≤7,解得m≥-2,
因为m为负整数,所以m=-1,-2.
21.解析 (1)第5个不等式为x+<19.
(2)第n个不等式为x+<4n-1,其解集为2n-1
所以x+<4a+3,所以x+<4a+3,∴3
22.解析 (1)去括号,得5a-10+8<6a+12+7a,
移项、合并同类项,得-8a<14,
系数化为1,得a>-,
故不等式的最小整数解为-1.
(2)当a=-1时,2x-ax=2y+3即为3x-2y=3,
3x-2y=3的一对整数解可以为(答案不唯一)
23.解析 存在.由1+>+得>.
由x+1>得x>.
①当m>0时,由>得x>,
根据题意得=,解得m=7.
把m=7代入两个已知不等式中,解集都是x>1.
②当m<0时,由>得x<,显然两个已知不等式的解集不相同.
综上,当m=7时,关于x的不等式1+>+与x+1>的解集相同,且它们的解集都为x>1.
