镇海区2023学年第一学期期末质量检测试卷
初三数学
考生须知：
1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟．
2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上．
3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效．
试题卷I
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正播放新闻 B．抛一枚硬币正面朝上
C．射击运动员射击一次，命中10环 D．我们看到的太阳从东边升起
2．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若点在圆外，且，则圆的半径满足（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．没有变化
5．把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象（ ）
A． B． C． D．
6．如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（ ）
第7题图
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在中，，分别在，边上，，于点，与交于点，若与四边形的面积相等，则的值为（ ）
第8题图
A． B． C． D．
9．如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为（ ）
第9题图
A． B．
C． D．
10．若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题4分，共24分，第16题每空2分）
11．五边形的内角和等于______度．
12．从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______．
13．如图，将一个三角形纸板的顶点放在上，经过圆心．，半径，则在上被这个三角形纸板遮挡住的的长为______．（结果保留）
第13题图
14．如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为______．
第14题图
15．已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为______．
16．如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在对角线上，连结并延长交于点，若平分，则的值为______，的值为______．
第16题图
三、解答题（第17—19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）
17．（1）计算：．
（2）已知线段是线段，的比例中项线段，若，，求线段的长．
18．有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果．
（2）求摸出的两个球号码之和为偶数的概率．
19．由小正方形组成的的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图．
第19题图
（1）作的中线．
（2）过作的垂线，垂足为．
20．如图，已知二次函数的图象经过点．
第20题图
（1）求的值和图象的顶点坐标．
（2）若点在该二次函数图象上．
①当时，求的值．
②若，请根据图象直接写出的取值范围．
21．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的处，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点，，，都在同一平面上．
第21题图
（1）求此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）．
（2）求教学楼的高度（结果保留根号）（参考数据：，，）．
22．如图1，在矩形中，对角线，交于点，点在边上，．
图1 图2
第22题图
（1）求证：．
（2）如图2，点在线段上，，，求的长．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉安全通道？在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧． 图1
素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度． 图2图3
素材3 安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域． 图4
问题解决
任务1 确定喷泉形状． 在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2 确定喷泉跨度的最小值． 若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．
任务3 设计通道位置及儿童的身高上限． 现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？（精确到）
24．如图1，为的直径，弦于点，是上一点，延长，交于点，连结，，与交于点．
图1 图2 图3
第24题图
（1）若，用含的代数式表示．
（2）如图2，连结，，若，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，与交于点，，，求的长．
镇海区2023学年第一学期期末质量检测试卷
数学试题答案
一、选择题：（本题共有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不得分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D C C A B B C
9．当与重合时，，当与重合时，，．
10．原问题等价于关于的方程有且仅有一个正数解．化简该方程得．分为两种情况：①该方程判别式为零，即，解得，经检验符合要求；②该方程判别式大于零，有一正一负两个解，即且，得．综上可知或．
二、填空题：（本题有6小题，每小题4分，共24分，其中第16题每空2分）
11．540 12． 13． 14．4 15． 16．，
15．当时，有最小值，当时，的最大值为．
16．如图，连结，交于点，作，平分，平分，，，，设，，，，．
三、解答题：（本题有8题，第17-19题每小题6分，第20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共66分）
17．（1）解：原式
（2）解：线段为线段，的比例中项线段，
，
18．（1）
解：
第2次第1次 1 2 3
1 1，2 1，3
2 2，1 2，3
3 3，1 3，2
（2）
19．
（1）如图
（2）如图
20．解：
（1）把代入函数得，．
将代入二次函数得，
顶点坐标为．
（2）①当时，
②．
21．解：
（1）处离地面，操控者从处观测无人机的仰角为，
，，，
又，
（2）延长交于点，
则，，
，
．
．
22．解：
（1）在矩形中，
，，，，
又，，
．
（2），，，
，，
，，
，，
在矩形中，，．
23．解:
（1）点坐标为，点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的最高点为3，顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为过点，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）当喷水管最高可伸长到时，
设此时的抛物线的函数表达式为，
当时，，解得：，
由，得，解得：或（舍），
．
（3）由题意得：当点落在上，
当点落在上时，最大．
延长交抛物线与点，
，，
，关于直线对称，点的横坐标为0.5，
当时，，
∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米．
24．解：，，，
，．
（2），，
，，，
，，．
（3）如图，连结，
，，，
，，
，
，，
，，
，，
，．
设，，可得：，
解得：，
，．
，，
，，
设，可得：，解得：，
，，
，
．
