2024年九年级中考北师大版数学第一轮复习：二次函数
一、选择题（本大题共10道小题）
1. (2023·嘉兴、舟山)已知二次函数y＝x2,当a≤x≤b时m≤y≤n,则下列说法正确的是( )
A.当n－m＝1时,b－a有最小值 B.当n－m＝1时,b－a有最大值
C.当b－a＝1时,n－m无最小值 D.当b－a＝1时,n－m有最大值
2. (2022·绍兴)关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值,下列说法正确的是( )
A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6
3. (2023 甘孜州)如图,二次函数y＝a(x+1)2+k的图象与x轴交于A(﹣3,0),B两点,下列说法错误的是( )
A.a＜0 B.图象的对称轴为直线x＝﹣1 C.点B的坐标为(1,0) D.当x＜0时,y随x的增大而增大
4. (2023 宁波模拟)已知点P(m,n)在抛物线y=a(x-5)2+9(a≠0)上,当3
5. (2023 路南区一模)已知二次函数y＝(a+1)x2+2bx+(a+1)的图象和x轴只有一个公共点,则下列判断正确的是( )
A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根;
B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根;
C.1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根;
D.1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
6. (2022·呼和浩特)已知二次项系数等于1的一个二次函数,其图象与x轴交于两点(m,0),(n,0),且过A(0,b),B(3,a)两点(b,a是实数),若0＜m＜n＜2,则ab的取值范围是( )
A.0＜ab＜ B.0＜ab＜ C.0＜ab＜ D.0＜ab＜
7. (2023 襄阳)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①ac＜0;②3a+c＝0;③4ac﹣b2＜0;④当x＞﹣1时,y随x的增大而减小.
其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8. (2023 历下区二模)如果我们把函数y=ax2+b|x|+c称为二次函数y=ax2+bx+c的“镜子函数”,那么对于二次函数C1:y=x2-2x-3的“镜子函数”C2:y=x2-2|x|-3,下列说法:①C2的图象关于y轴对称;②C2有最小值,最小值为-4;③当方程x2-2|x|-3=m有两个不相等的实数根时,m>-3;④直线y=x+b与C2的图象有三个交点时,-≤b≤-3中,正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9. (2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图,抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x＝1,结合图象给出下列结论:
①ac＜0;②4a﹣2b+c＞0;③当x＞2时,y随x的增大而增大;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根;其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10. (2023 南充)关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等;②若3≤x≤4,对应的y的整数值有4个,则a≤﹣1或1≤a;③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,则a或a≥1.其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题（本大题共8道小题）
11. (2023 无锡)请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴: .
12. (2023·浙江湖州·初三月考)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是8m,则所围成矩形ABCD的最大面积是_____m.
13. (2022·襄阳)从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1,则喷出水珠的最大高度是 m.
14. (2023·德惠市第九中学初三其他模拟)研究抛物线的性质时,将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A,B两点(如图),将三角板绕点O旋转任意角度时发现,交点A,B所连线段总经过一个固定的点,则该定点的坐标是_____.
15. (2023·江苏初三二模)如图,Rt△ABC中,∠C=90o,AC=4cm,BC=10cm点D是BC边上一点,CD=2cm点P是线段DB上的动点,连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP连接BO当P从点D出发运动至点B停止的过程中,△BOP面积的最大值等于______cm.
16. (2022·长春)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,4)在抛物线y＝ax2上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上,分别过点C,D作x轴的垂线交抛物线于E,F两点.当四边形CDFE为正方形时,线段CD的长为 .
17. (2022·舟山)如图,已知点A1,A2,...,A2023在函数y=x2位于第二象限的图象上,点B1,B2,...,B2023在函数y=x2位于第一象限的图象上,点C1,C2,...,C2023在y轴的正半轴上,若四边形O1A1C1B1,C1A2C2B2,...,C2022A2022C2022B2022都是正方形,则正方形C2022A2022C2022B2022的对角线长为 .
18. (2023 禅城区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论:
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是-1,3;②函数的解析式是y=-x2+2x+3;③a+2b=c;
其中正确的是__________(填写正确结论的序号).
三、解答题（本大题共6道小题）
19. (2023·河北初三一模)有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面AB的宽为18米,拱顶O离水面AB的距离OM为9米,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF.
①如果限定矩形的长CD为12米,那么要使船通过拱桥,矩形的高DE不能超过多少米
②若点E,F都在抛物线上,设L=EF+DE+CF,当L的值最大时,求矩形CDEF的高.
20. (2023 杭州)在平面直角坐标系中,设二次函数y1＝x2+bx+a,y2＝ax2+bx+1(a,b是实数,a≠0).
(1)若函数y1的对称轴为直线x＝3,且函数y1的图象经过点(a,b),求函数y1的表达式.
(2)若函数y1的图象经过点(r,0),其中r≠0,求证:函数y2的图象经过点(,0).
(3)设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n,若m+n＝0,求m,n的值.
21. (2023秋 西岗区期末)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥,水面宽为6米时,水面离桥孔顶部3米.把桥孔看成一个二次函数的图象,以桥孔的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)请求出这个二次函数的表达式;
(2)因降暴雨水位上升1米,此时水面宽为多少
22. (2023·衢州)如图1,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,C分别是直线y＝－x＋4与坐标轴的交点,点B的坐标为(－2,0),点D是边AC上的一点,DE⊥BC于点E,点F在边AB上,且D,F两点关于y轴上的某点成中心对称,连结DF,EF.设点D的横坐标为m,EF2为l,请探究:
图1
①线段EF长度是否有最小值;
②△BEF能否成为直角三角形.
小明尝试用“观察－猜想－验证－应用”的方法进行探究,请你一起来解决问题.
(1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到l随m变化的一组对应值,并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图2),请你在图2中连线,观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别;
图2
(2)小明结合图1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想,请你求出l关于m的函数表达式以及自变量的取值范围,并求出线段EF长度的最小值;
(3)小明通过观察,推理,发现△BEF能成为直角三角形,请你求出当△BEF为直角三角形时m的值.
23. (2023·湖北恩施·中考真题)如图,抛物线经过点C(6,0),顶点为B,对称轴X=2与x轴相交于点A,D为线段BC的中点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为线段BC上任意一点,M为x轴上一动点,连接MP,以点M为中心,将△MPC逆时针旋转90o,记点P的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线只有一个交点时,求点M的坐标.
(3)△MPC在(2)的旋转变换下,若(如图).
①求证:EA=ED.
②当点E在(1)所求的抛物线上时,求线段CM的长.
24. (2022·湖北武汉·一模)如图,直线y=-2x+8分别交x轴,y轴于点B,C,抛物线y=-x2+bx+c过B,C四点,其顶点为M,对称轴MN与直线BC交于点N.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)如图1.点P是线段BC上一动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交抛物线于点Q,问:是否存在点P,使四边形MNPQ为菱形 并说明理由;
(3)如图2,点G为y轴负半轴上的一动点.过点G作EF//BC,直线EF与抛物线交于点E,F.与直线y=-4x交于点H,若,求点G的坐标.
