第9章 分式
9.3 分式方程
第2课时 分式方程的应用
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知识点4 分式方程的应用
17.【跨学科·化学】(2022山东临沂中考)将5 kg浓度为98%的酒精溶液,稀释为75%的酒精溶液.设需要加水x kg,根据题意可列方程为( )
A.0.98×5=0.75x B.=0.75
C.0.75×5=0.98x D.=0.98
18.(2023湖北随州中考)甲、乙两个工程队共同修一条道路,其中甲工程队需要修9千米,乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米,最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x千米,则可列出方程为( )
A.-= B.-=
C.-= D.-=
19.(2023辽宁本溪、铁岭、辽阳中考)某校八年级学生去距离学校120 km的游览区游览,一部分学生乘慢车先行,出发1 h后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1.5倍,求慢车的速度.设慢车的速度是x km/h,所列方程正确的是( )
A.+1= B.-1=
C.= D.=
20.【跨学科·物理】电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件,它们都具有电阻.如图所示,当两个电阻R1,R2并联时,总电阻满足=+,若R1=2R2,R=10 Ω,则R1,R2的值分别为( )
A.30 Ω,15 Ω B. Ω, Ω
C.15 Ω,30 Ω D. Ω, Ω
21.【生命安全与健康】(2022山东青岛中考)为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划,某校举办以“强体质,炼意志”为主题的体育节,小亮报名参加3 000米比赛项目,经过一段时间的训练后,比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%,少用3分钟跑完全程,设小亮训练前的平均速度为x米/分钟,那么x满足的分式方程为 .
22.【中华优秀传统文化】(2023广东江门广德实验学校三模)中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化,某校购进《西游记》和《三国演义》若干套,其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元,用3 200元购买《三国演义》的套数是用2 400元购买《西游记》套数的2倍,求每套《三国演义》的价格.
23.(2023广东韶关中考)某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.
24.【跨学科·美术】(2023安徽蚌埠二模)如图,蚌埠市某书画家的作品装裱前是一个长为2.4米,宽为1.4米的长方形,装裱后,整幅图画长与宽的比是13∶8,且四周边衬的宽度相等,求边衬的宽度.
25.(2023安徽合肥瑶海期末)植树节前夕,合肥市某区为积极推进生态文明建设,进一步美化居民居住环境,计划种植树木3 600棵,由于青年志愿者的加入,实际每天植树的棵数比原计划每天多20%,结果提前2天完成任务,求原计划每天植树的棵数.
26.(2023湖南常德中考)“六一”儿童节将至,张老板计划购进A型玩具和B型玩具进行销售.若用1 200元购进A型玩具的数量比用1 500元购进B型玩具的数量多20个,且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少;
(2)若A型玩具的售价为12元/个,B型玩具的售价为20元/个,张老板购进A,B型玩具共75个,要使总利润不低于300元,则A型玩具最多购进多少个
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27.【换元法】(2023上海中考,2,★★☆)在分式方程+=5中,设=y,可得到关于y的整式方程为( )
A.y2+5y+5=0 B.y2-5y+5=0
C.y2+5y+1=0 D.y2-5y+1=0
28.(2022内蒙古通辽中考,9,★★☆)若关于x的分式方程2-=的解为正数,则k的取值范围为( )
A.k<2 B.k<2且k≠0
C.k>-1 D.k>-1且k≠0
29.(2022重庆中考A卷,11,★★★)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤-2,且关于y的分式方程=-2的解是负整数,则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A.-26 B.-24 C.-15 D.-13
30.(2022安徽合肥瑶海期末,13,★★☆)若关于x的分式方程=2+有增根,则m= .
31.解下列分式方程:
(1)(2023安徽亳州二模,16,★★☆)-2=;
(2)(2023安徽合肥月考,20,★★☆)=-2.
32.(2023安徽蚌埠二模,17,★★☆)某园林绿化公司承接了30万平方米的荒山绿化任务,为了赶在雨季到来之前完成任务,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前15天完成这一任务.
(1)用含x的代数式填表(结果不需要化简).
工作效率(万 平方米/天) 工作时间 (天) 总工作量 (万平方米)
原计划 x ① 30
实际 ② ③ 30
① ;② ;③ .
(2)求(1)的表格中x的值.
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33.【模型观念】【中华优秀传统文化】(2023山西朔州期末)【问题情境】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具,即笔、墨、纸、砚,“文房四宝”之名,起源于南北朝时期.某中学为了落实双减政策,丰富学生的课后服务活动,开设了书法社团,计划为学生购买A,B两种型号的“文房四宝”共40套.已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比每套B型号的“文房四宝”的标价高30%,若按标价购买需花费4 300元,其中购买B型号“文房四宝”花费3 000元.
【问题解决】
(1)求每套B型号的“文房四宝”的标价.
(2)经过与店主协商,考虑到购买数量较多,店主同意该中学按A型号“文房四宝”标价的九折,B型号“文房四宝”标价的八折的优惠价购买,则购买原定数量的A,B型号的“文房四宝”共需花费多少元
(3)一段时间后,由于传统文化广受关注,另一所学校想要购买A,B两种型号的“文房四宝”共100套,店主继续以(2)中的折扣价进行销售,已知A,B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为67元和50元,若通过此单生意,该店获利不低于3 800元,则该校至少买了多少套A型号的“文房四宝”
第9章 分式
第2课时 分式方程的应用
答案全解全析
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17.B 根据稀释前后酒精的质量不变,可表示出稀释后的酒精溶液的浓度,列方程为=0.75.
18.A 因为甲工程队每个月修x千米,
所以乙工程队每个月修(x+1)千米,
利用工作时间=工作总量÷工作效率,
结合乙工程队所用的时间比甲工程队少半个月,
即可列出关于x的分式方程.
19.B 根据“慢车所用的时间-1=快车所用的时间”,得方程-1=.
20.A 设R2=x Ω,则R1=2R2=2x Ω,
因为=+,R=10 Ω,
所以=+,解得x=15,
经检验,x=15是原方程的解,且符合题意,
所以R1=30 Ω,R2=15 Ω.
21. 答案 -=3
解析 根据“训练前跑3 000米所用的时间-训练后跑3 000米所用的时间=3分钟”列出方程即可.
22. 解析 设每套《三国演义》的价格为x元,
则每套《西游记》的价格为(x+40)元,
根据题意,得=2×,解得x=80,
经检验,x=80是所列分式方程的解,且符合题意.
答:每套《三国演义》的价格为80元.
23. 解析 设乙同学骑自行车的速度为x km/h,
则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h,
根据题意,得-=,解得x=12.
经检验,x=12是原分式方程的解,且符合题意.
答:乙同学骑自行车的速度为12 km/h.
24. 解析 设边衬的宽度为x米,
则装裱后的长为(2.4+2x)米,宽为(1.4+2x)米,
根据题意,得=,解得x=0.1,
经检验,x=0.1是原分式方程的解,且符合题意.
答:边衬的宽度为0.1米.
25. 解析 设原计划每天植树x棵,
则实际每天植树(1+20%)x棵,
根据题意,得-=2,解得x=300,
经检验,x=300是所列方程的解,且符合题意.
答:原计划每天植树300棵.
26. 解析 (1)设A型玩具的进价为x元/个,
则B型玩具的进价是1.5x元/个.
根据题意,得-=20,解得x=10,
经检验,x=10是原方程的解,且符合题意.
所以B型玩具的进价为10×1.5=15(元/个).
答:A型玩具的进价是10元/个,B型玩具的进价是15元/个.
(2)设购进A型玩具m个,
则购进B型玩具(75-m)个.
根据题意得(12-10)m+(20-15)(75-m)≥300,
解得m≤25.
答:最多可购进A型玩具25个.
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27.D 因为=y,所以=,
所以分式方程+=5可变形为y+=5,
去分母,得y2+1=5y,
整理,得y2-5y+1=0,故选D.
方法解读 换元法:解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化的方法.
28.B 去分母,得2(x-2)-(1-2k)=-1,
解得x=2-k.
因为方程的解为正数,
所以2-k>0,解得k<2.
又因为x≠2,所以2-k≠2,
所以k≠0,所以k<2且k≠0.
29.D 解不等式组得
因为不等式组的解集为x≤-2,
所以>-2,解得a>-11.
解分式方程=-2得y=,
因为分式方程的解是负整数且y≠-1,
所以是负整数且≠-1,
所以a=-8或-5,
所以所有满足条件的整数a的值之和是-8-5=-13.
30. 答案 -2
解析 去分母,得x-3=2(x-1)+m,
由分式方程有增根,得x-1=0,即x=1,
把x=1代入整式方程,解得m=-2.
31. 解析 (1)去分母,得x-2(x-3)=-5,
去括号,得x-2x+6=-5,
移项、合并同类项,得-x=-11,
系数化为1,得x=11,
检验:当x=11时,x-3≠0,
所以x=11是分式方程的解.
(2)去分母,得1=4-x-2(x-3),
去括号,得1=4-x-2x+6,
移项,得x+2x=4+6-1,
合并同类项,得3x=9,
系数化为1,得x=3,
经检验,x=3是分式方程的增根,
所以原分式方程无解.
32. 解析 (1)因为原计划每天绿化x万平方米,
所以实际每天绿化(1+25%)x万平方米,原计划需要天完成任务,
则实际天完成任务.
故答案为;(1+25%)x;.
(2)根据题意,得-=15,解得x=,
经检验,x=是原方程的解,且符合题意.
答:(1)的表格中x的值为.
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33. 解析 (1)设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元,则每套A型号的“文房四宝”的标价为1.3x元.
根据题意,得+=40,解得x=100,
经检验,x=100是分式方程的解,且符合题意.
答:每套B型号的“文房四宝”的标价为100元.
(2)易得每套A型号的“文房四宝”的标价为130元,
购买A型号的“文房四宝”共=10(套),
购买B型号的“文房四宝”共=30(套),
打折后,购买A型号的“文房四宝”需花费10×130×0.9=1 170(元),购买B型号的“文房四宝”需花费30×100×0.8=2 400(元),
所以购买原定数量的A,B型号的“文房四宝”共需花费1 170+2 400=3 570(元).
答:购买原定数量的A,B型号的“文房四宝”共需花费3 570元.
(3)打折后每套A型号的“文房四宝”的售价为130×0.9=117(元),
每套B型号的“文房四宝”的售价为100×0.8=80(元),
设该校购买了y套A型号的“文房四宝”,
则购买了(100-y)套B型号的“文房四宝”,
根据题意,得(117-67)y+(80-50)(100-y)≥3 800,
解得y≥40.
答:该校至少买了40套A型号的“文房四宝”.
