第8章 整式乘法与因式分解
8.2 整式乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
基础过关全练
知识点5 多项式与多项式相乘
36.(2022安徽合肥期末)计算(x+1)(x-2)-x2的结果是( )
A.-2 B.-x-2 C.x-1 D.x-2
37.(2023安徽合肥期末)若(x-2)(x+3)=x2+ax-b,则a+b的值为( )
A.-7 B.-5 C.5 D.7
38.(2023安徽合肥瑶海期末)若关于x的多项式x2-ax+1与x+2相乘的结果中不含x的一次项,则a的值是( )
A.0 B.2 C.-2 D.
39.【作差法】(2023安徽六安期末)设M=(x+3)(x-7),N=(x+2)(x-6),则M与N的大小关系为( )
A.M
C.M=N D.不能确定
40.【数形结合思想】(2023安徽滁州定远期中)甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示如图所示的最大的长方形面积的整式.甲:(2a+b)(m+n);乙:2a(m+n)+b(m+n);丙:m(2a+b)+n(2a+b);丁:2am+2an+bm+bn.其中正确的是( )
A.甲、乙 B.丙、丁
C.甲、乙、丙 D.甲、乙、丙、丁
41.填空:(1)(x+3)(x-4)= ;
(2)(x+3)(x+4)= ;
(3)(x-3)(x+4)= ;
(4)(x-3)(x-4)= .
42.【一题多解】【新独家原创】若3a+5b=-2,ab=-1,则(5b-1)(3a-1)的值为 .
43.(2023安徽合肥瑶海期中)要使式子(x2+px+2)·(x-q)的化简结果中不含关于x的二次项,则p和q的关系是 .
44.计算:
(1)(2023福建泉州晋江期末)2x(x-2)+(x-1)·(x+5).
(2)(2023吉林长春朝阳期末)x(x+2y)-(y-3x)·(x+y).
(3)(2023吉林白城大安月考)(2a+b)(a-2b)-3a(2a-b).
(4)(2023上海长宁二中期中)x(2x-3)+(3-x)·(1-5x).
45.先化简,再求值:
(1)(x-2y)·(x+2y-1)+4y2,其中x=,y=-1;
(2)(a+b)·(2a-b)+(2a+b)·(a-2b),其中a=-2,b=3.
46.【教材变式·P66T13】在高铁站广场前有一块长为(2a+b)米,宽为(a+b)米的长方形空地(如图),计划在中间留两块小长方形空地做喷泉(图中阴影部分),两喷泉及周边留有宽度为b米的人行通道.
(1)请用代数式表示两块小长方形空地的面积并化简.
(2)请用代数式表示广场的面积并化简.
能力提升全练
47.(2023新疆中考,5,★☆☆)计算4a·3a2b÷(2ab)的结果是( )
A.6a B.6ab C.6a2 D.6a2b2
48.(2023安徽合肥期中,7,★★☆)如果(x+m)(x-5)=x2-3x+k,那么k、m的值分别是( )
A.10,2 B.10,-2
C.-10,2 D.-10,-2
49.(2023安徽合肥包河期中,9,★★☆)若关于x的式子(x2+ax)(x-2)化简后不含x2项,则a的值是( )
A.2 B. C.0 D.-2
50.(2021安徽蚌埠期末,15,★★★)已知有甲、乙两个长方形,它们的边长如图所示(m为正整数),甲、乙的面积分别为S1、S2.
(1)S1与S2的大小关系为S1 S2;(用“>”“<”或“=”填空)
(2)若满足条件|S1-S2|
(2023安徽滁州天长实验中学期中,21,★★☆)观察以下等式:
(x+1)(x2-x+1)=x3+1;
(x+3)(x2-3x+9)=x3+27;
(x+6)(x2-6x+36)=x3+216;
……
(1)按以上等式的规律,填空:(a+b)( )=a3+b3.
(2)利用多项式的乘法法则,说明(1)中的等式成立.
(3)利用(1)中的等式化简:(x+y)(x2-xy+y2)-(x+2y)(x2-2xy+4y2).
52.(2023安徽合肥四十二中期中,20,★★☆)小马和小睿两人都计算一道整式乘法题:(3x+a)(2x+b),由于小马抄错了a的符号,得到的结果为6x2-17x+12;由于小睿漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为3x2-5x-12.
(1)求出a,b的值;
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果.
53.(2023四川成都期末,24,★★★)“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现.现在有若干张边长为a的正方形A纸片,边长为b的正方形B纸片,长和宽分别为a和b的长方形C纸片(如图1).
(1)小李同学拼成一个宽为(a+b),长为(a+2b)的长方形(如图2),并用不同的方法计算面积,从而得出相应的等式: ;
(2)如果用这三种纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+3b)的大长方形,求需要A,B,C三种纸片各多少张;
(3)利用上述方法,画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形,并求出此长方形的周长(用含a,b的代数式表示).
图1 图2
素养探究全练
54.【创新意识】【新考法】【跨学科·语文】“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法,正着读,倒着读,文字一样,韵味无穷.例如:处处飞花飞处处,潺潺碧水碧潺潺.数学中也有像回文联一样的“回文等式”,例如,以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”:
21×24=42×12,
31×26=62×13,
12×84=48×21.
(1)下列能构成“回文等式”的是 .(填上所有正确的序号)
①18×31与13×81;
②46×32与63×24;
③46×96与69×64;
④22×454与454×22;
⑤31×286与682×13.
(2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律,并用所学的数学知识证明.
第8章 整式乘法与因式分解
第3课时 多项式与多项式相乘
答案全解全析
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36.B 原式=x2-2x+x-2-x2=-x-2.
37.D 因为(x-2)(x+3)=x2+3x-2x-6=x2+x-6=x2+ax-b,所以a=1,b=6,所以a+b=1+6=7.
38.D (x2-ax+1)(x+2)=x3+2x2-ax2-2ax+x+2=x3+(2-a)x2+(-2a+1)x+2,因为结果中不含x的一次项,所以-2a+1=0,解得a=.
39.A 因为M=(x+3)(x-7)=x2-4x-21,N=(x+2)(x-6)=x2-4x-12,所以M-N=(x2-4x-21)-(x2-4x-12)=-9<0,所以M
41. 答案 (1)x2-x-12 (2)x2+7x+12
(3)x2+x-12 (4)x2-7x+12
解析 (1)原式=x2-4x+3x-12=x2-x-12.
(2)原式=x2+4x+3x+12=x2+7x+12.
(3)原式=x2+4x-3x-12=x2+x-12.
(4)原式=x2-4x-3x+12=x2-7x+12.
42. 答案 -12
解析 方法一:(5b-1)(3a-1)=15ab-5b-3a+1=15ab-(3a+5b)+1=15×(-1)-(-2)+1=-12.
方法二(特殊值法):由ab=-1可令a=1,b=-1,恰好满足3a+5b=-2,故(5b-1)(3a-1)=(-5-1)×(3-1)=-12.
43. 答案 p=q
解析 原式=x3-qx2+px2-pqx+2x-2q=x3+(p-q)x2-pqx+2x-2q,由于不含x的二次项,所以p-q=0,所以p=q.
44. 解析 (1)原式=2x2-4x+x2+5x-x-5=3x2-5.
(2)原式=x2+2xy-(xy+y2-3x2-3xy)
=x2+2xy+2xy-y2+3x2=4x2+4xy-y2.
(3)原式=2a2-4ab+ab-2b2-6a2+3ab=-4a2-2b2.
(4)原式=2x2-3x+3-15x-x+5x2=7x2-19x+3.
45. 解析 (1)原式=(x-2y)(x+2y)-(x-2y)+4y2
=x2+2xy-2xy-4y2-x+2y+4y2=x2-x+2y,
当x=,y=-1时,原式=--2=-.
(2)原式=2a2-ab+2ab-b2+2a2-4ab+ab-2b2
=4a2-2ab-3b2,
当a=-2,b=3时,原式=4×4-2×(-2)×3-3×9=16+12-27=1.
46. 解析 (1)两块小长方形空地的面积为(a+b-b-b)·(2a+b-3b)=(a-b)(2a-2b)=2a2-2ab-2ab+2b2=(2a2-4ab+2b2)平方米.
(2)广场的面积为(a+b)(2a+b)=(2a2+3ab+b2)平方米.
能力提升全练
47.C 原式=12a3b÷(2ab)=6a2.
48.C 原式=x2-(5-m)x-5m,
所以x2-(5-m)x-5m=x2-3x+k,
所以5-m=3,-5m=k,
解得m=2,k=-10.
49.A 原式=x3-2x2+ax2-2ax=x3+(a-2)x2-2ax,由题意得,a-2=0,解得a=2.
50. 答案 (1)> (2)1 009
解析 (1)因为S1=(m+7)(m+1)=m2+8m+7,S2=(m+4)(m+2)=m2+6m+8,
所以S1-S2=(m2+8m+7)-(m2+6m+8)=2m-1.
因为m为正整数,所以2m-1>0,
所以S1-S2>0,所以S1>S2.
(2)由(1)知|S1-S2|=|2m-1|=2m-1,
因为满足条件2m-1
所以2 017≤2m-1<2 018,
解得1 009≤m<1 009.5,所以m=1 009.
51. 解析 (1)由题意可得(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.
故答案为a2-ab+b2.
(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,则(1)中的等式成立.
(3)原式=(x3+y3)-(x3+8y3)=-7y3.
52. 解析 (1)因为小马抄错了a的符号,得到的结果为6x2-17x+12,所以(3x-a)(2x+b)=6x2+(3b-2a)x-ab=6x2-17x+12,所以3b-2a=-17.
因为小睿漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为3x2-5x-12,所以(3x+a)(x+b)=3x2+(a+3b)x+ab=3x2-5x-12,所以a+3b=-5,
联立解得
(2)由(1)知a=4,b=-3,
所以(3x+a)(2x+b)=(3x+4)(2x-3)=6x2-9x+8x-12=6x2-x-12.
53. 解析 (1)题图2是长为(a+2b),宽为(a+b)的长方形,所以面积为(a+2b)(a+b),因为题图2是由6个部分组成的,所以面积为a2+3ab+2b2,
所以(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.
故答案为(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.
(2)因为(2a+b)(a+3b)=2a2+7ab+3b2,A纸片的面积为a2,B纸片的面积为b2,C纸片的面积为ab,所以需要A纸片2张,B纸片3张,C纸片7张.
(3)因为2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b),
所以可以拼成长为(2a+b),宽为(a+2b)的长方形,
如图所示:
所以这个长方形的周长为2×[(a+2b)+(2a+b)]=6a+6b.
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54. 解析 本题结合语文中的“回文”修辞手法与特征数据引申出“回文等式”,构思巧妙,形式新颖.
(1)18×31=558,13×81=1 053,558≠1 053,故①不符合题意;
46×32和63×24不是回文等式,故②不符合题意;
46×96=4 416,69×64=4 416,故③符合题意;
22×454=454×22,故④符合题意;
31×286=8 866,682×13=8 866,故⑤符合题意.
故答案为③④⑤.
(2)回文等式等号左右两边的两个两位数中十位数的积等于个位数的积.
证明如下:设回文等式等号左边的两个两位数为10a+b,10c+d,其中a,b,c,d为小于10的正整数,
依题意得(10a+b)(10c+d)=(10d+c)(10b+a),
所以100ac+10ad+10bc+bd=100bd+10ad+10bc+ac,所以99ac=99bd,所以ac=bd.
