2023-2024学年吉林省名校调研九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程：的根是( )
A. B.
C. ， D. ，
4.如图，是的直径，，是上两点，若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图是二次函数的部分图象，顶点坐标为下列结论：；；；方程有两个相等的实数根其中所有正确结论的序号是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______ ．
8.若二次函数有最大值，则“”中可填的数字是______ ．
9.如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______ 度
10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
11.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是______
12.将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式是______ ．
13.如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为______．
14.如图是一个圆弧形隧道的截面，若路面宽为，高为，则此圆弧形隧道的半径______
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
用配方法解方程：．
16.本小题分
如图，在中，，求证：．
17.本小题分
已知抛物线的顶点坐标是，且经过点求该抛物线的解析式．
18.本小题分
图、图都是由边长为的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点、、均在格点上，分别按下列要求作一个四边形，使、、这三个点在这个四边形的边包括顶点上，且四边形的顶点在格点上．
在图中作一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形；
在图中作一个四边形，使其既是轴对称图形又是中心对称图形．
19.本小题分
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，把绕原点逆时针旋转，得到，点分别为点、旋转后的对应点旋转角记为：
当时，求点的坐标；
当轴时，直接写出的值．
21.本小题分
如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园含隔离栏，菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为篱笆的宽度忽略不计
菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．
因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
22.本小题分
如图，是的直径，是的中点，于，交于点．
求证：；
若，，求的半径．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
求抛物线的解析式；
当时，求的最小值；
连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
24.本小题分
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图，在四边形中，，，，，．
【问题提出】
如图，在图的基础上连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______
【尝试解决】
在的条件下，求四边形的面积；
【类比应用】
如图，等边的边长为，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．
25.本小题分
如图，在中，，，，点为边的中点动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，当点与点、不重合时，以、为邻边作 ，设点的运动时间为秒．
用含的代数式表示线段的长；
当线段被边平分时，求的值；
设 的面积为，求与之间的函数关系式，并求出时的值．
26.本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
求抛物线的解析式和直线的解析式；
当点在线段上运动时，求线段的最大值；
当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值；
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选：．
已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为，顶点坐标是，对称轴是直线得出是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
由邻补角的性质求出的度数，由圆周角定理，即可求出的度数．
本题考查圆周角定理，邻补角的性质，关键是掌握圆周角定理．
5.【答案】
【解析】解：绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
根据旋转的性质可得，，，得出是等边三角形，，进而得出，即可求出的长．
本题考查旋转的性质和直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
．
错误．
抛物线顶点坐标为，
．
，正确；
抛物线顶点坐标为，
对称轴是直线．
当时与当时函数值相同．
由图象知当时．
当时，．
正确．
抛物线顶点坐标为，
方程有两个相等的实数根，
方程有两个相等的实数根，正确．
故选：．
依据题意，由抛物线开口方向及对称轴的位置可判断，由顶点坐标为可判断，由时及抛物线的对称性可得时，从而判断．
本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7.【答案】
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案．
本题考查了关于原点对称点的性质，掌握横纵坐标符号关系是关键．
8.【答案】答案不唯一
【解析】解：由题意，设处为，由题意得二次函数为，
二次函数有最大值，
二次函数的图象开口向下即，
可以是．
中可填的数是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
依据题意，先设处为，然后根据二次函数的性质得，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
9.【答案】
【解析】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为．
故答案为：．
观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是的直径，，
，
为等边三角形，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
故答案为：．
连接，根据等边三角形的性质得到，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为．
故答案为：．
根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数平移规律是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，
直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点，，，
，
图形与图形面积相等，
阴影部分的面积之和长方形的面积．
故答案为：．
根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
14.【答案】
【解析】解：因为为高，
根据垂径定理：平分，
又路面宽为
则有：，
设圆的半径是米，
在中，有，
即：，
解得：，
所以圆的半径长是
故答案为
因为为高，根据垂径定理，平分，则，在中，有，进而可求得半径．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
15.【答案】解：方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【解析】方程整理后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.【答案】证明：在中，，
，
，
，，
在中，，
在中，，
．
【解析】由于，所以，故，进而证明即可．
此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据，得出．
17.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：．
【解析】设抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式，即可求解．
本题考查的是用待定系数法求函数的表达式，准确设定函数的表达式是解题的关键．
18.【答案】解：如图，四边形为所作；
如图，四边形为所作．
【解析】如图，取格点，则平行四边形满足条件；
如图，取格点、，则菱形满足条件．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了菱形的性质和轴对称变换．
19.【答案】解：设每次下降的百分率为，根据题意，得：
，
解得：舍或，
答：每次下降的百分率为．
【解析】设每次降价的百分率为，连续两次降价后的价格表示为，由题意列出方程求解即可
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
20.【答案】解：如图，过点作于．
，
，
，
，
如图，在轴上方时，
，
，
轴，
，
当在轴下方时，．
综上所述，满足条件的旋转角为或．
【解析】如图，过点作于解直角三角形求出，即可．
分两种情形：在轴上方时，求出旋转角；在轴下方时，求出旋转角即可．
本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：设的长为，则的长为，
根据题意得：，
解得或，
当时，，舍去；
当时，，满足题意，
花园面积可能是，此时边长为；
设的长为，菜园面积为，
由题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，最大，最大值为．
答：该菜园面积的最大值为．
【解析】设的长为，则的长为，根据矩形的面积列出方程，解方程取符合题意的值即可；
设的长为，菜园面积为，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和解析式．
22.【答案】证明：延长交于点，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
解：是的直径，
，
，，
，
在中，，
的半径为．
【解析】首先延长交于点，由垂径定理可证得，又由是的中点，易证得，继而可证得；
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
23.【答案】解：将，代入得，
解得，
；
抛物线开口向下，顶点坐标为，
函数最大值为，对称轴为直线，
，
时，为函数最小值．
二次函数的图象向上平移个单位后解析式为，
抛物线顶点坐标为，
当顶点落在线段上时，，
解得，
当抛物线向上移动，经过点时，，
解得，
当抛物线经过点时，，
解得，
当，或时，函数图象与线段有一个公共点．
【解析】通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．
根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合的取值范围求解．
结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点，时的值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．
24.【答案】等边三角形
【解析】解：将绕点顺时针方向旋转，得到，
，，
是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
由知，≌，
四边形的面积等边三角形的面积，
，
，
；
解：将绕点顺时针方向旋转，得到，
≌，
，，，，
是等腰三角形，且，
，，
又等边三角形，
，
，
同理可得，
，
，
，，三点共线，
，
，
即，
≌，
，
的周长．
故的周长为．
由旋转的性质得出，，所以是等边三角形；
求出等边三角形的边长为，求出三角形的面积即可；
将绕点顺时针方向旋转，得到，则≌，得出，，，证明≌，证得的周长．
本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，类比思想等．熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．
25.【答案】解：点为边的中点，
，
当时，
，
当时，
；
如图，
设与交于点，
在中，，，
，
，，
，
；
如图，作于，
在中，，，
，，
当时，，
，
当时，
，
当时，若，
，舍去，
若，方程无解．
．
【解析】分在上和在上两种情况，列出关于的代数式即可；
由表示出，由表示出，进而求得结果；
作于，，，，分和讨论，进而求得结果即可．
本题考查了等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据题意画出图形，准确分类．
26.【答案】解：
抛物线过、两点，
代入抛物线解析式可得，解得，
抛物线解析式为，
令可得，，解，，
点在点右侧，
点坐标为，
设直线解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
轴，点的横坐标为，
，，
在线段上运动，
点在点上方，
，
当时，有最大值，的最大值为；
轴，
当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
点纵坐标为，
，解得或，
当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
；
轴，
，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点在线段上时，则有，
，此方程无实数根，
当点不在线段上时，则有，
，解得或，
综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．
【解析】由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式；
用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值；
由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点坐标，代入抛物线解析式可求得的值；
由条件可得出，结合可得到关于的方程，可求得的值．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在中用表示出的长是解题的关键，在中确定出是解题的关键，在中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
第1页，共1页
