2024福建省中考数学模拟练习卷（解析版）
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
2023福州马拉松于12月17日上午7：30鸣枪开跑，本次参赛总报名人数为50100人．
将数据50100用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，
进行表示即可，确定的值，是解题的关键．
【详解】解：；
故选A．
2. 如图是一个几何体的三种视图，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、B、C的俯视图都和题干中给出的图形不符，故不符合题意，
故选：D．
3. 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
命中次数（次） 5 6 7 8 9
人数（人） 1 4 3 1 1
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（ ）
A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6
【答案】B
【分析】根据中位数及众数可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
中位数为，众数为6；
故选B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用合并同类项、同底数的幂的乘法和除法，积的乘方运算法则注意判断即可解题．
【详解】A.，计算错误，此选项错误；
A.，计算正确，此选项正确；
C.，计算错误，此选项错误；
D.，计算错误，此选项错误；
故选B．
5．如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据直径所对的圆周角等于，得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，如下图所示，
为的直径，
，
，
，
，
，
故选A．
《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；
若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：，
∴列出方程为：，故A正确．
故选：A．
7. 下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：当时，函数的图象在第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
当时，函数的图象在第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，
选项B正确，符合题意.
故选：B．
8 . 我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，
边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，
固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，
则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：由已知得，
∵AB的中点是坐标原点O，
∴，
∴，
，，
．
故选：A．
9 . 已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知得出，则，进而证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵中，是中线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
，
故选：B．
10 . 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：
①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
12. 已知一元二次方程的一个根是1，则另一个根是 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：设该方程的两个根分别为：，
根据题意可得：，
∵，
∴，
故答案为：2．
若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
【答案】
【分析】根据图像可得购买3kg荔枝需要付的钱即为当x=3时，y所对应的值，即求出AB段的函数解析式，将x=3代入即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，
由图像可知：，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
14. 如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
【答案】18π
【分析】根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，
顶点B在反比例函数的图象上，轴，若的面积为4，则 ．
【答案】11
【分析】根据反比例函数解析式中，k的几何意义求解．
【详解】如图，延长交y轴于点C，
，，
∵
∴，
解得
故答案为：11．
16. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
然后把再对折到，使点A落在上的点G处，若，则的长度为 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵对折矩形的纸片，使与重合，
∴，
∴，
∵把再对折到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【分析】先计算零次幂、化简绝对值、代入特殊角三角函数值，再进行加减运算．
【详解】解：
18. 已知：如图，．求证：
【答案】见详解
【分析】由，得到，然后根据SAS，证明△ABC≌△ADE，即可得到结论成立．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴△ABC≌△ADE，
∴
19. 先化简，再求值：，其中
【答案】 ，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，
同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况、
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
求这次被调查的学生共有多少名，并将条形统计图补充完整．
(2) 该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】(1)50，见详解
(2)
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，即可解决问题；
（2）列表所有等可能的结果为12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：这次被调查的学生人数为：（名）；
补全图形如下：
（2）解：设甲用A表示，乙用B表示，丙用C表示，丁用D表示，
列表如下：
A B C D
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，
台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，
过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为3．
23. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求点A，点C的坐标；
(2)如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E．求证：∠DCE＝∠CAO；
(3)如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）由抛物线的解析式得出方程求出答案即可；
（2）求出D点坐标，作DF⊥CE于F，证明△CFD∽△AOC，由相似三角形的性质可得出答案；
（3）求出AC的长，证出∠DEC=∠CAB，分两种情况：①当△DEP∽△CAB时，有，②当△DEP∽△BAC时，有 ，由比例线段求出EP的长可得出答案．
【详解】（1）解：令y＝0，得，
解得，x1＝﹣3，x2＝1，
∴，
令x＝0，y＝，
∴C（0，4）．
（2）证明：∵，
∴，
如图，作DF⊥CE于F，
∴CF＝1，，
∵AO＝3，OC＝4，
∴，
∵∠CFD＝∠AOC＝90，
∴△CFD∽△AOC，
∴∠DCE＝∠CAO；
（3）解：如图，连接DE，
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，4），D（﹣1，），
∴，AB＝4，，
由抛物线的对称性质得：DE＝DC＝，CE＝2，
∴∠ECD＝∠DEC，
由（2）得∠ECD＝∠CAO，
∴∠DEC＝∠CAB，
∵△DEP和△ABC相似，
①当△DEP∽△CAB时，有，
∴，
∴．
②当△DEP∽△BAC时，有，
∴，
∴．
综上所述，EP＝或．
25. 【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2
【分析】（1）利用证明 ，得；
（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；
（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．
【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024福建省中考数学模拟练习卷
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
2023福州马拉松于12月17日上午7：30鸣枪开跑，本次参赛总报名人数为50100人．
将数据50100用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2. 如图是一个几何体的三种视图，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
3. 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
命中次数（次） 5 6 7 8 9
人数（人） 1 4 3 1 1
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（ ）
A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6
4. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；
若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（ ）
A． B． C． D．
7. 下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8 . 我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，
边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，
固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，
则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9 . 已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
10 . 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：
①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
12. 已知一元二次方程的一个根是1，则另一个根是 ．
若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
14. 如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，
顶点B在反比例函数的图象上，轴，若的面积为4，则 ．
16. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
然后把再对折到，使点A落在上的点G处，若，则的长度为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 已知：如图，．求证：
19. 先化简，再求值：，其中
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况、
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
求这次被调查的学生共有多少名，并将条形统计图补充完整．
(2) 该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，
台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，
过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
23. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求点A，点C的坐标；
(2)如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E．求证：∠DCE＝∠CAO；
(3)如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，
使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长．
25. 【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
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