2024年普通高等学校招生生全国统一考试模拟演练
数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．B 2．D 3．A 4．C
5．A 6．C 7．D 8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．ABD ……………………每选对一个得2分
10．BCD ……………………选对B给2分，选对C给1分，选对D给3分
11．BC ……每选对一个得3分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计20分．
12． 13．4 14．291
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：
（1），，则
则，因此，解得．（5分）
（2）即求的最大值．
则令，令，则，
解得（舍），，解得．因此可列表：
x
＋ －
↗ ↘
因此可得是的极大值点，
因此在时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，因此．
而，
因此可知当种群数量为时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量．（8分）
16．（15分）
（1）设平面PAB平面PCD，
由于AB∥DC，平面ADC，CD平面ADC，
因此∥平面PDC，而AC平面APB，平面PAB平面PCD，
因此AB∥l，而AB⊥PE，因此l⊥PE．
而平面PAB⊥平面PCD，平面PAB平面PCD，PE平面PAB，
因此PE⊥平面PDC，而PF平面PDC，因此PE⊥PF，
故△PEF是直角三角形．（6分）
（2）由于PE⊥PF，，因此P是以EF为直径半圆上的点．
而AB⊥EF，AB⊥PE，，PE，EF平面PEF，
因此AB⊥平面PEF，而AB平面ABCD，因此平面PEF⊥平面ABCD．
故P到平面ABCD的最大距离为，四棱锥P―ABCD体积最大为．
（3分）
（3）设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m．设平面PEF与平面PBC夹角为．
以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，并设．
平面PEF的一个法向量为，
，，
设平面PBC的法向量为，因此，可取
，不妨设，
，，因此随增大而增大
因此．（6分）
17．（15分）
（1），
则．
因此．而且，
代入得，因此E的方程为（8分）
（2）将与E联立：，得，
易知，线段的中点为，
则直线n：，即．
与抛物线联立：，
即，，解得或0（舍去）
因此．（7分）
18．（17分）
（1）可知，即，解得．（5分）
（2）可知内接圆的半径．
连接IB、OB，设∠OBI，则．
不妨设外接圆半径为R，则．
由角度关系，，
因此代入有
，
整理：．
右式
由于，因此，解得．（12分）
19．（17分）
（1）如图：
（2）如果一个图有n个顶点，那么它总共就有条可能的连线，
而一个图要想和自己互补，其连线数必然是的一半，
因此n是形如或的正整数．下面说明这一点．
当时，其自身便互为“图”与“补图”．
当时，链状图满足要求．不妨把这4个顶点分别记作A、B、C、D，
那么A－B－C－D的补图就是B－D－A－C．
设另一能与自己互补的有k个顶点的图G，将链A－B－C－D加入G得到，
将A与D分别与这k个顶点相连，该图仍为自补图，则此时图有个顶点，
因此，从和的情形出发，如此扩展，不难说明对于所有形如和 的正整数n，存在顶点数为n的与自己互补的图．
备用题
16．（15分）
在光明中学数学节上，某数学小组展示了如图的乘法计算器．数学小组提供了以下数据：以输入线所在直线为y轴，输出线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy；D点是输出线最左端，距离输入线单位；设点A与点B的纵坐标分别为、．数学小组展示了部分机械结构，并告知大家E、F两点在一连续曲线C的凹槽中随着A、B输入端的运动而运动，且C关于输出线对称，但他们没有具体给出曲线C的方程．
（1）根据该计算器的用途，写出点C的横坐标（用题中字母表示）；
（2）直接写出C的形状并求出其方程．
16．（15分）
解：
（1）
（2）C是抛物线．
设抛物线方程为，则其焦点为.
设，，则直线EF的方程为，
而，，代入直线方程：，
整理得，令，则，
即，对比目标式，可知，．
因此2024年普通高等学校全国统一招生考试适应性测试
数 学 2024.2
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，则
A． B． C． D．
2．设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是
A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确
C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳
3．设锐角与，若，，则
A． B． C． D．
4．设向量，向量，若且 则
A． B．2 C．1 D．或1
5．已知平面直角坐标系中双曲线. 设是C的左焦点，．连接交双曲线C于Q. 若，则C的离心率e的值为
A． B． C． D．
6．定义运算“&”，若且，则
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
7．设，，则的最小值为
A．3 B．5 C．7 D．9
8．把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张A．记事件A为“翻开第3张牌时出现了第一张A”，事件B为“翻开第4张牌时出现了第一张A”，事件C为“翻开的下一张牌是黑桃A”，事件D为“下一张翻开的牌是红桃3”，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏。下列数字可以作为n的取值的是
A．4 B．12 C．16 D．20
可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为V、E、F，则.
10．随机变量X的分布列如下表，随机变量．设，，且X与Y互相独立，则下列说法正确的是
X a 1
P p
A． B． C． D．
11．从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转。某苏州地区（经纬度约120°E，31°N）的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计，则杆影可能的轨迹是
A．半圆形 B．双曲线 C．直线 D．椭圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．空间内四点，，，D可以构成正四棱锥，则点D的坐标是 ▲ ．
13．等差数列按照如图的方式排列成一个的方阵，并从里到外分为n层. 设第n层内的所有数字和为，且有，则数列的公差为 ▲ ．
（第13题图）
14．现有一只蜜蜂沿如图所示的用8个完全一样的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点飞行到B点，可能的飞行路径共有 ▲ 种（用数字作答）．
（第14题图）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等．
（1）记的导数为，若，求a；
（2）若是的渐近线，则我们称K为该生态系统的K值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其K值为K．请通过计算，求该鱼塘中该种鱼的种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即瞬时变化率最大）．
16．（15分）
如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是矩形，，，且平面PAB⊥平面PCD．E、F分别是AB、CD的中点．．
（1）求证：△PEF是直角三角形；
（2）求四棱锥P―ABCD体积的最大值；
（3）求平面PEF与平面PBC的夹角余弦值的范围．
17．（15分）
平面直角坐标系xOy中，有一直线与圆．过O作直线m交圆C与直线l分别于、两点．取射线OA上一点Q，使得．记Q的轨迹为E．设，，并设，．
（1）求E的方程；
（2）设抛物线，直线交E于点M，记OM的中垂线为直线，若直线n与曲线Γ相切，求Γ的标准方程．
18．（17分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c．已知△ABC的周长为4，且有．
（1）求△ABC的面积；
（2）设△ABC内心为I，外心为O，，求外接圆半径．
注：在△ABC中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
19．（17分）
若干个顶点及部分点之间的连线构成了一个“图”．若对某图进行变换，使原来任意两个有连线的顶点之间都不再有连线，原来任意两个没有连线的顶点之间现在都有连线，则所得图为原图的“补图”．若一图和其补图本质上结构完全相同（这意味着，把其中一个图的顶点以适当的方式与另一个图的顶点建立一一对应的关系，那么对于谁和谁之间有连线、谁和谁之间没有连线这样的问题，两个图的情况是完全一样的），则称这个图和它自己是互补的，简称该图为“自补图”．
（1）构造出所有的有5个顶点的自补图；
（2）对于哪些正整数n，存在顶点数为n的与自己互补的图？求出所有n并说明你的理由．
