第9章 中心对称图形-平行四边形
9.14 正方形综合问题大题专练（重难点培优）
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题（共24小题）
1．如图，点是正方形对角线上一点，，，垂足分别为，，若正方形的周长是．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求四边形的周长；
（3）当的长为多少时，四边形是正方形？
2．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求以为边的正方形面积；
（2）当为等腰三角形时，求的值．
3．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
4．如图，正方形与等腰直角三角形的一边在同一条水平直线上，现保持三角形不动，正方形以2厘米秒的速度向右匀速运动．
（1）在图中画出第8秒时，正方形所在的位置；
（2）计算第11秒时，正方形与等腰直角三角形重叠部分的面积．
5．如图，一张正方形纸片的边长为，将它剪去4个全等的直角三角形，四边形的面积可能为吗？请说明理由．
6．已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且．
（1）求证：；
（2）若四边形是正方形，且，，则四边形的面积为 ．
7．如图，在正方形中，点、、分别在、、上，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若是的中点，且，，求的长．
8．如图，在矩形中，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，当时，求的度数．
9．如图，在正方形中，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）写出线段、的数量和位置关系，并说明理由．
10．如图，四边形是正方形，点是边上的动点（不与点、重合），将射线绕点按逆时针方向旋转后交边于点，、分别交于、两点．
（1）当时，求的度数；
（2）设，试用含的代数式表示的大小；
（3）点运动的过程中，试探究与有怎样的数量关系，并说明理由．
11．如图，正方形的对角线、相交于点，将向两个方向延长，分别至点和点，且使．
（1）判断四边形的形状，并证明你的猜想；
（2）若，，求四边形的周长．
12．已知：，平行线与、与、与之间的距离分别为，，，且，．我们把四个顶点分别在，，，这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”．
（1）如图1，正方形为“线上四边形”，于点，的延长线交直线于点，求正方形的边长．
（2）如图2，菱形为“线上四边形”且，是等边三角形，点在直线上，连接，且的延长线分别交直线、于点、，求证：．
13．如图，在正方形中，、分别是、边上的点，．
（1）如图（1），试判断，，间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），若于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
14．如图，边长为8的正方形的对角线，交于点，是边上一动点，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，求的最小值．
15．如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且．
（1）若直线与、的延长线分别交于点、，求证：；
（2）如图2，将正方形改为矩形，若其余条件不变，请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由．
16．（1）如图①，点、分别在正方形的边、上，，连接，求证：．
（2）如图②，点，在正方形的对角线上，，猜想、、的数量关系，并说明理由．
17．（1）如图1，点、分别在正方形的边、上，，求证：；
（2）如图2，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足什么关系时，仍有，说明理由．
18．如图，在正方形中，点在对角线上（不与点，点重合），于点，于点，连接，
（1）写出线段，，长度之间的数量关系，并说明理由．
（2）若正方形的边长为，，求线段的长．
19．如图，四边形是正方形，点，分别在，上，点在的延长线上，且，于．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与互余的角．
20．如图，已知正方形的边长为6，点在边上，以线段为边长在正方形的外部作正方形，以线段和为邻边作矩形，若．
（1）求线段的长；
（2）若点为边的中点，连接，求证：．
21．如图，为正方形的对角线上任一点，于，于．
（1）判断与的关系，并证明；
（2）若正方形的边长为6，．求的长．
22．如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若正方形的边长为8，为的中点，求的长．
23．如图，是正方形的对角线，，边在其所在的直线上平移，经通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、．
（1）请直接写出线段在平移过程中，四边形是什么四边形？
（2）请判断、之间的数量关系和位置关系，并加以证明．
24．（1）如图1，已知正方形，点在上，点在上，且，则有 ．若，则的周长为 ．
（2）如图2，四边形中，，，点，分别在，上，且，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、解答题（共24小题）
1．
【分析】（1）由正方形的性质可得出、，根据、可得出，，再结合，即可证出四边形是矩形；
（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出为等腰直角三角形，进而可得出，再根据矩形的周长公式即可求出结论；
（3）由正方形的判定可知：若要四边形是正方形，只需，结合、，即可得出结论．
【解析】（1）证明：四边形为正方形，
，．
，，
，．
又，
四边形是矩形；
（2）正方形的周长是，
．
四边形为正方形，
为等腰直角三角形，
，
四边形的周长．
（3）若要四边形是正方形，只需，
，，
当时，四边形是正方形．
2．
【分析】（1）求出时，的长，由勾股定理可得的长，进而可求得该正方形的面积；
（2）分类讨论：当时，为等腰三角形，若点在上得，若点在上，则；当时，为等腰三角形，作于，根据等腰三角形的性质得，则可判断为的中位线，则，易得；当时，为等腰三角形，则，易得．
【解析】（1）出发2秒后，，
由勾股定理可得，
以为边的正方形面积为．
（2）当时，为等腰三角，若点在上，如图：
则，
解得；
当时，为等腰三角形，如图：
，
；
若点在上，，作于，如图：
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
此时；
当时，为等腰三角形，作于，
则，
为的中位线，
，
；
综上所述，为3或5.4或6或时，为等腰三角形．
3．
【分析】（1）延长到，使得，连接，证明，然后再证明，进而得证；
（2）延长到，使得，连接，先证明，再证明，进而得证．
【解析】（1）如图1，
，理由如下：
延长到，使得，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
（2）如图2，
，仍然成立，理由如下：
延长到，使得，连接，
，，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
．
4．
【分析】（1）先计算8秒的运动距离，然后画出第8秒时正方形的位置；
（2）先计算11秒的运动距离，画出第11秒时的位置，然后求得重叠部分的面积．
【解析】（1）正方形运动8秒时，运动的距离为，
第8秒时正方形的位置如图1所示．
（2）正方形运动11秒时，运动的距离为，
第11秒时正方形的位置如图2所示，
记正方形与等腰直角三角形的交点分别为、，
为等腰直角三角形，且，
，
，
重叠部分的面积为．
5．
【分析】根据全等三角形的性质得到，，推出四边形是正方形，设，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】四边形的面积不可能为，
理由：，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
设，
则，
，
，
整理得，，
，
方程无实数根，
四边形的面积不可能为．
6．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，即得，根据判定，得到，再根据平角的定义得出，即可判定；
（2）根据正方形的性质证出四边形是菱形，根据勾股定理求出，可得，再根据菱形的面积公式求解即可．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
在正方形中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形的面积，
故答案为：8．
7．
【分析】（1）作交于，于．根据正方形的性质证明可得．再证明四边形为平行四边形．即可得结论；
（2）连接、，设，则，根据勾股定理即可求出的长．
【解析】（1）证明：作交于，于．
在正方形中，
，，．
，
．
，
．
．
．
．
在和中，
，
，
．
，
．
，
四边形为平行四边形．
．
，
．
（2）如图，连接、，
，是的中点，
．
在正方形中，
．
，
．
设，则，
在中，由勾股定理得：
．
在中，由勾股定理得：
．
，
．
即，
解得：．
．
8．
【分析】（1）根据正方形的性质，可得，再根据，进而可得，结合已知条件，利用“”即可证明，由全等三角形的性质可得；
（2）根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解析】（1）证明：四边形是正方形，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：在矩形中，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
9．
【分析】（1）根据正方形得性质很容易得到，，，再根据，即可证明．
（2）根据第一问得到的全等，可以很容易得到与的数量关系，而要根据图形可以猜测其位置关系为垂直，因此只需要证明到即可，因此可以转化到算的度数．
【解析】（1）四边形是正方形，
，，
，
；
（2），，理由如下：
由（1）得：，
，，
，
，
，
．
10．
【分析】（1）根据正方形的性质和三角形的内角和解答即可；
（2）根据正方形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）延长至，使，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解析】（1）四边形是正方形，
，
，
；
（2）四边形是正方形，
，
，
，
；
（3），理由如下：
延长至，使，连接．
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，，
，
又是与的公共边，
，
．
11．
【分析】（1）根据正方形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据正方形和菱形的性质以及勾股定理解答即可．
【解析】（1）证明：正方形的对角线，相交于点，
，，
．
，
，即．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）四边形是正方形，
，，，，
，．
在直角中，由勾股定理知：，
．
．
在中，，．
四边形是菱形，
．
四边形的周长．
四边形的周长是．
12．
【分析】（1）由“”可证，可得，由勾股定理可求解；
（2）如图2，连接，由菱形的性质和等边三角形的性质可得，，，，由“”可证，可得．
【解析】（1）如图1，，，
，，，
，，，
，
正方形为“线上四边形”，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
13．
【分析】（1）延长到，使，连接，证，，根据全等三角形的性质得出进而求出即可；
（2）把绕点顺时针旋转得到，如图，根据旋转的性质得，，，则可判断点在的延长线上，由得到，然后根据“”判断，得到，再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论．
【解析】（1）解：；理由如下：
如图1，延长到，使，连接，
在和中，
，
，
，，
故，
在和中，
，
，
，
即；
（2），理由如下：
四边形为正方形，
，，
把绕点顺时针旋转得到，如图2，
，，，
而，
点在的延长线上，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
．
14．
【分析】（1）根据正方形的性质和矩形判定解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质解答即可．
【解析】（1），，
，，
正方形的对角线，交于点，
，
四边形为矩形；
（2）边长为8的正方形的对角线，交于点，
，
当在的中点时，有最小值，最小值．
15．
【分析】（1）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．证明，则．再由、、均为等腰直角三角形，得出，，，然后证明，，利用勾股定理得出，等量代换即可证明；
（2）延长交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，．由（1）知，结合勾股定理以及相等线段可得，所以．
【解析】（1）证明：如图1，设正方形的边长为．
将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则，．
，，
，
，
在与中，
，
；
．
，
、、均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：．
如图2所示，延长交延长线于点，交延长线于点，
将绕着点顺时针旋转，得到，连接，．
由（1）知，
则由勾股定理有，
即
又，，，所以有，
即，
16．
【分析】（1）延长，使，由题意可证，可得，，即可得，即可证，可得，则可得；
（2）将绕点顺时针旋转，可得，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，即可得结论．
【解析】证明：（1）四边形是正方形，
，，
如图①：延长，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2），
理由如下：
如图②，将绕点顺时针旋转，可得，
由旋转的性质可得，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
17．
【分析】（1）根据旋转的性质可以得到，则，只要再证明即可；
（2）延长至，使，连接，证，再证，即可得出答案．
【解析】证明：（1）如图1：把绕点逆时针旋转至，
则，
，，，
又，即，
，
在和中，
，
．
．
又，
，
；
（2）当时，仍有，
理由如下：如图2，延长至，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即．
18．
【分析】（1）连接．由正方形的性质得到、关于对角线对称，求得，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据勾股定理即可得到结论；
（2）过点作，在、中，求出、即可求得结果．
【解析】（1）结论：．
理由：连接．
四边形是正方形，
、关于对角线对称，
点在上，
，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
；
（2）过点作于，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
．
19．
【分析】（1）根据正方形性质求出，，根据全等三角形判定可得，，再根据平行线的判定可得，进而可得即可四边形为平行四边形；
（2）根据直角三角形两个锐角互余，再结合（1）可得图中所有与互余的角．
【解析】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
在和中，
，
和
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2），
，
，
，与互余；
，
，
与互余；
，
与互余；
，
与互余；
与互余的角有：、、、、．
20．
【分析】（1）设，利用正方形的性质和矩形的性质得到，，再证明，则，然后解方程得到的长；
（2）利用勾股定理计算出，再计算，从而得到结论．
【解析】（1）解：设，则，，
，
，
即，
，解得，（舍去），
即的长为；
（2）证明：点为边的中点，
，
在中，，
，
．
21．
【分析】（1）如图1，连接，由正方形的性质得到，，接下来证明，于是得到，然后证明四边形是矩形，由矩形的对角线相等可得到，从而等量代换可证得；如图2，延长交于，延长交于，连接，由，依据全等三角形对应角相等可得到，由四边形是矩形可证明，从而得到，由可证明，从而可得到；
（2）先根据勾股定理计算，根据和三角形内角和定理可得，计算，由是等腰直角三角形，可得的长．
【解析】（1），且，理由是：
如图1所示：连接，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
如图2所示：延长交于，延长交于，连接．
，
，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，，
．即，
，
，即；
（2）中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
．
22．
【分析】（1）证即可得；
（2）作，由正方形的边长为8且为的中点知、，再根据勾股定理得的长，由直角三角形性质知问题得解．
【解析】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）如图，过点作于点，
正方形的边长为8，
，
为的中点，
，
则，
．
23．
【分析】（1）根据正方形性质和平移得：，，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：是平行四边形；
（2），，理由是：根据证明，得，，再根据，得，得出结论．
【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，理由是：
四边形为正方形，
，，
由平移得：，
，，
四边形是平行四边形；
（2），，理由是：
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
24．
【分析】（1）延长至，使，连接，证，，根据全等三角形的性质得出进而求出即可；
（2）延长至，使，连接，证，证，即可得出答案．
【解析】（1）延长至，使，连接，如图1，
在正方形中，
，，
在和中，，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，
的周长．
故答案为：；8．
（2），理由如下：
延长至，使，连接，如图2，
，，
，
在和中，，
，
，，
，，
即，
，
，
在和中，，
，
，
即．
