第9章 中心对称图形-平行四边形
9.11平行四边形的性质与判定大题专练（重难点培优）
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题（共24小题）
1．已知，如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．
2．如图，已知四边形，，，对角线、相交于点，点是四边形外一点．
（1）求证：、互相平分；
（2）若，请判断四边形的形状，并给予证明．
3．已知：在中，、是对角线上的两点，且，对角线、交于点．
求证：（1）；
（2）．
4．如图，在中，点，分别在，上，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）连接，，若，，且，求四边形的周长．
5．已知：如图，在中，点、分别在、上，且，连接，．
求证：．
6．如图，，是四边形的对角线上两点，，，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
7．如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点．
（1）求证：；
（2）若平分，判断四边形的形状，并证明你的结论．
8．如图，在中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
9．如图，是的边的中点，延长交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
10．中，平分交于，为中点，连接并延长交于，连接．
（1）判断四边形的形状并说明理由；
（2）若，，当为直角三角形时，求的周长．
11．如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，，，求平行四边形的周长．
12．如图，点、分别在的边、的延长线上，且，连接、、、，与交于点．
（1）求证：、互相平分；
（2）若平分，判断四边形的形状并证明．
13．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，交于，，求长．
（3）若时，则平行四边形为 形．
14．如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点．
（1）求证：；
（2）当时，判断四边形的形状？并说明理由．
15．如图，四边形中、相交于点，延长至点，连接并延长交的延长线于点，，．
（1）求证：是线段的中点：
（2）连接、，证明四边形是平行四边形．
16．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为、．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
17．如图，四边形为平行四边形，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，为的中点．判断与的位置关系，并说明理由．
18．如图，在四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为．
（1）用含的代数式表示：
； ； ； ．
（2）当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当为何值时，四边形是平行四边形？
19．如图，的对角线、交于点，，分别是、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的周长．
20．已知：在平行四边形中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，连接并延长至点，使，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形面积的一半．
21．如图，为中边的延长线上的一点，且，连接交于点，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）连接交于点，连接并延长交于点，直接写出图中所有长度是二倍的线段．
22．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点，当时，，，求的长．
23．如图，在中，点、、、分别在边、、、上，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，请判断四边形的形状，并说明理由．
24．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，平分，，作延长线于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若为中点，，，求的长．
参考答案
一、解答题（共24小题）
1．
【分析】由平行四边形的性质得出，，推出，即可得出结论．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
2．
【分析】（1）证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）由（1）得：四边形是平行四边形，则，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，即可得出结论．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
、互相平分；
（2）解：四边形是矩形，证明如下：
连接，如图所示：
由（1）得：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
平行四边形是矩形．
3．
【分析】（1）利用证明三角形全等即可；
（2）证得四边形是平行四边形即可利用对边平行证得结论．
【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
；
（2）连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
4．
【分析】（1）先由证明，得出，再由，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分确定，，然后求得，从而求得答案．
【解析】（1）证明：连接，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
；
（2）解四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
四边形的周长为．
5．
【分析】根据四边形是平行四边形，可得，，再由可得与平行且相等，进而可以证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质证得结论即可；
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
6．
【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等，这一判定定理容易证明．
（2）由，容易证明且，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解析】证明：（1），
．
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，，
．
四边形是平行四边形．
7．
【分析】（1）根据四边形是平行四边形证明，即可得结论；
（2）结合（1）证明四边形是平行四边形，再根据已知条件证明，即可得结论．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
，
．
（2）四边形是菱形．理由如下：
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形．
8．
【分析】（1）先证明，然后利用可进行全等的证明；
（2）先根据等腰三角形的性质可得，求出的度数，即可得的度数．
【解析】（1）证明：在平行四边形中，，，
，
又，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
9．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，，由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，由平行线的性质证出，求出，即可得出的长．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的边的中点，
，
在和中，
，
；
（2），
，
，
，
在中，，
，
．
10．
【分析】（1）由，推出，由，可得四边形是平行四边形，再证明即可解决问题；
（2）分不为直角和两种情况求得周长即可．
【解析】（1）四边形是菱形；
理由：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2），
不可能为直角；
当时，，，，此时的周长为；
当时，，，，此时的周长为；
所以的周长为或．
11．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，求出，根据角平分线定义得出，求出，即可得出答案；
（2）求出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，在中，，，解直角三角形求出，，，，即可得出答案．
【解析】（1）四边形为平行四边形，
，，
，
又平分，
．
．
，
；
（2）解：由（1）知：，
又，
为等边三角形，
，，
，
点是的中点．
在中，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
平行四边形的周长为．
12．
【分析】（1）要证明线段与互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后证明这个四边形是平行四边形即可；
（2）要证四边形是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
又，
，
即．
，，
四边形是平行四边形．
、互相平分．
（2）四边形是菱形．
证明：，
．
平分，
．
．
．
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
13．
【分析】（1）运用证明得，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证得结论；
（2）根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度；
（3）由可得，由平行四边形的性质可得，从而可得结论．
【解析】（1），
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形为平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
（3）是的外角，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形．
故答案为：矩．
14．
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出；
（2）证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出四边形为菱形．
【解析】证明：（1），，
四边形是平行四边形，，
，
四边形是平行四边形，
，
，在
和中，，
；
（2）当满足时，四边形为菱形；理由如下：
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形为菱形．
15．
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，则结论得出；
（2）证明．则，可得出结论．
【解析】证明：（1），
，
，
四边形是平行四边形，
，互相平分；
即是线段的中点．
（2），
，
在和中，
，
．
，
又，
四边形是平行四边形．
16．
【分析】（1）欲证明，只要证明即可；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明；
【解析】证明：（1）四边形是平行四边形．
，．
．
，，
．
在与中
，
，
．
（2），，
．
．
又，
四边形是平行四边形．
17．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用即可证明．
（2）结论：．利用三角形中位线定理，证明即可解决问题．
【解析】（1）四边形为平行四边形，
，，
为的中点，
，
在和中，
．
（2）结论：．理由如下：
，
，
，
，
为的中点，
，
．
18．
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出，，，的长
（2）当时，四边形是平行四边形，建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可；
（3）当时，四边形是平行四边形；建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可．
【解析】（1），，，
（2）根据题意有，，，．
，当时，四边形是平行四边形．
，解得．
时四边形是平行四边形；
（3）由，，
，，
，
如图1，，即，
当时，四边形是平行四边形．
即：，
解得，
当时，四边形是平行四边形．
19．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，，根据三角形中位线的性质得到，，根据平行四边形的判定可证得结论；
（2）由勾股定理求得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，进而可求得结论．
【解析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，，
由三角形的中位线的性质得到，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，，
，
，
，
，
四边形的周长．
20．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质得，易证，由证得，得出，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，，，，易证、互相平分，则四边形是平行四边形，，易证是的中位线，则，易证四边形是平行四边形，，证，，则四边形是平行四边形，，证，，则四边形是平行四边形，．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，，
，点为的中点，
、互相平分，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
点，分别为，的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
图中的平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形面积的一半．
21．
【分析】（1）由可以得到，，再利用即可证明，便可得结论；
（2）证明是的中位线，得，进而得，再证明四边形为平行四边形得．
【解析】（1）四边形是平行四边形，
，．
又，
．
，
，．
，
；
（2）四边形为平行四边形，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故图中长度是二倍的线段有，，，．
22．
【分析】（1）只要证明，即可；
（2）在中，，推出，在中，，由此即可解决问题．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，，
，
在中，，
．
23．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得，得，同理，得，即可得出四边形是平行四边形；
（2）由（1）知四边形是平行四边形，再证得该平行四边形的邻边相等即可．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
在与中，，
，
，
同理：，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形为平行四边形．
，
．
平分，
，
，
，
是菱形．
24．
【分析】（1）证，得，由，即可得出四边形为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得，证，得，，则，由勾股定理得，得，由勾股定理即可得出答案．
【解析】（1）证明：平分，，
，，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形为平行四边形，
，
为中点，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
．
