第9章 中心对称图形-平行四边形
9.6 矩形的判定
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平行四边形中，添加下列条件，其中能说明平行四边形是矩形的是
A． B． C． D．平分
2．下列条件中，能判定是矩形的是
A． B． C． D．
3．下列关于四边形的说法，正确的是
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
4．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等
5．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，则下面条件能判断平行四边形是矩形的是
A． B． C． D．
6．如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为矩形的是
A． B． C． D．
7．如图，要使成为矩形，需添加的条件是
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是
A ． B ．
C ． D ．
9．如图，在四边形中，已知，，，平分，若，则等于
A． B． C． D．
10．在等腰直角三角形中，，，点是线段上的一个动点，过点分别作、的垂线交、于点、，连接，则的最小值为
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，在平行四边形中，若，则四边形是____________．
12．如图，四边形的对角线互相平分，需要添加一个条件，使它变为矩形，你添加的条件是____________．（不要添加任何字母和辅助线）
13．在四边形中，对角线，交于点且，互相平分，若添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是____________（填写一个即可）．
14．在四边形中，有以下四个条件：
①；②；③；④．
从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形．则可以选择的条件序号是____________．
15．已知，，小明按如下步骤作图，①以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接，，则四边形为____________．
16．已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为____________．
17．如图，在矩形中，，，点从点向点以每秒的速度运动，以每秒的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，两点同时出发，点到达点为止（同时点也停止），这段时间内，当运动时间为____________时，、、、四点组成矩形．
18．如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是____________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在菱形中对角线、交于点，过点作于点，将沿方向平移，使点落到点处，点落到点处．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
20．如图，在中，，是中点，过点作，使．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）取中点，作，交于点，若，，求的长．
21．如图，在菱形中，对角线，相交于点．过点作，过点作交于点．
（1）求证四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．已知的三边，，，如图，为边上一动点，于点，于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）在点的运动过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
23．如图，已知点，，在同一直线上，，分别是与的平分线，，，垂足分别为，，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）猜想与的位置关系，并证明你的结论．
24．如图，在四边形中，、相交于点，，，．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、 C
【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【解析】、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故本选项符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
故选：．
2、A
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】、中，，
是矩形，故选项符合题意；
、中，，不能判定是矩形，故选项不符合题意；
、中，，不能判定是矩形，故选项不符合题意；
、中，，
是菱形，故选项不符合题意；
故选：．
3、D
【分析】根据菱形的判断方法、矩形的判断方法逐项分析即可．
【解析】、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
、有两边相等的平行四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
、两条对角线相等的菱形是正方形，也是矩形，说法正确，符合题意；
故选：．
4、D
【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解析】、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误；
、对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误；
、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误；
、根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故正确．
故选：．
5、A
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此分析判断．
【解析】选项是对角线相等，可判定平行四边形是矩形．而、、不能．
故选：．
6、C
【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．
【解析】．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
．不能判定平行四边形为矩形，故此选项符合题意；
．平行四边形中，，
，
又，
，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意．
故选：．
7、B
【分析】根据一个角是的平行四边形是矩形进行选择即可．
【解析】、，邻边相等，可判定平行四边形是菱形，不符合题意；
、一内角等于，可判断平行四边形成为矩形，符合题意；
、对角线互相垂直，可判定平行四边形是菱形，不符合题意；
、对角线平分对角，可判断平行四边形成为菱形，不符合题意；
故选：．
8、D
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解析】、，能判定四边形是菱形，不能判断四边形是矩形；
、，不能判断四边形是矩形；
、，能判定四边形是菱形，不能判断四边形是矩形；
、，能得出对角线相等，能判断四边形是矩形；
故选：．
9、B
【分析】过作交的延长线于，根据角平分线的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】过作交的延长线于，
，平分，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
故选：．
10、B
【分析】首先证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短即可解决问题；
【解析】，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，此时，，
，
，
的最小值为3，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．
【分析】由平行四边形的性质可得，，由等腰三角形的判定可得，可得，由矩形的判定可得平行四边形是矩形．
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形，
故答案为矩形．
12．
【分析】由四边形的对角线互相平分，可得出四边形为平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出答案．
【解析】四边形的对角线互相平分，
四边形为平行四边形，
添加条件：或或或或时，四边形是矩形；
故答案为：或或或或．
13．
【分析】因为在四边形中，对角线与互相平分，所以四边形是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
【解析】对角线与互相平分，
四边形是平行四边形，
要使四边形成为矩形，
需添加一个条件是：或有个内角等于90度．
故答案为：或有个内角等于90度．
14．
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．
【解析】当具备①③④这三个条件，能得到四边形是矩形．理由如下：
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
故答案为：①③④．
15．
【分析】直接利用基本作图方法得出四边形是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．
【解析】四边形为矩形．
理由：，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
故答案为：矩形．
16．
【分析】根据、、、四点坐标得到四边形为矩形，根据矩形的性质当直线过矩形的对角线的交点时，直线把矩形的面积分成相等的两部分，然后把中点坐标代入即可计算出的值．
【解析】点，，，，
四边形为矩形，
直线将四边形分成面积相等的两部分，
直线过矩形的对角线的交点，
而矩形的对角线的交点坐标为，
，
．
故答案为．
17．
【分析】根据已知可知：当点到达点时，点将由运动，根据矩形的性质列方程即可得到结论．
【解析】根据已知可知：当点到达点时，点将由运动，
四边形是矩形，
，，
，
若，则四边形是矩形，
由题意得，
当时，，，
，
当时，，，
，
当时，，，
；
当时，，，
，此时与重合，无法构成矩形，故舍去，
故答案为：或或．
18．
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【解析】如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）由平移的性质得：，，则四边形是平行四边形，再证，即可得出平行四边形是矩形；
（2）由勾股定理求出，再由菱形的性质得，，，，设，则，在再，由勾股定理得，解得，则，然后由勾股定理求出，即可求解．
【解答】（1）证明：由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形，
，，，，
设，则，
在再，由勾股定理得：，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
．
20．
【分析】（1）先由已知条件证得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质证得，即可得到四边形是矩形；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，即可得到．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，是中点，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：连接，
是的中点，，
，
四边形是矩形，，，
，，
设，则，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
，
即．
21．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理得，即可求解．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
矩形的面积．
22．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理求出，即可得出结论；
（2）连接，当时最短，结合矩形的两对角线相等和面积法即可得出结果．
【解答】（1）证明：，
，
于点，于点，
，
，
四边形是矩形；
解：（2）存在，理由如下：
连接，如图所示：
四边形是矩形，
，
当时最短，
此时，，
即：，
解得：，
的长度的最小值为．
23．
【分析】（1）先利用角平分线和平角的定义，判断出再判断出，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论得出，再判断出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，分别是与的平分线，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形；
（2）解：，证明如下：
由（1）知，四边形是矩形，
，
，
是的角平分线，
，
，
．
24．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得出，，再证出，即可得出结论；
（2）由勾股定理可求，由面积法可求解．
【解答】证明：（1），
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形；
（2）如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
．
