第9章 中心对称图形-平行四边形
9.5 矩形的性质
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是3，则矩形的面积是
A．6 B．9 C．12 D．15
2．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，，则的长为
A．4 B．3 C．2 D．
4．如图，在矩形中，平分交于点，连接，若，，则长方形的面积为
A．15 B．16 C．22 D．28
5．如图，在矩形中，是的中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
6．如图，在矩形中，点的坐标是，点的坐标是，则的长是
A． B．5 C． D．
7．已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则等于
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止），在这段时间内，线段平行于的次数是
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在中，，，垂足为，，垂足为，为的中点，连接、，则的度数为
A． B． C． D．
10．如图，线段的长为10，点在上，是边长为3的等边三角形，过点作与垂直的射线，过上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为
A．4 B．5 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，，则____________．
12．在矩形中，、相交于点，若，则____________．
13．如图所示，在矩形中，平分，且等于，____________．
14．如图，在矩形中，点在上，且平分，若，，
则____________．
15．如图，矩形的对角线，相交于点，交于点，连接．若矩形的周长为，则的周长为____________．
16．如图，矩形中，，，、分别是线段、上的点，且四边形是矩形，若是等腰三角形，则的长____________．
17．如图，长方形中，，，是的中点，点从点出发以的速度沿向终点运动，点从点出发以的速度沿向终点运动，点、同时出发，并且当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动；当与全等时，的值是____________．
18．两个完全相同的长方形与长方形如图放置，点在线段上，若，，则长方形的面积是____________．（用，表示）
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，，且，则的长为____________．
20．如图，矩形中，、是上的点，．求证：．
21．如图，矩形中，，，点在上，点在边上，平分．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若点是的中点，求的长．
22．如图，在矩形中，点是中点，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求点到的距离．
23．如图，在矩形中，点在上，且平分．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，求的度数．
24．如图，在中，将对角线分别向两个方向延长至点、，且．连接、、、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，当四边形是矩形时，则的长为____________．
参考答案
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C
【分析】由矩形的性质可得，可得，即可求解．
【解析】四边形是矩形，
，
，
矩形的面积，
故选：．
2．B
【分析】由矩形的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，则，得，然后由勾股定理即可求解．
【解析】四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
3．A
【分析】只要证明是等边三角形即可解决问题．
【解析】四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
4．D
【分析】根据矩形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，求出，求出，即可得出答案．
【解析】四边形是矩形，
，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
矩形的面积是，
故选：．
5．C
【分析】设，，，，根据，由是的中点可得，进而判断．
【解析】设，，，，
连接，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，，
，
同理，
，
是的中点，
，
，
，
方法二：连接，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
为矩形，
同理四边形为矩形，
．
故选：．
6．B
【分析】利用矩形的性质得出，求得线段的长即可得出的长．
【解析】连接，如图：
四边形是矩形，
，
点的坐标是，点的坐标是，
，
，
故选：．
7．A
【分析】首先连接．由矩形的两边，，可求得，然后由求得答案．
【解析】连接，
矩形的两边，，
，，，，，
，，
，
，
故选：．
8．C
【分析】当时，可得到为平行四边形，然后依据矩形的性质可得到，然后求得的次数即可．
【解析】当时，．
，，
四边形为平行四边形，
．
点运动的时间秒，
点运动的路程．
点可在间往返4次．
在这段时间内与有4次平行．
故选：．
9．C
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解析】，
，
，，点是的中点，
，，
，，
，
，
，
故选：．
10．B
【分析】连接，根据矩形对角线相等且互相平分得：，再证明，则；点一定在的平分线上运动，根据垂线段最短得：当时，的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．
【解析】连接，
四边形是矩形，
，，，
，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
点一定在的平分线上运动，
当时，的长度最小，
，，
，
即的最小值为5．
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．
【分析】由矩形的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，即可得出答案．
【解析】四边形是矩形，
，，，
，
设，则，
，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
；
故答案为：10．
12．
【分析】由矩形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可求解．
【解析】四边形是矩形，
，，，
，
，
，
故答案为：130．
13．
【分析】证是等腰直角三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可求解．
【解析】四边形是矩形，
，，，，
，
平分
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：135．
14．
【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出，进而求得．
【解析】四边形是矩形，
．
．
平分，
．
．
，
四边形是矩形，
．
，
．
．
故答案为：2．
15．
【分析】由矩形的性质可得，，，可证是线段的中垂线，可得，即可求解．
【解析】四边形是矩形，
，，，
矩形的周长为，
，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故答案为4．
16．
【分析】先求出，再分①当，②当，③当三种情况讨论计算即可得出结论．
【解析】在矩形中，，，，
，
，
若是等腰三角形，
①当时，；
②当时，，
，
，
，
，
，
③当时，如图：
过点作于，则，
，
，
，
，
．
故答案为：4或5或．
17．
【分析】根据矩形的性质、全等三角形的判定定理解答即可．
【解析】，是的中点，
，
点的速度是，
后，
，
则，
解得，
则，
与全等，
，
解得．
当，，也符合题意，
解得
故答案为：3或2．
18．
【分析】根据矩形的性质以及矩形的面积公式即可求出答案．
【解析】由题意可知：，，
设，
，
，
，，
长方形的面积为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）在矩形中，为对角线的中点，可得，，可以证明可得，进而证明四边形为平行四边形；
（2）根据，可得四边形为菱形；根据，，，即可在中，根据勾股定理，求出的长．
【解答】（1）证明：在矩形中，为对角线的中点，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：在矩形中，，
由（1）知：，
，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
故答案为．
20．
【分析】由矩形的性质和，得出，再证明，得出对应边相等即可．
【解答】证明：四边形是矩形，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
．
21．
【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，可得结论；
（2）由勾股定理可求的长，即可求解．
【解析】（1）是等腰三角形，
理由如下：四边形是矩形，
，，，，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），，
，，
点是的中点，
，
中，，
，
，
．
22．
【分析】（1）由即可证明，得出，即可得出结论；
（2）作于，由矩形的性质得出，由平行四边形的性质得，由勾股定理求出，由面积法求出即可．
【解答】（1）证明：是中点，
，
四边形是矩形，
，即．
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：如图，过作于，
四边形是矩形，
，
由（1）得：四边形为平行四边形，
，
由勾股定理得：，
，
的面积，
，
即点到的距离为．
23．
【分析】（1）由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出即可；
（2）由，求出、的长，再由求出即可．
（3）根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
．
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，，
，
．
（3）四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．
【分析】（1）连接，由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形．
（2）根据题意可得，根据勾股定理可求，可证，根据相似三角形的性质可求，从而求得的长．
【解答】（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，
，
，
方法，
，
设，则，
四边形是矩形，
，
，
在中，
，
，
解得，
，
．
方法四边形是矩形，
，
，
，
，
，即，
解得，
．
故答案为：．
