2023-2024学年数学九年级下册人教版开学摸底测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．早上的太阳从西方升起
C．400人中至少有两人的生日在同一天 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．体育课，甲、乙、丙、丁四人在练习踢足球，足球从一人踢向另一人记为踢一次，若第一次由甲踢出足球，则踢三次后足球回到甲处的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线与在的范围内始终存在，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C． D．
5．为让利于民，一家超市做活动，将某种大米降价销售，已知该种大米原价为每袋元，经过两次降价后每袋元．若平均每次降价的百分率都为x，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
6．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，在正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段长为半径作圆，与底边的延长线交于点F，矩形称为黄金矩形．若，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线与抛物线交于两点，为上的一点，过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为的长为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，为边上一点，以点为圆心，长为半径画圆，与射线相交于点．下列说法正确的有（ ）
①若为的中点，则与相切；
②若点与点重合，则经过的中点；
③若，则平分；
④若被平分，则．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
9．在的□中任意填上“＋”或者“－”号，所得的代数式为完全平方式的概率是 ．
10．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是 ．
11．如图，为等边三角形，点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ．
12．如图，在边长为2的正方形中，点E是线段上异于A，C的动点，将线段绕着点B顺时针旋转得到，连接，则的最大面积为 ．
13．如图，是的直径延长线上一点，过点作的切线为切点，是上一点（在直径的下方）．若，则的度数为 ．
14．如图，抛物线的对称轴是．且过点，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序号）
15．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，．若，，则的度数为 ．
16．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别为，的中点，则线段长度的最大值为 ．
三、解答题
17．校园读书活动是“书香安徽”全民阅读活动的重要组成部分．某校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了部分八年级学生最近一周的读书时间（时间都取整数值），并绘制了如图所示两幅不完整的统计图．
(1)这次共调查了多少名八年级学生？请把条形统计图补充完整．
(2)估计该校八年级学生最近一周人均读书时间是多少？（结果精确到）
(3)学校欲从被调查的读书时间不少于9h的学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，则被抽到学生的读书时间等于h的概率是多少？
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点（网格线的交点）上．
(1)将绕点顺时针旋转得到，画出；
(2)作关于轴对称的；
(3)_______．
19．已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)求三点的坐标．
(2)在该拋物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值．
21．面对全球疫情蔓延、芯片短缺等不利影响，新能源汽车销量仍大幅增长，因此，2022年的新能源汽车补贴标准在2021年基础上退坡30%．某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元，今年受补贴标准的影响，二月份A型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元，在卖出相同数量的A型汽车的前提下，二月份的销售额为320万元．
(1)求今年二月份每辆A型汽车的售价．
(2)经过一段时间后，该销售公司发现，A型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元，销售量会减少2辆，已知A型汽车的进价不变，每辆12万元，那么如何确定售价才可以获得最大利润？
22．如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点，是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点，，，是“爱心”图案与坐标轴的交点，且点，的坐标分别为，．
(1)求，的值；
(2)求抛物线关于直线对称后的图象的表达式．
23．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标；
(3)如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线与分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线与y轴交于点G，M为线段的中点，连接、，当时，求h的值．
24．如图，已知为的直径，将绕点旋转一定的角度后得到，交于点，连接，交于点，过点作，垂足为点．
(1)求证：为的切线；
(2)连接、，若，，求的面积．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了必然事件的定义，正确理解必然事件的定义是解答本题的关键．在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件．根据必然事件的定义即可判断答案．
【详解】选项A，是随机事件，不是必然事件，不符合题意；
选项B，是不可能事件，不是必然事件，不符合题意；
选项C，是必然事件，符合题意；
选项D，是随机事件，不是必然事件，不符合题意．
故选C．
2．C
【分析】根据题意画出树状图，用踢三次后足球回到甲处的情况数除以总的情况数即可得到答案，此题考查了列表或树状图求概率，准确画出树状图是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
共有27种等可能的情况，其中踢三次后足球回到甲处的共有6次，故踢三次后足球回到甲处的概率是．
故选：C
3．B
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可得到抛物线解析式．
【详解】解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用分类讨论思想是解题关键．运用分类讨论的方法即可得出a的取值范围．
【详解】解：当时，，，，符合条件．
当时，，，
当时，此时可化为，
即，解得；
当时，此时可化为，
即，
解得，
又∵，
∴．
5．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
根据等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2＝现价，把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率都为x，由题意可得，
故选：D．
6．D
【分析】结合题意可得，和是扇形的边，则，根据正方形性质可得，，因为是的中点，则；根据勾股定理可得，直角中，，即，综合可得即可求得的值．
【详解】解：依题得：，
设，
则正方形中，，，
是的中点，
，
又，
，
在直角中，，
即
，（舍去），
．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到和两个等量关系式列一元二次方程．
7．C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，过点作轴，交直线于点．由题意得，，根据即可求解．
【详解】解：过点作轴，交直线于点．如图所示：
由直线得直线与轴正方向的夹角为，
∵轴，
∴，
．
∵点的横坐标为，轴，
∴，，
，
∴．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键；设，求解，如图，过作于，可得当为的中点时，半径为，则①正确．当点与点重合时，如图，可得，②正确．当点在线段上时，，不存在；当点在射线上时，过点作，证明，证明，可得③正确．若被平分，即，此时点必在射线上，过点作，如图2，同理可得，可得④错误．
【详解】解：设，，
∴，
如图，过作于，
∴点到的距离，
当为的中点时，半径为，
与相切，①正确．
当点与点重合时，如图，
∴
∴经过的中点，②正确．
当点在线段上时，，
，
∴不存在；
当点在射线上时，过点作，
如图1，∵，，
∴，为等腰直角三角形，
．
又，
∴，，
∴，
∴，
即平分，③正确．
若被平分，即，此时点必在射线上，过点作，
如图2，同理可得，
，
∴，
即，④错误．
故选：B．
9．
【分析】本题考查概率，掌握完全平方公式及概率的公式是解题关键．
先画树状图展示所有四种等可能的结果数，再根据完全平方式的定义得到“＋＋”和“﹣＋”能使所得的代数式为完全平方式，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有四种等可能的结果数，其中“＋＋”和“﹣＋”能使所得的代数式为完全平方式，
所以所得的代数式为完全平方式的概率为，
故答案为：．
10．/度
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
根据旋转的性质得，再根据三角形内角和定理计算出，然后利用进行计算即可．
【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】过点A作于点E，过点Q作于点M，延长，取，连接，过点C作于点F，证明，得出，，说明点Q在过点D，且与的夹角为直线上，根据垂线段最短，得出当点Q在点F处时，最小，且最小值为的长，根据等边三角形的性质，求出最小值即可．
【详解】解：过点A作于点E，过点Q作于点M，延长，取，连接，过点C作于点F，如图所示：
则，
∵线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴点Q在过点D，且与的夹角为直线上，
∵垂线段最短，
∴当点Q在点F处时，最小，且最小值为的长，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，余角的性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
12．1
【分析】本题考查了二次函数的应用．利用正方形的性质、旋转的性质和证明，设，则，证明，利用三角形面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为2，
∴，，，，
设，则，
由旋转的性质知，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴有最小值，最小值为1．
故答案为：1．
13．/度
【分析】本题考查切线的性质，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，理解题意，准确添加辅助线是解题关键．
连接，由切线的性质可得，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半分析求解．
【详解】解：连接，
∵过点作的切线为切点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
14．①③④
【分析】本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
根据抛物线的对称轴方程及开口方向可判断a、b、c符号，判断①正确；根据对称轴为直线，过点，结合图象可判断②错误；由对称轴方程，可判断③正确；代入结合函数的图象判断④正确．
【详解】解：①，a、b同为负号，抛物线与y轴交于正半轴，，故，原结论正确；
②当时，抛物线过点，由图象可知，时，，即，原结论错误；
③由对称轴可知，，抛物线过点，另一个交点的坐标为，，，原结论正确；
④当关于的方程有两个不相等的实数根时，即，由图象可知时，抛物线与直线有两个交点，即关于的方程有两个不相等的实数根，原结论正确．
故答案为：①③④．
15．/38度
【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵为直径，即，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当取得最大值时，就取得最大值，即当为直径时，最大，最大，
如图所示：将此时的点记为点，
∵是的直径，
∴，
∵，，
由勾股定理得：，
∴，
∴长的最大值为，
故答案为：．
17．(1)人，图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据求得调查总人数，然后补全条形统计图；
（2）根据平均数的概念计算求解；
（3）根据概率公式计算求解．
【详解】（1）解：（人）．
∴这次共调查了名八年级学生；
（人），
（人）
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：．
答：估计该校八年级学生最近一周人均读书时间是．
（3）解：被调查的读书时间不少于的学生共人，被抽到学生的读书时间等于的事件包含其中种结果，
．
【点睛】本题考查了画条形统计图，样本估计总体，根据概率公式求概率，掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)45
【分析】本题主要考查旋转作图和轴对称作图：
（1）根据旋转的性质得出对应点，然后再顺次连接即可得出；
（2）分别作出点D，E，F三点关于轴对称的点再顺次连接即可作出；
（3）由可得，从而可得结论．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）如图，即为所作；
（3）由（1）（2）知，
又，
∴，
∴，
故答案为：45
19．(1)
(2)存在，点的坐标为．
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可；
（2）求出抛物线的对称轴为，连接与对称轴的交点即为点M，求出的解析式，把代入即可求出．
【详解】（1）解：令，则，解得：，，
∴点，点，
当时，，
∴点；
（2）解：存在，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
连接与对称轴的交点即为点M，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴，
当时，，
∴点的坐标为．
20．2
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数与一次函数的解析式设出点C，D的坐标,然后然后用点C的纵坐标减去点D纵坐标表示出，再根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：设，
，
当时，有最大值，最大值为2．
21．(1)16万元
(2)每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元
【分析】（1）设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．根据卖出相同数量的A型汽车列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设每辆型车的售价为元，利润为元．列出w关于a的二次函数，根据二次函数的性质求出答案即可；
此题考查了二次函数的应用、分式方程的应用，读懂题意，正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是分式方程的解且符合题意．
答：今年二月份每辆型汽车的售价为16万元．
（2）设每辆型车的售价为元，利润为元．
根据题意，得，
∴当每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元．
22．(1)的值为，的值为5；
(2)．
【分析】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析以及二次函数的图象与性质：
（1）运用待定系数法求出a，k的值即可；
（2）如图，在（1）的抛物线上任取一点，在抛物线关于直线对称的图象上取点的对应点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，利用对称性可得出，，由点在抛物线上得，从而可得结论．
【详解】（1）解：将点，的坐标代入抛物线的表达式，得，，
解，得，
所以，的值为－1，的值为5．
（2）解：如图，在（1）的抛物线上任取一点，在抛物线关于直线对称的图象上取点的对应点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，
∵点是点关于直线对称的对应点，
又∵点是点关于直线对称的对应点，点在直线上，
∴，，
∵，，
，，
∴，，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线关于直线对称后的图象的表达式为．
23．(1)（0，3）
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）作的垂直平分线交y轴于点E，连接并延长交抛物线于点D，设，可得，进而得到，再设，代入和，可得，联立直线与抛物线解析得：，可得，即可求解；
（3）设：，，将联立抛物线得：…①，进而得到∴，同理可得：，由，解得：，由，得到，由①可知：．同理可知：，进而可得，所以，再设，联立抛物线得：，可得，所以，由，得到，从而得解.
【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得：
解得：．
∴C点的坐标为.
（2）解：作的垂直平分线交y轴于点E，连接并延长交抛物线于点D
∵，
∴
由可得
设，
则
解得：，
∴，
再设，代入和
可得：
∴
联立直线与抛物线解析得：
解得
∴D点的坐标为：
（3）解：设：，
将联立抛物线得：…①
，
∴
同理可得：
由
解得：
∵
∴
由①可知：．
同理可知：
∴
∴
再设，联立抛物线得：
∴
∵
∴由②可知
∴
故
∵．
∴
∴
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与一次函数的交点问题，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．(1)见解析；
(2)．
【分析】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理和中位线的性质，
（１）连接、，由圆周角定理得，通过则垂直平分，再根据中位线性质即可求证；
（）由，垂直平分，可得，则，故有垂直平分，且，再通过勾股定理即可求解；
解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线；
（2）∵，垂直平分，
∴，
∴，
∴垂直平分，且，
∴，
设与相交于点，则，
即，解得，
∴，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴的面积为．
