2023-2024学年北师大版九年级下册同步练习【提升卷】
1.4解直角三角形
一、选择题
1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
2．如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，测得BC＝3米，∠ACB＝50°，则AB的高为（ ）
A．3cos50°米 B．3tan50°米 C． 米 D． 米
3．如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，，则菱形的周长是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．28
6．如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A． B．4sinα C．4cosα D．
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，已知OA=8，OC=4，则点A1的坐标为（ ）
A．（4.8，6.4） B．（4，6）
C．（5.4，5.8） D．（5，6）
10．如图，等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A，B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA，B翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：
①CD=CP=CQ；②∠PCQ为定值；③△PCQ面积的最小值为 ；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA= .
12．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
13．将一架长为3米的梯子斜靠在竖直的墙AB上，梯子与地面的夹角，则梯子底端C与墙根A点的距离为 米．（结果精确到米）[参考数据：，，]
14．如图，在菱形ABCD中，tanA＝ ，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时， 的值为 ．
15．如图1，将一张等腰三角形纸片沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了.若，则 ，矩形的面积为 .
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= 。求BC的长及∠A的正切值．
17．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ）
18．阅读理解题：下面利用45°角的正切，求tan22.5°的值，方法如下：
解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=45°，如图．
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D= ∠ABC=22.5°．
设AC=a，则BC=a，AB=BD= a．
又∵CD=BD+CB=（1+ ）atan22.5°=tan∠D= ﹣1
请你仿照此法求tan15°的值．
答案解析部分
1．答案：C
解析：如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴cosB==．
故选C．
分析：
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到cosB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
2．答案：B
解析：解：∵BC＝3米，∠ACB＝50°，tan∠ACB＝ ，
∴旗杆AB的高度为AB＝BC×tan∠ACB＝3tan50°（米），
故答案为：B．
分析：由题意可知在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的正切函数进行分析解答．
3．答案：C
解析：解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
分析：根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AD=2，再由勾股定理算出BD的长，进而根据正切函数的定义可求出CD的长，最后根据BC=BD+CD即可求出答案.
4．答案：D
解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边为BC，斜边为AB，则sinA=
设BC=5，则AB=13，
由勾股定理得AC=
，则tan B= .
故答案为：D。
分析：在Rt△ABC中，∠C=90°，需要知道∠A所对的边为BC，斜边为AB，则可得sinA=，从而可设BC=5，AB=13，由勾股定理求出AC，再由正切函数的定义求出tan B.
5．答案：C
解析：解：∵，
∴cosB=．
∵在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
∴BE：AB=（BC﹣EC）：BC=3：5，
∴BC=10，
则菱形的周长=10×4=40．
故选C．
分析：根据菱形的性质和同角三角函数的关系，可知EC和菱形边长的关系，从而求出菱形的周长．
6．答案：D
解析：解：如图，连接BD．
则BD=，
AD=，
AB=，
∴BD2+AD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴tanA=．
故答案为：D．
分析：首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
7．答案：B
解析：过点作，垂足为C
由题意可得：
∴栏杆A端升高的高度为：4sinα米
故答案为：B
分析：要求栏杆A端升高的高度，所以想到过点作，垂足为C，然后在中进行计算即可
8．答案：B
解析：解：∵AB=BC=1 ，
在Rt △OAB中， sinα =
∴OB=
∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2
∴OC2 =( )2+12=
故答案为：B.
分析：由正弦函数的定义得sin α = ，从而表示出OB的长，再由勾股定理OB2+BC2=OC2，可表示出OC2，由此得出答案.
9．答案：A
【解析】分析：设出A1点的坐标，先根据翻折变换的性质得出△A1BD的面积，作A1E⊥x轴于E，交DE于F，根据BC∥x轴可知A1E⊥BC，再由（1）中BD的值及三角形的面积公式可求出A1F的长，B点坐标，用待定是法求出过O、D两点的一次函数的解析式，把A1点的坐代入函数解析式即可．
【解答】∵BC∥AO，
∴∠BOA=∠OBC，
根据翻折不变性得，
∠A1OB=∠BOA，
∴∠OBC=∠A1OB，
∴DO=DB．
设DO=DB=xcm，
则CD=（8-x)cm，
又∵OC=4，
∴（8-x)2+42=x2，
解得x=5．
∴BD=5，
∴S△BDO=×5×4=10；
设A1（a，4+b)，作A1E⊥x轴于E，交DE于F，如下图所示：
∵BC∥x轴，
∴A1E⊥BC，
∵S△OAB=OA AB=×8×4=16，S△BDO=10．
∴S△A1BD=BD A1F=×5A1F=6，
解得A1F=，
∴A点的纵坐标为 ，
∵BD=5，B（8，4)
∴D点坐标为（3，4)，
∴过OC两点直线解析式为y=x，
把A点的坐标（a，)代入得，=a，
解得a=，
∴A点的坐标为（ ，)．即（4.8，6.4)
故选A．
10．答案：C
解析：①∵将△ CAD 与△ CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到△CAP与△CBQ ，
∴CP=CD=CQ，
∴①正确；
②∵将△ CAD与△CBD 分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP 与△CBQ ，
∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD ，
∴∠ACP +∠BCQ=∠ACD +∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠ PCQ=360°﹣（∠ACP +BCQ +∠ACB ） =360°﹣（120°+120°） =120°，
∴∠ PCQ 的大小不变；
∴② 正确；
③ 如图，过点Q作QE ⊥ PC 交PC延长线于 E ，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在 Rt△QCE 中， sin∠QCE= ，
∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°= CQ ，
∵CP=CD=CQ，
∴ S△PCQ = ×CP×QE= CP×CQ= CD 2，
∴ CD 最短时，S △ PCQ最小，
即：CD ⊥ AB 时，CD最短，
过点 C 作 CF ⊥ AB，此时 CF 就是最短的 CD ，
∵ AC=BC=6，∠ ACB=120°，
∴∠ ABC=30°，
∴CF= BC=3，
即：CD最短为3，
∴ S △ PCQ最小 = ，
∴③错误；
④∵将△CAD与△CBD 分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ ，
∴ AD=AP，∠ DAC=∠ PAC，
∵∠ DAC=30°，
∴∠ APD=60°，
∴△ APD是等边三角形，
∴ PD=AD，∠ ADP=60°，
同理：△ BDQ是等边三角形，
∴ DQ=BD，∠ BDQ=60°，
∴∠ PDQ=60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ 是等边三角形.
∴④正确.
正确的答案为：①②④ .
故答案为：C.
分析：①由折叠直接得到结论；②由折叠的性质求出∠ACP +∠BCQ=120°，再用周角的定义求出∠PCQ=120°；③先作出△PCQ的边PC上的高，用三角函数求出QE= CQ，得到S△PCQ = CD2，判断出△PCQ面积最小时，点D的位置，再求△PCQ面积的最小值即可；④先判断出△APD 是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ=60°，即可得结论.
11．答案：
解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边为BC，斜边为AB，则sinA=，
设BC=3，则AB=5，
由勾股定理得AC=，
则cos A=.
故答案为：。
分析：在Rt△ABC中，∠C=90°，需要知道∠A所对的边为BC，斜边为AB，则可得sinA=，从而可设BC=3，AB=5，由勾股定理求出AC，再由余弦函数的定义求出cosA.
12．答案：或
解析：如图，过点C作CD⊥AB交BA于点D，
∵BC=14， ，
∴CD= ，
∴BD= ，
∵，
∴AD= AB-BD-= ，
在Rt△ACD中，AC= ，
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为 ，
∴△APE∽△ACD，
∴，
即 ，
解得 ，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC-AP= ，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP= ，
综上所述，CP的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
分析：过点C作CD⊥AB交BA于点D，分两种情况：①点P在线段AC上时，②点P在射线CA上时，分类讨论即可。
13．答案：1.3
解析：依题意在Rt△ABC中，
∴AC 1.3
故答案为：1.3．
分析：根据解直角三角形的方法可得，再求出AC的值即可。
14．答案：
解析：解：延长NF交DC于点H，
∵将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，
∴∠E=∠A，∠B=∠DFN，AB=EF
∵EF⊥AD，菱形ABCD
∴∠ADF=90°，AB∥DC，∠ADC=∠B，AD=AB，
∴∠A+∠ADC=180°即∠A+∠ADF+∠FDH=180°
∴∠A+∠FDH=90°，
∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°
∴∠A=∠DFH
∴∠DFH+∠FDH=90°，
∴∠DHF=90°;
在Rt△DME中
设DM=4x，则DE=3x，
∴
∴AD=AM+MD=EM+MD=5x+4x=9x，DF=EF-DE=9x-3x=6x，
∵
∴
解之：
∴；
∵，
∴
∴.
故答案为：.
分析：延长NF交DC于点H，利用折叠的性质可证得∠E=∠A，∠B=∠DFN，AB=EF，利用菱形的性质可得到∠ADF=90°，AB∥DC，∠ADC=∠B，AD=AB；再证明∠A+∠FDH=90°，利用补角的性质可证得∠A=∠DFH，由此可证得△DFH是直角三角形，利用解直角三角形可得到DM与DE的比值，设DM=4x，则DE=3x，利用勾股定理求出EM的长，由此可表示出AD，DF的长；然后利用解直角三角形分别求出DH，CN的长，继而可求出DF与NC的比值.
15．答案：；
解析：解：如图，
设AE=5a，
∵AE∶DE=5∶3，
∴DE=3a，
设LE=5b，AL=5c，
由题意易知∠AEL=∠ADC=90°，AB=AC，
∴LM∥BC，CD=BD，
∴△ALE∽△ACD，
∴，
∴CD=BD=8b，AC=8c，LC=3c，
对照图1与图2可得可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+LC，即5b+3c，
对照图1与图3可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+DE，即5b+3a，
∵图2的矩形面积比图3的矩形面积大5cm2，
∴5a·（5b+3c）-5a（5b+3a）=5，
整理得3ac-3a2=1，
在Rt△AEL中，由勾股定理得AE2+LE2=AL2，即a2+b2=c2，
对照图1与图2可5C=13b，
∴c=，
∴a2+b2=，
∴a2=，，
∴；
∴，
将代入3ac-3a2=1，
得，
解得a=2，
∴b=，c=，
∴矩形FHLK的面积为5a（5b+3a）=cm2.
故答案为：，.
分析：设AE=5a，结合已知得DE=3a，设LE=5b，AL=5c，由题意易得LM∥BC，CD=BD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ALE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例可得CD=BD=8b，AC=8c，LC=3c，对照图1与图2可得可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+LC，即5b+3c，对照图1与图3可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+DE，即5b+3a，由矩形面积计算公式及图2的矩形面积比图3的矩形面积大5cm2，可得3ac-3a2=1，在Rt△AEL中，由勾股定理得a2+b2=c2，对照图1与图2可5C=13b，从而用含b的式子表示出a、c，再根据正切函数的定义可可求出∠C的正切值；将代入3ac-3a2=1，可求出a的值，从而即可得出b、c的值，此题得解.
16．答案：解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB= ，
∴AC=AB．sinB=6，
∴BC= =8，
∴tanA=
【解析】分析：结合正弦的定义，利用∠B的正弦值求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC，结合正切的定义即可求解.
17．答案：解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，
当CN=90cm时，CM=60cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°= ，
∴BC≈64cm，
∴CE=BC-BE=64-40=24cm.
【解析】分析： 过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，在Rt△BCM中，利用sin∠ABE=sin70°= ，可求出BC，再利用CE=BC-BE解求解.
18．答案：解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，
则∠D= ∠ABC=15°，
设AC=a，则由构造的三角形得：
AB=2a，BC= a，BD=2a，
则CD=2a+ a=（2+ ）a，
∴tan15°=tanC= = =2﹣ ．
【解析】分析：同样按阅读构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC=a，再用a表示出CD，即可求出tan15°的值．
