2023-2024学年度九年级数学上期期末考试试题
温馨提示：
1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分；
2．请同学们认真审题，规范做答，字体工整，卷面整洁．
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（ ）
A．2 B． C． D．3
3．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心在格点上，则的正切值等于（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．3 D．2
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是 D．当时，随的增大而增大
6．如图，是的弦，半径于点，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
7．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
9．如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，已知点横坐标为，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
10．如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，在上取一点，使，连接．对于下列结论：①；②；③为的切线；④，其中一定正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如果函数是二次函数，那么的值是_______．
12．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有_______个．
13．如图，一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进了，则此时小球水平方向前进的距离是_______．
14．如图，等边的边长为20，动点从点出发沿运动到点，连接，作交于点，线段的最大值为_______．
15．已知二次函数为常数的图象如图所示．下列个结论：①；②；③；④（为常数，且）．其中正确的结论序号是_______．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）
（1）计算；
（2）化简求值，其中．
17．（8分）河南省将于2025年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门；
（1）请用画树状图的方法，列出“在首选科目中选择物理，从4门再选科目中选择2门科目”的所有可能的选择方案；
（2）求下列事件发生的概率：
：从（2）的结果中随机选择一种方案，其中恰好有化学科目；
：从（2）的结果中随机选择一种方案，其中恰好有化学和生物科目．
18．（9分）已知二次函数．
（1）用配方法将其化为的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．
19．（9分）
《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图2，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，三点共线．从点处退行到点，观察山顶，发现三点共线，且仰角为45°；从点处退行到点，观察山顶，发现三点共线，且仰角为30°．（点都在直线上）
图1 图2
（1）求的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：）
20．（10分）如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长．
21．（10分）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
22．（10分）如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发，设运动时间为．
（1）_______，_______，_______；
（2）为何值时的面积为？
（3）为何值时的面积最大？
23．（11分）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如（1）图，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如（2）图，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．
作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．
图1 图2
（2）实践运用
如（3）图，已知的直径，点在圆上，且的度数为30°，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．
图3
（3）拓展迁移
如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．
图4
