2023-2024 学年第一学期八年级期末考 8．如图，在框中解分式方程的 4 个步骤中，
其中根据等式基本性质的有（ ）
数 学 试 题
A．①②
B．②④
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
C．①③
有一项是符合题目要求的．
D．③④
1．以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
9．平行四边形 ABCD中，AB=5，BC=3，若一边上的高为 4，则该平行四边形的面积为
（ ）
A．20 B．16 C．15 D．12
A． B． C． D． 10．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以 Rt△ ABC 的
2．经测算，一粒芝麻的质量约为 0.00 000 201 kg，那么数据 0.00 000 201 用科学记数法 三条边为边长向外作正方形 ABDE，正方形 ACHI，正方形
表示为（ ） BCGF，连接CE．若BC=8，AB=10，则△BCE的面积为（ ）
A． 20.1 10 7 B． 2.01 10 6 C． 2.01 10 5 D． 0.201 10 5 A．40 B．32
．下列二次根式中，是最简二次根式的是 C．24 D．18 3 ( )
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
1
A． B． 6 C． 8 D． 9
2 11．若二次根式 a 7 有意义，则 a 的取值范围为 ．
4．下列运算错误的是（ ）
2
A． a a3 a4 B． a8 a2 a6 ． 2 3 6 ． 2 12．分解因式： x y 9y ． C ( a ) a D ( 3a) 9a2
．点 （- ， ）关于 轴的对称点的坐标是（ ） 13．等腰三角形的一个底角度数是 70 ，则这个等腰三角形5 P 5 2 y
A．（5，2） B．（-5，2） C．（5，-2） D．（-5，-2） 的顶角度数为 ．
．下列命题的逆命题成立的是（ ） 14．如图，在正方形网格，四边形 ABCD 的四个顶点都在6
．全等三角形的对应角相等 格点上，则∠CAD-∠BAC 的度数为 ． A
15 3 2
．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 ．已知m 7 2，则m 4m m 1的值为
．
B
C．两直线平行，同位角相等 16．如图，△ABC 中，∠A=15°，AB=BC，
．对顶角相等 点 D，E 在边 AC 上，∠DBE=75 D °，
．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） 若 AD=2，CE 3 3，则 DE 7 长为 ．
A． ( x y)(x y) B． (3x y)(3x y) 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．
17．（每小题 4 分，本题满分 8 分）
C． ( x y)(x y) D． (3x y)(y 3x) 1
计算：（1）（2024- ）0 （ ） 1 3 64 ； （2） 18 3 24 （ 7 2）( 7 2)
3 .
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18．（本题满分 8 分） 22．（本题满分 10 分）
如图，四边形 ABCD中， AD / /BC ，对角线 AC 、 BD交于点O，且OA OC . 如图，平行四边形 ABCD 中，∠A=90°，将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C
对应点 E，线段 BE 交 AD 于点 F.
求证：四边形 ABCD是平行四边形．
（1）用尺规补全图形； A D
（2）若 AB=2，BC=8，求 BF.
19．（本题满分 8 分）
C
3 a2 4a 4 B
先化简： (a 1 ) ，并从 0， 1，2 中选一个合适的数作为 a的值代入
a 1 a 1
并求值．
20．（本题满分 8 分）
进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工
程指挥官的对话：记者：“你们是用 11 天时间完成 5400 米长的大坝加固任务的？”驻 23.（本题满分 10 分）
军指挥官：“是的，我们加固 1200 米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=BC，△ADC 与△ABC 关于 AC 对称，E 为边
的 2 倍．”根据对话，求该驻军原来每天加固河堤多少米？ AC 上一点，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，作 AG⊥BF 交 BC 于点 G.
（1）求证：AG=BF；
（2）探究：当 AC 为何值时，点 G 与点 F 关于 AC 对称.
21. （本题满分 8 分） BG
如图，正方形网格的每个小正方形的边长为 1，△ABC 的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC 关于直线MN 对称的△ A1B C ； 1 1
（2）求点 C 到直线 AC 的距离. 1 1
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24.（本题满分 12 分） 25．（本题满分 14 分）
图 1 是一种长为 a，宽为 b 的长方形，对角线长为 c，将这样四个形状和大小完全相 如图，在等边△ABC 中，AB=6，CD 为角平分线，点 P 为边 AC 上一点，连接 PD.
同的长方形拼成如图 2 所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为 S1． （1）当 P 为 AC 中点时，求 PD 长；
（1）请用含 a，b 的代数式表示 S1； （2）如图 1，连接 PB，求 BP2 AP2 的最小值；
（2）若图 2 中的正方形面积 ABCD 面积为 24， S1 9，求图 1 中长方形的周长； （3）如图 2，过 D 点的直线 l 与∠ACB 的边 CA，CB 分别交于点 E，F，当直线 l 绕
（3）将 7 个这样的长方形按图 3 形式摆放，形成一个大长方形，设图中阴影部分的 1 1点 D 旋转时， 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
面积为 S2，若 S2=50，S1=18，求图 1 中长方形的面积．
CE CF
数学试题 第 3 页 共 3 页
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2023-2024 学年第一学期八年级期末考
数学试题参考答案及评分标准
⑴本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的
评分标准的精神进行评分．
⑵对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，
可酌情给分．
⑶解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数．
⑷评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．
一、选择题：（本大题有 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．A；2．B ；3．B；4．C；5．A；6．C；7．B；8．C；9．D；10．B．
二、填空题：（本大题有 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
11． a 7；12． y(x 3)(x 3)；13．40°；14．45°；15． 4 7 9；16． 13 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分．请在答．题．卡．的相应位置作答）
17．（本题满分 8分）
1
解：（1）（2024- ）0 （ ） 1 3 64 ；
3
原式 =1 3 4……………………………………………………………………3分
=2………………………………………………………………………… 4分
（2） 18 3 24 （ 7 2）( 7 2)
原式= 6 2 6 7 2………………………………………………………… 3分
=- 6 5 ……………………………………………………… 4 分
18．（本题满分 8分）
（1）证明： AB / /CD，
BAO DCO， ABO CDO ……………………………… 2分
在△ABO与△CDO中，
BAO DCO
ABO CDO，
OA OC
数学试题参考答案及评分说明 第 1 页 共 6 页
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△ABO≌△CDO(AAS )……………………………………………………………5分
OB OD ……………………………………………………………6分
四边形 ABCD是平行四边形.……………………………………………………8分
19．（本题满分 8分）
2
解： (a 3 a 4a 4 1 )
a 1 a 1
2
(a 1 3 ) a 1 …………………………………………………………………2分
a 1 a 1 (a 2)2
(a 2)(a 2) a 1
2 ……………………………………………………………………4分a 1 (a 2)
a 2
……………………………………………………………………6分
a 2
由题意可得： a 1 0， (a 2)2 0，
a 1， a 2，
0 2
将 a 0代入得，原式 1………………………………………………………6分
0 2
20. （本题满分 8分）
解：设原来每天加固 x米，…………………………………………………………………1 分
1200 5400 1200
11…………………………………………………………………4 分
x 2x
解这个方程得： x 300…………………………………………………………………7分
经检验 x 300是原方程的根
答：该地驻军原来每天加固 300米．……………………………………………………8分
21．（本题满分 8分）
解： （1）如图，△ A1B1C1为所画图形.………………4分
（2）如图，连接 A1C
S 1A C C 2 4 4…………………………5分△ 1 1 2
A 21C1 1 4
2 17 …………………………6分
数学试题参考答案及评分说明 第 2 页 共 6 页
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C AC 4 2 8 17点 到直线 1 1 的距离为 ……8分17 17
22. （本题满分 10分）
（1）如图，即为所作图形.……………………4分
（2）解：由折叠可知 ，∠FBD=∠CBD
∵平行四边形 ABCD
∴AD=BC=8，AD∥BC
∴∠FDB=∠CBD
∴∠FBD=∠FDB
∴FB=FD
设 BF x，则 FD BF x
∴ AF 8 x
∵∠A=90°
在 Rt△AFB中，
∴ BF 2 BA2 FA2
∴ x2 (8 x)2 22
∴ x2 64 16x x2 4
BF 17∴ .
4
23.（本题满分 10分）
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC
∴∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45° ······1分
由对称可知，∠ACF=∠BCA=45°
∴∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°
∴∠BCF=∠ABC ·····························2分
∵BF⊥AG
∴∠AGB+∠FBC=90°
∠FBC+∠BFC=90°
∴∠AGB=∠BFC · ······························3分
数学试题参考答案及评分说明 第 3 页 共 6 页
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∴在△ABG与△BFC中
∠ABG ∠BCF
∠BGA ∠BFC
AB BC
∴△ABG≌△BFC（AAS） · ·······4分
∴AG=BF ···························5分
AC
（2）当 2 2 时，G点与 F点关于 AC对称.·····················……·····6分
BG
理由如下：连接 GF
∵△ABG≌△BFC
∴CF=BG················……··7分
在 Rt△ABC中， AC AB2 BC 2 2BC
AC
∵ 2 2
BG
BG 1
∴ ······················……………·8分
BC 2
∴ BG CG
∴CF CG ·····················………………………………………9分
∵AC平分∠GCF
∴AC垂直平分 GF
∴G点与 F点关于 AC对称.············……………………·…·····10分
24．（本题满分 12分）
解：（1）（a b）2 · ······························3分
写成 a2 2ab b2 或 a b 2 4ab 都可得分.
（2） 由勾股定理 a2 b2 c2 24， S1=（a b）
2 9 ·········……………·…···4分
2 2
∴ a b 2ab 9
∴ 2ab 15 ·········……………·…···5分
∴ (a b)2 a2 b2 2ab 39 ·········……………·…···6分
数学试题参考答案及评分说明 第 4 页 共 6 页
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∴ a b 39
∴图 1中长方形的周长为 2 39 . ·········……………·…···8分
(3)根据题意，得 S2 (a b)(2a 2b) 7ab 50 ·········……………·…···9分
2a2 2b2 3ab 50 ·······……………·…···10分
由 S 2 21 a b 2ab 18
得 2S1 2a
2 2b2 4ab 36 ·
∴ ab 14 ·
答：图 1中长方形的面积为 14.· ·········……………………·…·····12分
25．（本题满分 14分）
解：（1）∵等边△ABC中，CD为角平分线
∴D为 AB中点 · ······························1分
∵P为 AC中点
∴DP为△ABC的中位线····················2分
1 1
∴ DP BC AB 3 .····················4分2 2
（2）PH⊥AB于 H点 图 1
在 Rt△APH与 Rt△BPH
PA2 PH 2 AH 2 , PB
2 PH 2 BH 2 ···················5分
∴ PA2 PB2 2PH 2 AH 2 BH 2
PA2 PB2 2PH 2 (AD DH )2 (BD DH )2
2PH 2 2DH 2 2AD2
2PD2 AD2
18 2PD2 ··················7分
当 PD⊥AC时，PD 2 2有最小值，此时 PA PB 取得最小值.
∵∠A=60°，∴∠PDA=30°
∴ AP
3
·
2
∴在 Rt△APD中，
PD2 3 27 32 ( )2 · ················8分
2 4
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PA2 27 63∴ PB
2 2PD2 18 18
2 2
PA2 PB2 63 的最小值为 . ················9分2
(3)解：作 DM⊥AC于 M点，DN⊥BC于 N点，FQ⊥AC于 Q点
∵CD为角平分线
∴DB=AD=3
CD BC 2∴ BD
2 3 3 …………………………………………10分
∵CD为角平分线
∴DM=DN
∵∠DCN=30°
∴DM DN
1
CD 3 3
2 2
在 Rt△CQF中，∠CFQ=30°
1
∴CQ CF2
FQ CF 2 3∴ CQ
2 CF …………………11分2
∵ S△CEF S△CED S△CFD…………………………………12分
1CE QF 1∴ CE MD
1
CF DN
2 2 2
CE 3CF 3 3 3 3∴ CE CF2 2 2
∴CE CF 3(CE CF )
1 1 1
∴ CE CF 3
1 1 1
∴ CE CF 为定值，且值为 3 .…………………………………
14分
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