浙江省台州市路桥区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
2．下列事件为随机事件的是( )
A．太阳从东边升起 B．抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7
C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，它的内角和等于180°
3．抛物线的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如果反比例函数的图象经过点，那么下列各点在这个函数图象上的是( )
A． B． C． D．
5．若扇形的半径是10cm，圆心角为54°，则该扇形的弧长是( )
A．2πcm B．3πcm C．6πcm D．15πcm
6．某学校图书馆2021年图书借阅总量是5000本，2023年图书借阅总量是7200本，设该图书馆的图书借阅总量的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是( )
A． B． C． D．
7．如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是( )
A．或 B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，点在上，与交于点，若，的面积为，则的面积是 )
A．30 B．27 C．12 D．6
9．如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为( )
A．1 B． C． D．
10．如图，在等腰三角形中，，点D在上，连接，把绕点A逆时针旋转得到，使，连接，若，，则的长为( )
A． B． C． D．10
二、填空题
11．在每一个象限内，反比例函数随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（填写一个即可）
12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是 ．
13．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880
合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01）
14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的度数为 ．
15．如图，正六边形内接于，点P在弦上，若的半径为2，则阴影部分的面积是 ．
16．已知点和点都在抛物线上．
（1）若，则 ；
（2）若，则k的取值范围是 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)．
18．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点，的坐标分别是．
(1)作出关于原点对称的，其中点的对称点为点；
(2)直接写出点，的坐标．
19．电动汽车有零排放、低噪音及用车成本低等优点．在某次环保宣传活动中，主办单位计划在A，B，C，D，E五辆电动汽车中随机选出部分车辆作为宣传车．
(1)若只选出一辆电动汽车作为宣传车，则选到电动汽车C的概率是______；
(2)若先在电动汽车A，B，C中选出一辆，再在电动汽车D，E中选出另一辆，将这两辆汽车作为宣传车，请用列表或画树状图的方法，求选到电动汽车B，D的概率．
20．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．下表是它们的部分对应值：
频率f（MHz） 10 15 20 25
波长（m） 30 20 15 12
(1)在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式；
(2)当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？
21．如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接．
(1)若，求的长；
(2)若D为的中点，求证：是等边三角形．
22．根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如右图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如右图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如右图，点，，在同一直线上，标杆，测得，．
问题解决
任务1 分析测量原理 利用素材1说明的理由．
任务2 完善测量数据 在素材中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度．
任务3 推理计算高度 利用素材3求出旗杆的高度．
23．为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为，且当元时，观光车可全部租出；B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为（元），（元）．
(1)求b的值，并分别写出，与x之间的函数解析式；
(2)设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值；
(3)为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值．
24．如图，点在上，，垂足为点，连接，．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，作，垂足为点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长，交于点．
①求证：；
②若，，求半径的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可一一判定．
【详解】解：A、是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了随机事件．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，故本选项不符合题意；
B、抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7，属于不可能事件，故本选项不符合题意；
C、经过红绿灯路口，遇到红灯，属于随机事件，故本选项符合题意；
D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°，属于必然事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，正确确定抛物线的顶点是解此题的关键.先确定抛物线的顶点，再确定点的位置．
【详解】解：抛物线的顶点是，
故顶点在第三象限，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象经过，可以得到k的值，从而可以判断各个选项是否符合题意．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∵，∴选项A符合题意；
∵，∴选项B不符合题意；
∵，∴选项C不符合题意；
∵，∴选项D不符合题意；
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了求弧长．根据公式，直接代入进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2023年图书借阅总量2021年图书借阅总量列出方程即可得．
【详解】解：由题意，可列方程为，
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点，再根据图象法求解即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，其与x轴一交点为，
∴二次函数与x轴的另一个交点为，
∴由函数图象可知，当或时，，
∴不等式的解集是或，
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了平行四边形，相似三角形．解题关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形对边平行得到，根据，得到，推出，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴．
故选：B．
9．A
【分析】令切点，连接、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，，，于是，，在中利用勾股定理即可得解．
【详解】解：令切点，连接、相交于点，
∵与相切，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴即，
解得，
故选∶．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、切线的性质、垂线定义、平行线分线段成比例定理以、勾股定理及三角形的中位线性质，熟练掌握切线的性质、垂线定义以及平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先证明，得到，推出，再证明，据此即可求解．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的增减性．根据反比例函数的性质，每一象限内，都随的增大而增大，则即可．
【详解】解：∵反比例函数，每一象限内，都随的增大而增大，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12．4
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为4．
13．0.96
【分析】运用频率估计概率即可．
【详解】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率．
故答案为：0.96
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键．
14．40°
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAD＝∠CAE＝100°，∠B＝∠ADE，AB＝AD，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B的度数，从而得到∠ADE的度数．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，点D在线段BC的延长线上
∴∠BAD＝∠CAE＝100°，∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠ADE＝40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15．
【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定．连接，，，证明四边形是矩形，推出阴影部分的面积为矩形的一半，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，，
依题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
，，
，，
∴四边形是矩形，
∴阴影部分的面积为矩形的一半，
∴与经过点，
∴，，，
∴，，，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
16． 或
【分析】本题考查了二次函数的性质．（1）先求得抛物线的对称轴为直线，由，得到，据此求解即可；（2）由，求得；由，得到，求得或，据此求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴点和点关于直线对称，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）当时，
∵，
∴，
解得；
∵，
∴，
整理得，即，
∴或，
解得或，
综上或．
故答案为：或．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
或，
∴，；
（2）解：，
∴或，
∴，．
18．(1)作图见解析；
(2)，．
【分析】本题考查基本作图中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质是解答的关键．
（）根据网格结构找出点、的对应点、的位置，然后顺次连接即可；
（）根据所作图形得出点，坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：由图可得，．
19．(1)
(2)选到电动汽车B，D的概率为．
【分析】本题考查了概率的求法；
（1）直接根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可求得选到电动汽车B，D的概率．
【详解】（1）解：在五辆电动汽车中，选到电动汽车C的概率为：，
故答案为：；
（2）解：画树状图得：
∵共有6种等可能的情况，其中选到电动汽车B，D的只有1种情况，
∴选到电动汽车B，D的概率为．
20．(1)；
(2)波长至少是米．
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值，反比例函数的性质等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
（）根据可判断反比例函数能反映波长与频率的变化规律，设解析式为，用待定系数法求解即可；
（）解方程，由反比例函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴反比例函数能反映波长与频率的变化规律，
设波长关于频率的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
（2）解：∵，
∴，
∵当电磁波的频率为时，
∴，
解得：，
由反比例函数的性质知，当电磁波的频率不超过时，，
答：波长至少是米．
21．(1)；
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．
（1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解；
（2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴；
（2）证明：由旋转的性质得，，
∵D为的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
22．任务1：见解析；任务：还需要测出的长，；任务：．
【分析】任务，根据两角相等的两个三角形相似可证明；
任务，还需要测出的长，令，证明，得即，从而即可得解；
任务，过作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，进而得，，，证，得即，求解即可得解．
【详解】任务：证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
任务：还需要测出的长，令，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
任务：过作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
23．(1)，；
(2)当时，有最大值，最大值为；
(3)．
【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）当元时，观光车可全部租出，即，代入求解可求得；再根据租金收入=每辆观光车的日租金一天租出的观光车数量列式即可求解；
（2）根据题意得，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得，再利用二次函数的性质得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
当元时，观光车可全部租出，即，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：根据题意得，
∵，且，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：设A租赁点一天的租金收入比B租赁点一天的租金收入多元，
A租赁点一天的租金收入，
B租赁点一天的租金收入，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
∵A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，
∴，即，
解得（舍去）或．
24．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理，，再由直角三角形两锐角互余，即得答案；
（2）根据“角角边”，证明，即得答案；
（3）①连结，先证明，进一步证明，得到，然后根据垂径定理，证明，即得证明结果；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得，进一步得到，然后根据相似三角形的性质得，设，再根据勾股定理列方程并求解，即得答案．
【详解】（1），
，
，
；
故答案为：．
（2），，
，
，，
，
．
（3）①连结，
由（2）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，
，
由①得，
，
设，则，，
，
，
解得，
，
即半径的长为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
