江苏省泰州市高港区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知的直径为，点到圆心的距离为，则（ ）
A．点在上 B．点在内
C．点在外 D．过点的直线是的切线
4．某社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，当x和y变化时，下列关于年龄的统计量保持不变的是（ ）
年龄/岁 13 14 15 16 17
频数/名 y 12 x
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 6 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的最小值为 B．这个函数的图象开口向下
C．这个函数的图象与x轴无交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大
6．已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE DE的值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．16
二、填空题
7．有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ．
8．若是一元二次方程得两个实数根，则 ．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是 °．
10．用圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径是的圆锥，则原扇形纸片的半径为 ．
11．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
12．如图，在中，G为的重心，连，则 ．
13．将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线函数表达式为，则原抛物线顶点坐标为 ．
14．如图，，若，则 ．
15．在中，，为的角平分线，且D为线段的黄金分割点（），，则 ．
16．如图，在中，，，点D是边上一点（与A、B均不重合），平分交边于点E，，垂足为点F．若的面积是面积的一半，则的值为 ．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于3，求k的取值范围．
19．某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下．
a．成绩频数分布表：
成绩x（分）
频数 7 9 12 16 6
b．“”这组的具体成绩（单位：分）是：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)此次测试成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________；
(2)该测试成绩的平均数是76.4分，甲的成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗 请说明理由；
(3)请对该校学生航空航天知识的掌握情况作出合理的评价．
20．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白两种颜色的球，其中红球个，白球若干，若从中任意摸出个球是红球的概率为．
(1)不透明的盒子中有______个白球；
(2)若从中一次性摸出个球，请用画树状图或列表的方法求摸出的两个球颜色不同的概率．
21．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)该隧道内设双行道，中间隔离带1m，一辆货车高4m，宽m，能否安全通过，为什么？
22．为维护国家主权和领土完整，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在向东执行巡航任务的海监船在处测得灯塔在北偏东方向上距离海里处，继续航行一段距离后在点处测得灯塔在北偏东方向．
(1)若继续向东航行一段距离后到达点，当最小时，在图上标出点的位置，并求出其最小值；
(2)求的值（结果保留根号）．
23．【定义】我们把顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．
【探索】弦切角的度数等于它所夹弧所对得圆周角度数．
已知：点A、B、C在上，是的切线，延长交于点D，连接、，则的弦切角．
（1）特殊化：如图1，若是的直径，求证：；
（2）一般化：如图2，是的弦，求证：；
【应用】（3）如图3，四边形是的内接四边形，是的切线，交延长线于点D，弦，若，求度数．
24．如图，为的直径，为弦．
(1)使用圆规和无刻度的直尺在线段的下方作，使（注：直尺和圆规使用得次数之和不超过次）；
(2)在（）的条件下，若，求的值．
25．已知AB是的直径，交AB于点D，E为射线AB上一点，连接CE并延长交于点F，射线AF交射线CH于点G．
(1)如图1，若点E在线段DB（不包含端点）上，求证：
(2)如图2，若点E在线段AD（不包含端点）上，求证：
(3)如图3，若点E在点B的右侧部分运动，连接HF交射线AB于点M，试探究AO、MH、EF、ME之间的数量关系，并给予证明．
26．若一条直线经过抛物线的顶点，则称这条直线是抛物线的“穿顶线”．如图1，直线，都是抛物线的“穿顶线”．
(1)抛物线的顶点为A，与x轴的一个交点是C，过抛物线上点B作轴，分别交x轴、直线于点D、E，过抛物线上一点M（与点A不重合）的“穿顶线”交线段于点N，若点．
①求该抛物线的函数关系式；
②若，求点M的坐标；
③若，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点F，使得，若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)点，点，点都在该抛物线上，且总有，求m的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查的一元二次方程的定义，由题意依据一元二次方程必须满足的四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行验证即可．
【详解】解：A、方程是分式方程，选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，选项不符合题意；
C、，当，不符合一元二次方程定义．不符合题意．
D、，符号一元二次方程的定义，符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了解直角三角形．根据已知图形得出，再求解即可．
【详解】解：如图，取格点，
由勾股定理得：，，且，
∴．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据题意可知，圆的半径为，而点到圆心的距离为，故可根据判断出点在上，根据与的大小关系判定点和圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵的直径为，
∴的半径为，
又∵点到圆心的距离为，
∴，
∴.点在上，
故选：．
4．C
【分析】本题考查众数、中位数、方差和平均数．根据表格数据可知总人数是30，从小到大排列后，中位数为第15和第16个数的平均数，在表格中找到都是14岁；再结合人数不能是负数，得到年龄15岁和年龄16岁的人都不会超过14岁，得到众数不变．
【详解】解：根据表格数据，可知总人数为，平均数，中位数，方差都会随x和的不同而变化，
∵人数不能是负数，
∴年龄15岁和年龄16岁的人都不会超过11人，年龄13岁和年龄17岁的人都不会超过7人，
∴众数是12不会随x和的不同而变化；
故选：C．
5．D
【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
依题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴这个函数的图象开口向上，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故C选项不正确，不符合题意；
∵，
∴当时，这个函数有最小值，故A选项不正确，不符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为，开口向上，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
6．B
【分析】根据AB＝AC＝AD，可知点D、C、B在以点A为圆心的圆上，延长CA交⊙A于点F，连接DF，EF=AF+AE=AC+AE，再证明△FDE∽△BCE，，即BE DE＝CE EF，则问题得解．
【详解】∵AB＝AC＝AD，
∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，
如图，延长CA交⊙A于点F，连接DF，
∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，
即EF＝AE+AF＝3+4＝7，
∵∠F=∠CBD，∠FDB=∠FCB，
∴△FDE∽△BCE，
∴，
即BE DE＝CE EF＝1×7＝7，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据AB＝AC＝AD，确定点D、C、B在以点A为圆心的圆上，是解答本题的关键．
7．5
【分析】本题考查算术平均数．根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故答案为：5．
8．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据一元二次方程根和系数的关系即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程得两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
9．48
【分析】根据圆周角定理推出∠ACB=90°，再由直角三角形的性质得到∠B=90°-∠CAB=48°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=48°．
【详解】解：连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=42°，∴∠B=90°-∠CAB=48°，∴∠D=∠B=48°．故答案为：48．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是根据圆周角定理推出∠ACB=90°及∠D=∠B，准确找到辅助线的添加方法．
10．6
【分析】本题主要考查了求圆锥的母线长．根据扇形弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长进行求解即可．
【详解】解；设圆锥的母线长为l，
由题意得，
∴，
即原扇形纸片的半径为，
故答案为：6．
11．
【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的一个交点与不等式的解集的关系．先求出二次函数的图象与x轴的交点，再根据二次函数的图象与x轴的交点，据此即可求解．
【详解】解：由图象可知，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为1，对称轴为，
根据二次函数图象的对称性，可知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了三角形重心的性质和中线的性质．根据重心的性质可得，然后证明，从而得解．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，
∵点G是的重心，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查的是根据平移求解析式，重点在于掌握口诀：上加下减，左加右减．根据平移的规律，反推原来抛物线解析式即可．
【详解】解：根据平移可知，将新的抛物线，先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，可得原来的抛物线，
∴原来的抛物线解析式为： ，
∴原抛物线顶点坐标为；
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及其性质是解题的关键．
由判定，，然后根据相似三角形的性质分析求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
∴，
故答案为：
15．4
【分析】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．由黄金分割的定义求得，推出，再证明，得到，，再证明，利用等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵D为线段的黄金分割点（），
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
16．/
【分析】先设，可知，再过点E作，交于点G，根据角平分线性质得，进而得出，根据题意可知，即，可知是的垂直平分线，得出，然后设，则，，再根据锐角三角函数表示，接着证明∽，根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】解：在中，，设，则．
过点E作，交于点G，
∵平分，且，，
∴．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
即是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
设，则，．
∵，，
∴，
∴，
则．
∵，，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴，
则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，锐角三角函数等，构造辅助线是解题的关键．
17．（1）；（2），
【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值以及用配方法解一元二次方程．
（1）利用负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值计算即可求解；
（2）利用配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 ，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用公式法解一元二次方程，可得出, 根据方程有一根小于3 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴原方程有两个实数根
（2）解：
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的 关键是（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根小于3 ， 找出关于的一元一次不等式
19．(1)78.5，；
(2)不正确，理由见解答；
(3)答案不唯一，合理均可．
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
【详解】（1）解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为（分），
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为，
故答案为：78.5，；
（2）不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．
【点睛】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
20．(1)；
(2)．
【分析】（）设该袋子中白球的个数为，根据概率公式列得，求解即可；
（）列表格表示所有可能出现的情况，确定摸出的两个球颜色不同的情况，根据概率公式计算即可；
本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）设该袋子中白球的个数为，
依题意，得，
解得，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴袋子中白球的个数是个，
故答案为：；
（2）依题意，可以画出如下的树状图：
红 红 白
红 红红 白红
红 红红 白红
白 红白 红白
共有种等可能的情况，其中摸出的两个球颜色不同的有种，
∴摸出的两个球颜色不同的概率为．
21．(1)
(2)不能；理由见解析
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把顶点和点代入即可解得．
（2）把代入验证即可．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
顶点，
，
它过点，
，
解得，
设抛物线的解析式为；
（2）当时，，
该货车不能通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的形式．
22．(1)见解析，
(2)
【分析】（）根据“垂线段最短”即可求解；
（）利用含角的直角三角形的性质和勾股即可求解；
本题考查了勾股定理，垂线段最短和含角的直角三角形的性质，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）根据“垂线段最短”可知，点即为所求，
（2）中，
∵，
∴，
中，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和圆周角定理．
（1）连接，根据切线的性质和圆周角定理得到，再利用等角的余角相等即可证明；
（2）作直径，连接，同（1）即可证明；
（3）连接，，利用垂径定理证明，由切线的性质得到，证明，据此求解即可．
【详解】解：（1）连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）作直径，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．(1)画图见解析；
(2)．
【分析】（1）连接连接，延长，再根据作一个角等于已知角即可；
（2）连接，过作于点，由，设，，由勾股定理求出，用等面积法求出，再由勾股定理求出，最后用三角函数即可；
此题考查了无刻度直尺作图，圆周角定理，勾股定理和锐角三角函数，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，
连接，延长，
分别以，为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，，，
以为圆心，长度为半径画弧，交弧于点，
连接交于点，
∴即为所求；
（2）如图，连接，过作于点，
∴，
∵，
∴设，，
由勾股定理得：，
∵是的直径，
∴，
∵，即，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】对于（1），先证明∽，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案；
对于（2），连接，，先根据圆的内接四边形性质得，再根据三角形的外角和同弧（等弧）所对的圆周角相等得出，进而得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案；
对于（3），连接，先根据圆周角定理得，再根据同弧（等弧）所对的圆周角相等得，可得出，进而得出，然后根据两角相等得两个三角形相似得∽，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
∵，
∴∽，
∴，
即；
（2）如图所示． 连接，，
∵四边形是内接四边形，，
∴，
∴．
∵，，是的外角，
∴
∴∽，
∴，
即；
（3）连接，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴∽，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理及推论，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质等，构造辅助线证明三角形相似是解题的关键．
26．(1)①；②；③存在，
(2)
【分析】（1）①先求顶点A的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式；
②过点M作，垂足为G，根据相似三角形的判定与性质，求得，进一步列方程求解，可得点M的横坐标，代入抛物线的解析式即得答案；
③先类比②求得，进一步推得，在直线上找点H，使得，连结交抛物线于点F，过点H作于点P，推理可得，同时可推得点H的坐标，再根据待定系数法求直线的解析式，与二次函数的解析式联立方程组并求解，即得点F的坐标；
（2）当时，因为，所以只要即可，根据抛物线的轴对称性列出不等式并求解，即得m的取值范围；当时，只要即可，根据抛物线的轴对称性列出不等式并求解，即得m的取值范围；综合两种情况，即可得到答案．
【详解】（1）①由题意可得，
，
，
把点B代入得，，
解得，
所以该抛物线的函数关系式；
②过点M作，垂足为G，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，
得，
；
③存在，．理由如下：
类比②得，
其中，，
，
，
，，
，
，且，
在直线上找点H，使得，连结交抛物线于点F，过点H作于点P，
则在中，，
，
在中，，
，
，
设直线为，
将点C，点H的坐标代入得，
解得，
直线为，
联立关系式得，
解得，，
所以；
（2）若，，只要即可，
，
解得，
所以，
若，只要即可，
，
解得，
所以，
所以．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
