第二章测评
(时间:90分钟,满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是( ).
A.-3 B.-1 C.2 D.3
2.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的图象可能是( ).
(第2题)
3.已知点A(-3,y1),B(1,y2),C(3,y3)在抛物线y=2x2-4x+c上,则y1,y2,y3的大小关系是( ).
A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y3>y2>y1
D.y2>y3>y1
4.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( ).
A.无解 B.x=1
C.x=-4 D.x=-1或x=4
(第4题)
5.某广场有各种音乐喷泉,其中一个喷泉的喷水管喷水的最大高度为3 m,此时距喷水管的水平距离为 m,在如图所示的平面直角坐标系中,这个喷泉的函数表达式是( ).
(第5题)
A.y=-3+3
B.y=-3+3
C.y=-12+3
D.y=-12+3
6.已知函数y=x2-2x-2的图象如图,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是( ).
(第6题)
A.-1≤x≤3
B.-3≤x≤1
C.x≥-3
D.x≤-1或x≥3
7.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(-1,n),其中n>0.则以下结论正确的是( ).
①abc>0;
②函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=1和x=-2处的函数值相等;
③函数y=kx+1的图象与函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象总有两个不同交点;
④函数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值.
A.①③ B.①②③
C.①④ D.②③④
8.已知两点A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点.若y1>y2≥y0,则x0的取值范围是( ).
A.x0>-5 B.x0>-1
C.-5
9.在函数y=(x-1)2中,当x>1时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
10.已知函数y1=x2与函数y2=-x+3的图象如图,若y1
11.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,顶点C的纵坐标为-2,现将抛物线向右平移2个单位长度,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
①b>0;②a-b+c<0;③阴影部分的面积为4;④若c=-1,则b2=4a.
(第11题)
12.若直线y=ax-6与抛物线y=x2-4x+3只有一个公共点,则a的值是 .
13.给出下列命题:
命题1:点(1,1)是双曲线y=与抛物线y=x2的一个交点.
命题2:点(1,2)是双曲线y=与抛物线y=2x2的一个交点.
命题3:点(1,3)是双曲线y=与抛物线y=3x2的一个交点.
……
请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数): .
三、解答题(本大题共5小题,共48分)
14.(9分)将抛物线y=2(x-1)2+3作下列变换,求得到的新抛物线的函数表达式.
(1)向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度;
(2)顶点不变,与原抛物线的开口方向反向;
(3)以x轴为对称轴,将原抛物线作轴对称变换.
15.(9分)如图,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
(第15题)
(1)求m的值;
(2)求点B的坐标;
(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
16.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm.若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况),运动速度为2 cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm).
(第16题)
(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,△BDE的面积S(cm2)有最大值 最大值为多少
17.(10分)一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品,每件的生产成本为18元,按定价每件40元出售,每月可销售20万件.为了增加销量,公司决定采取降价的办法,经市场调研,每件产品每降价1元,月销售量可增加2万件.
(1)求出月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(2)求出月销售利润z(万元)(利润=销售收入-成本)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围);
(3)请你通过(2)中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围,使月销售利润不低于480万元.
18.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过A(0,-1),B(4,1)两点.直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥AB,垂足为D,PE∥x轴,交AB于点E.
备用图
(第18题)
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当△PDE的周长取得最大值时,求点P的坐标和△PDE周长的最大值;
(3)把抛物线y=x2+bx+c平移,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一点,N是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标,并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.
参考答案
第二章测评
一、选择题
1.D 2.D 3.B
4.D
5.C 由题意知顶点坐标为,设抛物线的表达式为y=a+3,把(0,0)代入,解得a=-12,故y=-12+3.
6.D 观察图象即可,从图象上寻找y≥1的部分所对应的自变量x的取值范围,
∴x≤-1或x≥3.
7.C
8.B ∵点C(x0,y0)是抛物线的顶点,y1>y2≥y0,∴抛物线有最小值,函数图象开口向上,①点A,B在对称轴的同侧.
∵y1>y2≥y0,∴x0≥3.
②点A,B在对称轴异侧.
∵y1>y2≥y0,
∴x0>=-1,综上所述,x0的取值范围是x0>-1.
二、填空题
9.增大
10.-2
12.2或-10 由题意,知只有一个解,即方程x2-(4+a)x+9=0有两个相等的实数根,即(4+a)2-4×1×9=0.
解得a=2或a=-10.
13.点(1,n)是双曲线y=与抛物线y=nx2的一个交点
三、解答题
14.解 抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3).
(1)将抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,顶点坐标变为(-1,0),而开口方向和形状不变,∴得到的新抛物线的表达式为y=2(x+1)2=2x2+4x+2.
(2)由题意知,新抛物线的顶点坐标为(1,3),开口方向向下且形状与原抛物线相同,故所得抛物线的表达式为y=-2(x-1)2+3=-2x2+4x+1.
(3)∵新顶点与原顶点(1,3)关于x轴对称,∴新顶点的坐标为(1,-3).又开口方向变为向下且形状与原抛物线相同,∴所得抛物线的表达式为y=-2(x-1)2-3=-2x2+4x-5.
15.解 (1)将(3,0)代入二次函数表达式,得-32+2×3+m=0.
解得m=3.
(2)二次函数表达式为y=-x2+2x+3,
令y=0,得-x2+2x+3=0.
解得x=3或x=-1.
∴点B的坐标为(-1,0).
(3)∵S△ABD=S△ABC,点D在第一象限,
∴点C,D关于二次函数图象的对称轴对称.
∵由二次函数表达式可得二次函数图象的对称轴为直线x=1,且点C的坐标为(0,3),
∴点D的坐标为(2,3).
16.解 (1)动点D运动x s后,BD=2x cm.
∵AB=8,
∴AD=(8-2x)cm.
∵DE∥BC,,
∴y=AE==6-x,
∴y关于x的函数表达式为y=-x+6(0
17.解 (1)y=20+2(40-x)=-2x+100,
∴y与x的函数关系式为y=-2x+100.
(2)z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1 800,∴z与x的函数关系式为z=-2x2+136x-1 800.
(3)令z=480,得480=-2x2+136x-1 800,整理得x2-68x+1 140=0,
解得x1=30,x2=38.
将二次函数表达式变形为z=-2(x-34)2+512,画出大致图象如图.
(第17题)
由图象可知,要使月销售利润不低于480万元,产品的销售单价应在30元到38元之间,即30≤x≤38.
18.解 (1)抛物线y=x2+bx+c经过A(0,-1),B(4,1),有
解得
该抛物线的函数表达式为y=x2-x-1.
(第18题)
(2)如图,设直线AB的函数表达式为y=kx+n(k≠0),
∵A(0,-1),B(4,1),解得
直线AB的函数表达式为y=x-1.
令y=0,得x-1=0,
解得x=2,故C(2,0).
设P,其中0
∴t2-t-1=x-1.
∴x=2t2-7t.
∴E
∴PE=t-(2t2-7t)=-2t2+8t=-2(t-2)2+8.
∵PD⊥AB,∴∠AOC=∠PDE=90°.
∵PE∥x轴,∴∠OCA=∠PED.∴△PDE∽△AOC.
∵AO=1,OC=2,∴AC=
∴△AOC的周长为3+
令△PDE的周长为l,则,
∴l=[-2(t-2)2+8]=-(t-2)2++8,
∴当t=2时,△PDE周长取得最大值,最大值为+8.
此时,点P的坐标为(2,-4).
(3)满足条件的点M坐标为(2,-4),(6,12),(-2,12).
由题意可知,平移后抛物线的函数表达式为y=x2-4x,对称轴为直线x=2,
①若AB是平行四边形的对角线,
当MN与AB互相平分时,四边形ANBM是平行四边形,
即MN经过AB的中点C(2,0),
∵点N的横坐标为2,
∴点M的横坐标为2.
∴点M的坐标为(2,-4).
②若AB是平行四边形的边,
Ⅰ.当MN∥AB且MN=AB时,四边形ABNM是平行四边形,
∵A(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,
∴点M的横坐标为2-4=-2.
∴点M的坐标为(-2,12).
Ⅱ.当NM∥AB且NM=AB时,四边形ABMN是平行四边形,
∵A(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,
∴点M的横坐标为2+4=6.
∴点M的坐标为(6,12).
综上所述,点M的坐标为(2,-4)或(-2,12)或(6,12).第三章测评
(时间:90分钟,满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.如图,AB是☉O的直径,AC,BC是☉O的弦.若∠A=20°,则∠B的度数为 ( ).
A.70° B.90° C.40° D.60°
(第1题)
2.如图,直线AB与☉O相切于点A,☉O的半径为2.若∠OBA=30°,则OB的长为( ).
(第2题)
A.4 B.4 C.2 D.2
3.如图,圆形薄铁片与三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O,三角尺的直角顶点C落在直尺的10 cm刻度处,铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14 cm刻度处,铁片与三角尺的唯一公共点为B.则下列说法错误的是( ).
(第3题)
A.圆形铁片的半径是4 cm
B.四边形AOBC为正方形
C.弧AB的长度为4π cm
D.扇形AOB的面积是4π cm2
4.如图,P为 ABCD的对称中心,以P为圆心作圆,过P的任意直线与圆相交于点M,N,则线段BM,DN的大小关系是 ( ).
(第4题)
A.BM>DN B.BM
5.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交☉O于点E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE∶S△CDB等于( ).
(第5题)
A.1∶ B.1∶
C.1∶2 D.2∶3
6.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,那么半径为2的“等边扇形”的面积为( ).
A.π B.1
C.2 D.
7.如图,已知C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,弧CD的长为π,则图中阴影部分的面积为( ).
(第7题)
A.π B.π
C.π D.π+
8.如图,P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在以下判断中,不正确的是( ).
(第8题)
A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形
B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC
C.当PO⊥AC时,∠ACP=30°
D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
9.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接OC,若OC=5,CD=8,则tan∠COE= .
(第9题)
10.如图,AB是☉O的直径,点C,D,E都在☉O上,∠1=55°,则∠2= .
(第10题)
11.如图,半圆O的直径AE=4,点B,C,D均在半圆上,若AB=BC,CD=DE,连接OB,OD,则图中阴影部分的面积为 .
(第11题)
12.如图,在三角尺ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6.三角尺绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A'落在AB边上时停止转动,则点B转过的路径长为 .
(第12题)
13.如图,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,点C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则AC的长为 .
(第13题)
三、解答题(本大题共5小题,共48分)
14.(9分)如图,BD是☉O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与☉O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.
(第14题)
(1)求∠ADB的度数;
(2)求AC的长度.
15.(9分)如图,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.
(第15题)
(1)求证:DB=DE;
(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.
16.(10分)如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,连接AE,AD,DE,过点A作射线交BE的延长线于点C,使∠EAC=∠EDA.
(第16题)
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若CE=AE=2,求阴影部分的面积.
17.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(第17题)
(1)判断DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=CD·2OE;
(3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长.
18.(10分)如图,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,C,E是☉O上的两点,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长AE交BC的延长线于点F.
(第18题)
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)求证:CE=CF;
(3)若BD=1,CD=,求弦AC的长.
参考答案
第三章测评
一、选择题
1.A ∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°.
∵∠A=20°,∴∠B=90°-∠A=70°.故选A.
2.B ∵直线AB是☉O的切线,∴∠OAB=90°.
又∵∠OBA=30°,☉O的半径为2,
∴OB==4,故选B.
3.C ∵圆形铁片与直尺和三角尺的直角边都有唯一的公共点,
∴圆与直尺和三角尺的直角边均相切,
∴OB⊥BC,OA⊥AC.
又∠BCA=90°,∴四边形OACB为矩形.
又OA=OB,∴四边形OACB为正方形.
∴圆形铁片的半径等于正方形的边长,为14-10=4(cm),因此A,B正确.利用弧长公式可计算弧AB的长度为=2π(cm),故选项C错误.扇形OAB的面积是=4π(cm2),故选项D正确.
4.C 如图,连接DB,则DB经过点P.在△DNP和△BMP中,
(第4题)
∵DP=BP,PN=PM,∠DPN=∠BPM,
∴△DNP≌△BMP.
∴BM=DN,故选C.
5.D
6.C 由扇形面积公式,得“等边扇形”的面积为2×2=2,故选C.
7.A
8.C 对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,∴∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,,∴PA=PC,∴△APC是等腰三角形;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是的中点,都可以得到△BPC是直角三角形.
二、填空题
9 ∵CD⊥AB,CD=8,∴CE=CD=4.
又∵OC=5,∴OE==3.
∴tan∠COE=
10.35°
11.π ∵AB=BC,CD=DE,
∴∠BOD=∠AOB+∠DOE.
∴S阴影=S扇形BOD=22=π.
12.2π 当点A落在AB边的起始位置上时,三角形转过了60°,点B转过的路径为=2π.
13 易得∠C=∠OAD=90°,∠DOA=∠B,
∴△AOD∽△CBA,,
∴BC=,由勾股定理,得AC=
三、解答题
14.解 (1)∵AF与☉O相切于点A,∴AF⊥OA.
∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∵∠BAC=120°,∴∠DAC=30°.
∴∠DBC=∠DAC=30°.
∵∠F=30°,
∴∠F=∠DBC,
∴AF∥BC.
∴OA⊥BC.
∴∠BOA=90°-30°=60°.
∴∠ADB=AOB=30°.
(2)∵OA⊥BC,
∴BE=CE=BC=4,AB=AC.
∵∠AOB=60°,OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB.∴AC=OB.
在Rt△OBE中,∵∠BOE=60°,BE=4,
∴OB=
又AC=OB,
∴AC=
15.(1)证明 ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.
∵BD是切线,∴OB⊥BD,
∴∠OBD=90°,
∴∠OBE+∠EBD=90°.
∵EC⊥OA,
∴∠CAE+∠CEA=90°.
∴∠EBD=∠CEA.
又∵∠CEA=∠DEB,
∴∠EBD=∠BED,∴DB=DE.
(第15题)
(2)解 如图,作DF⊥AB交AB于点F,连接OE,则OE⊥AB.
∵DB=DE,AE=EB=6,
∴EF=BE=3.
在Rt△EDF中,DE=BD=5,EF=3,
∴DF==4.
∵∠AOE+∠A=90°,∠AEC+∠A=90°,∠AEC=∠DEF,∴∠AOE=∠DEF,
∴sin∠DEF=sin∠AOE=
∵AE=6,∴AO=O的半径为
16.(1)证明 如图,连接OA,过O作OF⊥AE于点F,
(第16题)
∴∠AFO=90°,
∴∠EAO+∠AOF=90°.
∵OA=OE,
∴∠EOF=∠AOF=AOE.
∵∠EDA=AOE,
∴∠EDA=∠AOF.
∵∠EAC=∠EDA,
∴∠EAC=∠AOF,
∴∠EAO+∠EAC=90°,
∴∠CAO=90°.又OA为☉O的半径,
∴AC是☉O的切线.
(2)解 ∵CE=AE=2,
∴∠C=∠EAC.
∵∠AEO=∠EAC+∠C,
∴∠AEO=2∠EAC.
∵OA=OE,
∴∠AEO=∠EAO,
∴∠EAO=2∠EAC.
又∠EAO+∠EAC=90°,
∴∠EAC=30°,∠EAO=60°,
∴△OAE是等边三角形,
∴OA=AE=2,∠EOA=60°,
∴S扇形AOE==2π.
在Rt△OAF中,OF=OA·sin∠EAO=2=3,
∴S△AOE=AE·OF=23=3,
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=2π-3
故阴影部分的面积为2π-3
17.(1)解 DE与☉O相切.理由如下:
方法1:如图,连接OD,易得∠BOD=2∠BAD.
∵O是AB的中点,E是BC的中点,
∴OE∥AC,∴∠BAD=∠BOE,
∴∠BOD=2∠BOE,∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=2∠BOE-∠BOE=∠BOE.
又OB=OD,OE为公共边,
∴△OBE≌△ODE(SAS),
∴∠ODE=∠ABC=90°,
∴DE与☉O相切.
方法2:如图,连接OD,BD,∵AB是直径,
∴BD⊥AC.
在Rt△BCD中,∵BE=CE,
∴BE=DE,∴∠DBE=∠BDE.
∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB.
∴∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠DBE,
即∠ODE=∠OBE=90°,∴DE与☉O相切.
(2)证明 如图,连接BD.∵AB是直径,
(第17题)
∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠BDC=∠ABC.又∠C=∠C,
∴△BCD∽△ACB,,
即BC2=CD·AC.
∵O是AB的中点,E是BC的中点,
∴AC=2OE,∴BC2=CD·2OE.
(3)解 ∵E是BC的中点,BE=6,
∴BC=12.在Rt△ABC中,cos∠BAD=,
∴sin∠BAD=,即,AC=12=15.
由(2)知AC=2OE,
∴OE=
18.(1)证明 如图,连接OC.
(第18题)
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ABC=90°.
∵CE=CB,
∴∠CAE=∠CAB.
∵∠BCD=∠CAE,
∴∠CAB=∠BCD.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB+∠BCD=90°,
即∠OCD=90°,
∴CD是☉O的切线.
(2)证明 ∵∠BAC=∠CAE,∠ACB=∠ACF=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△AFC(ASA),
∴CB=CF.
又CB=CE,
∴CE=CF.
(3)解 ∵∠BCD=∠CAD,∠ADC=∠CDB,
∴△BCD∽△CAD,
又BD=1,CD=,
,
∴AD=2,
∴AB=AD-BD=2-1=1.
设BC=a(a>0),则AC=a,由勾股定理得,a2+(a)2=12,解得a=,
∴AC=第一章测评
(时间:90分钟,满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,sin A=,则AB的长为( ).
A.2 B.
C.12 D.13
2.在△ABC中,AB=AC=m,∠B=α,那么边BC的长等于( ).
A.2m·sin α
B.2m·cos α
C.2m·tan α
D.
3.已知α为锐角,且tan(90°-α)=,则α的度数为( ).
A.30° B.60° C.45° D.75°
4.如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠ABC等于( ).
A. B. C. D.
(第4题)
5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sin A的是( ).
(第5题)
A. B. C. D.
6.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB的坡比为1∶,则AB的长为( ).
(第6题)
A.12 m B.4 m
C.5 m D.6 m
7.如图,在笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A处测得船C在北偏东45°的方向,从B处测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( ).
(第7题)
A.4 km B.km
C.2 km D.km
8.如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°.若DE=3 m,CE=2 m,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=25 m,则此时AB的长约为( ).(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
(第8题)
A.10.4 m B.12.4 m
C.27.4 m D.22.4 m
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
9.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,则sin B= .
10.如图,已知两点A(2,0),B(0,4),且∠1=∠2,则tan∠OCA= .
(第10题)
11.在锐角三角形ABC中,已知∠A,∠B满足sin A-2+|-tan B|=0,则∠C= .
12.如图,为测量河宽AB(假设河的两岸平行),在点C处测得∠ACB=30°,点D处测得∠ADB=60°,又CD=60 m,则河宽AB为 m.(结果保留根号)
(第12题)
13.小明在学习“锐角三角函数”时发现,将如图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5°角的正切值,则67.5°角的正切值是 .
(第13题)
三、解答题(本大题共5小题,共48分)
14.(9分)计算:
(1)-22++(-2 023)0+4sin 45°;
(2)|3-|+0+cos230°-4sin 60°;
(3)sin 60°-cos 45°+2tan 45°.
15.(9分)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,AD=3 m,坝高AE=DF=6 m,坡角α=45°,β=30°,求BC的长.
(第15题)
16.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.
(1)求sin B的值;
(2)如果CD=,求BE的值.
(第16题)
17.(10分)如图,海中有两小岛C,D,某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上,且相距20 n mile,该渔船自西向东航行一段时间到达点B处,此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上,且相距50 n mile,又测得点B与小岛D相距20 n mile.
(1)求sin∠ABD的值;
(2)求小岛C,D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).
(第17题)
18.(10分)如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°,沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i=1∶,AB=10 m,AE=15 m.
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度.
(i=1∶是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比.测倾器的高度忽略不计,结果精确到0.1 m.参考数据:≈1.414,≈1.732)
(第18题)
参考答案
第一章测评
一、选择题
1.D 在Rt△ABC中,∵sin A=,
即,∴AB=13.故选D.
2.B
3.A ∵tan(90°-α)=,∴90°-α=60°.
∴α=30°.故选A.
4.C
5.D 在Rt△ABC中,sin A=;
在Rt△ACD中,sin A=
∵∠A=∠BCD,
∴在Rt△BCD中,sin A=sin∠BCD=
6.A 7.B
8.A 如图,延长DE交AB的延长线于点P,作CQ⊥AP于点Q.
(第8题)
∵CE∥AP,∴DP⊥AP.
∴四边形CEPQ为矩形.
∴CE=PQ=2(米),CQ=PE.
由i=,
可设CQ=4x,BQ=3x,
由BQ2+CQ2=BC2,可得(4x)2+(3x)2=252,
解得x=5或x=-5(舍去负值),
则CQ=PE=20(米),BQ=15(米),
DP=DE+PE=23(米).
在Rt△ADP中,∵AP=27.4(米),
∴AB=AP-BQ-PQ=27.4-15-2=10.4(米).
故选A.
二、填空题
9 设BC=x,则AC=3x,AB=x,根据三角函数定义,得sin B=
10.2
11.75° +|-tan B|=0,
∴sin A=,tan B=
∴∠A=45°,∠B=60°.
∴∠C=180°-(∠A+∠B)=75°.
12.30 ∵∠ACB=30°,∠ADB=60°,
∴∠CAD=30°,
∴AD=CD=60 m.
在Rt△ABD中,AB=AD·sin∠ADB=60=30(m).
13+1 设AB=a.∵AB=BE,∠B=90°,
∴AE=a,∠BAE=∠AEB=45°.
又AE=FE,
∴∠EFA=∠EAF=AEB=22.5°,BF=(1+)a,
∴tan∠FAB=tan 67.5°=+1.
三、解答题
14.解 (1)原式=-4+2+1+4=4-3.
(2)原式=2-3+1+-2=-
(3)原式=+2=-1+2=
15.解 由题意可知,四边形AEFD是矩形,则EF=AD=3 m.
∵坡角α=45°,β=30°,
∴BE=AE=6 m,CF=DF=6 m,
∴BC=BE+EF+CF=6+3+6=9+6(m),故BC的长为(9+6) m.
16.解 (1)在Rt△ABC中,
∵CD是斜边AB上的中线,
∴CD=AD,
∴∠BAC=∠ACD.
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°.
又AE⊥CD,
∴∠CAH+∠ACD=90°,
∴∠B=∠CAH.
∵AH=2CH,
∴由勾股定理,得AC=CH,
∴sin B=sin∠CAH=
(2)∵CD=,
∴AB=2
∵sin B=,
∴AC=2.
由勾股定理,得BC=4.
∵sin B=sin∠CAH=,AE2-CE2=AC2=4,
∴CE=1.
∴BE=BC-CE=4-1=3.
17.解 (1)如图,过点D作DE⊥AB于点E,
(第17题)
在Rt△AED中,AD=20 n mile,∠DAE=45°,
∴DE=20sin 45°=20(n mile).
在Rt△BED中,BD=20 n mile,
∴sin∠ABD=
(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F,
在Rt△BED中,DE=20 n mile,BD=20 n mile,
∴BE==40 n mile.
∵四边形BFDE是矩形,
∴DF=EB=40 n mile,BF=DE=20 n mile,
∴CF=BC-BF=30 n mile.
在Rt△CDF中,CD==50 n mile.
故小岛C,D之间的距离为50 n mile.
18.解 (1)在Rt△ABH中,
∵tan∠BAH=,
∴∠BAH=30°,∴BH=AB·sin∠BAH=10×sin 30°=10=5(m).
答:点B距水平面AE的高度BH是5 m.
(2)在Rt△ABH中,AH=AB·cos∠BAH=10×cos 30°=5(m).
在Rt△ADE中,tan∠DAE=,
即tan 60°=,∴DE=15 m.
如图,过点B作BF⊥CE,垂足为F,
∴BF=AH+AE=(5+15)m,DF=DE-EF=DE-BH=(15-5)m.
(第18题)
在Rt△BCF中,∠C=90°-∠CBF=90°-45°=45°,
∴∠C=∠CBF=45°.
∴CF=BF=(5+15)m.
∴CD=CF-DF=5+15-(15-5)=20-1020-10×1.732≈2.7(m).
答:广告牌CD的高度约为2.7 m.
