第二十六章 反比例函数
章末综合训练
一、填空题
1.已知反比例函数y=的图象经过点(1,-8),则k= .
2.如图,点A,B是双曲线y=上的点,分别过点A,B作x轴和y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为2,则两个空白矩形面积的和为 .
3.如图,反比例函数y=的图象位于第一、第三象限,其中第一象限内的图象经过点A(1,2),请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P,你选择的点P的坐标为 .
4.过反比例函数y=(k≠0)图象上的一点A,分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点B,C.若△ABC的面积为3,则k的值为 .
5.已知双曲线y1,y2在第一象限的图象如图所示,y1=,过y1上的任意一点A作x轴的平行线交y2于点B,交y轴于点C.若S△AOB=1,则y2的解析式是 .
二、选择题
6.若函数y=(m+1)是反比例函数,则m的值为( )
A.0 B.-1
C.0或-1 D.0或1
7.若反比例函数y=的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在( )
A.第一、第二象限 B.第一、第三象限
C.第二、第三象限 D.第二、第四象限
8.当三角形的面积为1时,底y与该底边上的高x之间的函数关系的图象是( )
9.如图,一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,则使y1>y2成立的x的取值范围是( )
A.-2
D.-2
10.如图,点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,且横坐标为2.若将点P先向右平移两个单位长度,再向上平移一个单位长度后所得的像为点P'.则在第一象限内,经过点P'的反比例函数图象的解析式是( )
A.y=-(x>0) B.y=(x>0)
C.y=-(x>0) D.y=(x>0)
11.已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数y=的图象上,则下列结论正确的是( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
12.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=的图象上,顶点B在反比例函数y=的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是( )
A. B. C.4 D.6
13.已知反比例函数y=(a>0,a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示,点M在y=的图象上,MC⊥x于点C,交y=的图象于点A.MD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B.当点M在y=的图象上运动时,以下结论:
①S△ODB=S△OCA;
②四边形OAMB的面积不变;
③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
三、解答题
14.已知正比例函数y=ax与反比例函数y=的图象有一个公共点A(1,2).
(1)求这两个函数的解析式;
(2)画出草图,根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
15.如图,科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD,其中一边AB靠墙,墙长为12 m.设AD的长为x m,DC的长为y m.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若围成的矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m,材料AD和DC的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案.
16.已知反比例函数y=(m为常数)图象的一支如图所示.
(1)求常数m的取值范围;
(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限的交点为A(2,n),求点A的坐标及反比例函数的解析式.
17.如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于M,N两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.
18.如图,一次函数y=x-3的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A与点B(a,-4).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若动点P是第一象限内双曲线上的点(不与点A重合),连接OP,且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C,连接OC.若△POC的面积为3,求点P的坐标.
章末综合训练
一、填空题
1.-8 2.8 3.答案不唯一,如(-1,-2) 4.6或-6 5.y2=
二、选择题
6.A 7.D 8.C 9.B 10.D 11.B 12.C 13.D
三、解答题
14.解 (1)把点A(1,2)代入y=ax,得a=2,所以y=2x.
把点A(1,2)代入y=,得b=2,所以y=.
(2)画草图如下:
由图象可知,当x>1或-1
所以所求的函数解析式为y=(x≥5).
(2)由y=,且x,y都是正整数,x可取5,6,10,12,15,20,30,60.
因为2x+y≤26,0
故满足条件的围建方案有:AD=5 m,DC=12 m或AD=6 m,DC=10 m或AD=10 m,DC=6 m.
16.解 (1)因为这个反比例函数的图象的一支在第一象限,所以5-m>0,解得m<5.
(2)因为点A(2,n)在正比例函数y=2x的图象上(图略),所以n=2×2=4,则点A的坐标为(2,4).
又点A在反比例函数y=的图象上,
所以4=,即5-m=8.
所以反比例函数的解析式为y=.
17.解 (1)把N(-1,-4)代入y=中,得-4=,
所以k=4.反比例函数的解析式为y=.
又点M(2,m)在反比例函数的图象上,所以m=2,即点M(2,2).
把M(2,2),N(-1,-4)代入y=ax+b中,得解得
故一次函数的解析式为y=2x-2.
(2)由题图可知,当x<-1或0
将B(-1,-4)代入反比例函数y=(k≠0)中,得k=4.
故反比例函数的解析式为y=.
(2)如图,设点P的坐标为(m>0),则C(m,m-3),
∴PC=|-(m-3)|,点O到直线PC的距离为m.
∴△POC的面积=m·=3,
解得m=5或m=-2或m=1或m=2.
∵点P不与点A重合,且A(4,1),
∴m≠4.
又m>0,∴m=5或m=1或m=2.
∴点P的坐标为或(1,4)或(2,2).第二十七章 相似
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一、填空题
1.如图,已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是 .
2.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与它相似的△DEF的最小边长为15,则△DEF的周长为 .
3.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165 cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为 .(精确到1 cm)
4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q.若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为 .
5.如图,小明在A时测得某树的影长为2 m,在B时又测得该树的影长为8 m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 m.
6.一古老的捣碎器如图所示,已知支撑柱AB的高为0.3 m,踏板DE长为1.6 m,支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m,现在踏脚着地,则捣头点E距地面 m.
二、选择题
7.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为( )
A. B.2 C. D.
8.如图,锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于点O,则与△DOB相似的三角形个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上.如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的,那么点B'的坐标是( )
A.(3,2)
B.(-2,-3)
C.(2,3)或(-2,-3)
D.(3,2)或(-3,-2)
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E.若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,2),(-2,3),(-1,0),把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍,得到点A',B',C'.下列说法正确的是( )
A.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(1,0)
B.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(0,0)
C.△A'B'C'与△ABC是相似图形,但不是位似图形
D.△A'B'C'与△ABC不是相似图形
12.如图,梯形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,G是BD的中点.若AD=3,BC=9,则GO∶BG=( )
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶3 D.11∶20
13.如图,点F是 ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
14.在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数y=-图象上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q.若以点O,P,Q为顶点的三角形与△OAB相似,则相应的点P共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、解答题
15.如图,方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼.
(1)在同一方格纸中,画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案;
(2)在同一方格纸中,并在y轴的右侧,将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大,使它们的相似比为2∶1,画出放大后小金鱼的图案.
16.某高中为高一新生设计的学生板凳从侧面看到的图形如图所示.其中BA=CD,BC=20 cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50 cm,则横梁EF的长应为多少 (材质及其厚度等暂忽略不计)
17.如图,在△ABC中,延长BC到点D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.
(1)求的值;
(2)若AB=a,FB=EC,求AC的长.
18.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.
(1)求证:AC2=AB·AD;
(2)求证:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求的值.
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一、填空题
1.(9,0) 2.90 3.8 cm 4.3或 5.4 6.0.8
二、选择题
7.D 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 13.C 14.D
三、解答题
15.解 如图所示.
16. 解 过点C作CM∥AB,交EF,AD于点N,M,作CP⊥AD,交EF,AD于点Q,P.
由题意得,四边形ABCM是平行四边形,∴EN=AM=BC=20 cm.
∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).
由题意知CP=40 cm,PQ=8 cm,∴CQ=32 cm.
∵EF∥AD,∴△CNF∽△CMD.
∴,即,解得NF=24 cm.
∴EF=EN+NF=20+24=44(cm),
即横梁EF的长应为44 cm.
17.解 (1)过点F作FM∥AC,交BC于点M.
∵F为AB的中点,∴M为BC的中点,即FM∥AC,且FM=AC.
由FM∥AC,得△FMD∽△ECD.
∴,∴EC=FM=AC=AC.
∴.
(2)∵AB=a,∴FB=AB=a.
又FB=EC,∴EC=a.
∵EC=AC,∴AC=3EC=a.
18.(1)证明 ∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.
又∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB.
∴,∴AC2=AB·AD.
(2)证明 ∵E为AB的中点,∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA.∵AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB.
∴∠DAC=∠ECA.∴CE∥AD.
(3)解 ∵CE∥AD,∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF,∴△AFD∽△CFE,∴.
∵CE=AB,∴CE=×6=3.又AD=4,由,得,∴,∴.第二十八章 锐角三角函数
章末综合训练
一、填空题
1.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,则cos B= .
2.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是 .
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M,N两点关于对角线AC对称.若DM=1,则tan∠ADN= .
4.人字梯为现代家庭常用的工具(如图).若AB,AC的长都为2 m,当α=50°时,人字梯顶端离地面的高度AD是 m.(结果精确到0.1 m,参考依据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19)
5.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长,△ABC最小的角为A,那么tan A的值为 .
6.如图,将45°的∠AOB按右面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与刻度尺下沿的端点重合,OA与刻度尺下沿重合,OB与刻度尺上沿的交点B在刻度尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与刻度尺上沿的交点C在刻度尺上的读数约为 cm.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
二、选择题
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan A=,则sin A等于( )
A. B. C. D.
8.若tan(α+10°)=1,则锐角α的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
9.如图,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC上找一点B,取∠ABD=145°,BD=500 m,∠D=55°,要使点A,C,E成一直线,则开挖点E离点D的距离是( )
A.500sin 55° m B.500cos 55° m
C.500tan 55° m D. m
10.某款国产手机上有科学计算器,依次按键:4sin(60)=,显示的结果在哪两个相邻整数之间( )
A.2~3 B.3~4 C.4~5 D.5~6
11.在△ABC中,∠C=90°,设sin B=n,当∠B是最小的内角时,n的取值范围是( )
A.0
A.90° B.75° C.60° D.105°
13.如图,为测量一幢大楼的高度,在地面上距离楼底点O 20 m的点A处,测得楼顶点B的仰角∠OAB=65°,则这幢大楼的高度为(结果精确到0.1)( )
A.42.8 m B.42.80 m
C.42.9 m D.42.90 m
14.在野外生存训练中,第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3 km,第二小组向南偏东30°方向前进了3 km,第一小组准备向第二小组靠拢,则行走方向和距离分别为( )
A.南偏西15°,3 km
B.北偏东15°,3 km
C.南偏西15°,3 km
D.南偏西45°,3 km
三、解答题
15.计算:
(1)sin245°+tan 60°cos 30°-tan 45°;
(2)-3tan 60°+(π-)0.
16.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
17.小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前.由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D,并在点D处安装了测量器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°;再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿着BG方向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与地面的距离EF=1.6 m,测倾器的高度CD=0.5 m.已知点F,G,D,B在同一水平直线上,且EF,CD,AB均垂直于FB,求这棵古树的高度AB.(小平面镜的大小忽略不计)
18.某中学教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC∥AD,斜坡AB为40 m,坡角∠BAD为60°,为防夏季因暴雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过45°时,可确保山体不滑坡,改造时保持A不动,从坡顶B沿BC削进到E处,问BE至少是多少米 (结果保留根号)
章末综合训练
一、填空题
1. 2. 3. 4.1.5 5. 6.2.7
二、选择题
7.D 8.A 9.B 10.B 11.A 12.B 13.C 14.A
三、解答题
15.解 (1)原式=-1=-1=1.
(2)原式=3+4-3+1=5.
16.解 (1)∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中,∵sin B=,AD=1,
∴AB=3,∴BD==2.
在Rt△ADC中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1.
∴BC=BD+CD=2+1.
(2)∵AE是BC边上的中线,∴DE=CE-CD=BC-CD=-1=.
在Rt△ADE中,tan∠DAE=.
17.解 如图,过点C作CH⊥AB于点H,
则CH=BD,BH=CD=0.5.
在Rt△ACH中,
∵∠ACH=45°,
∴AH=CH=BD.
∴AB=AH+BH=BD+0.5.
∵EF⊥FB,AB⊥FB,∴∠EFG=∠ABG=90°.
由题意,得∠EGF=∠AGB,∴△EFG∽△ABG.
∴,即,
解得BD=17.5.
∴AB=17.5+0.5=18(m).
因此,这棵古树的高度AB为18 m.
18.解 过点B作BG⊥AD于点G,过点E作EF⊥AD于点F.
在Rt△ABG中,∠BAD=60°,AB=40 m,
所以BG=AB·sin 60°=20(m),
AG=AB·cos 60°=20(m).
在Rt△AEF中,若∠EAD=45°,
则AF=EF=BG=20 m,
所以BE=FG=AF-AG=20(-1)m.
因此BE至少是20(-1)m.第二十九章 投影与视图
章末综合训练
一、填空题
1.墙壁CD上D处有一盏灯(如图),小明站在A处测得他的影长与身长相等,都为1.6 m,他向墙壁走1 m到B处时发现影子刚好落在点A,则灯泡与地面的距离CD= .
2.小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况,无意之间,他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同,那么影子最长的时刻为 .
3.如图,电视台的摄像机1,2,3,4在不同位置拍摄了四幅画面,则图象A是 号摄像机所拍,图象B是 号摄像机所拍,图象C是 号摄像机所拍,图象D是 号摄像机所拍.
4.已知由四个相同的小正方体组成的立体图形的主视图和左视图如图所示,则原立体图形可能是 .(把图中正确的立体图形的序号都填在横线上)
5.已知三棱柱的三视图如图所示,在△EFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,∠EGF=30°,则AB的长为 cm.
6.观察由棱长为1的小正方体摆成的图形(如图),寻找规律:如图①中:共有1个小正方体,其中1个看得见,0个看不见;如图②中:共有8个小正方体,其中7个看得见,1个看不见;如图③中:共有27个小正方体,其中19个看得见,8个看不见;……则第⑥个图中,看不见的小正方体有 个.
二、选择题
7.下列投影是正投影的是( )
A.(1) B.(2)
C.(3) D.都不是
8.小明在某天下午测量了学校旗杆的影子长度,按时间顺序排列正确的是( )
A.6 m,5 m,4 m B.4 m,5 m,6 m
C.4 m,6 m,5 m D.5 m,6 m,4 m
9.已知6个棱长为1的小正方体组成的一个几何体如图所示,则其俯视图的面积是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
10.一个水平放置的全封闭物体如图所示,则它的俯视图是( )
11.已知由4个大小相同的长方体搭成的立体图形的左视图如图所示,则这个立体图形的搭法不可能是( )
12.图①表示一个正五棱柱形状的高大建筑物,图②是它的俯视图.小健站在地面观察该建筑物,当他在图②中的阴影部分所表示的区域活动时,能同时看到建筑物的三个侧面,图中∠MPN的度数为( )
A.30° B.36°
C.45° D.72°
13.已知一个长方体的三视图如图所示,若其俯视图为正方形,则这个长方体的表面积为( )
A.66 B.48
C.48+36 D.57
14.已知一个由多个相同的小正方体堆积而成的几何体的俯视图如图所示,图中所示数字为该位置小正方体的个数,则这个几何体的左视图是( )
三、解答题
15.按规定尺寸作出如图所示几何体的三视图.
16.如图,两幢楼高AB,CD为30 m,两楼间的距离AC为24 m,当太阳光线与水平线的夹角为30°时,求甲楼投在乙楼上的影子的高度.(结果精确到0.01,≈1.732,≈1.414)
17.已知一个几何体的三视图如图所示.
(1)写出这个几何体的名称;
(2)根据图中所示数据计算这个几何体的表面积;
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最短路程.
18.如图,小华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行12 m到达点Q时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.已知小华同学的身高是1.6 m,两个路灯的高度都是9.6 m.
(1)求两个路灯之间的距离;
(2)当小华同学走到路灯BD处时,他在路灯AC下的影子长是多少
章末综合训练
一、填空题
1. m 2.上午8时 3.2 3 4 1 4.①②④ 5.6
6.125
二、选择题
7.C 8.B 9.B 10.C 11.A 12.B 13.A 14.D
三、解答题
15.解 如图.
16.解 延长MB交CD于点E,连接BD,因为AB=CD,
所以NB和BD在同一条直线上.
所以∠DBE=∠MBN=30°.
因为四边形ABDC是矩形,所以BD=AC=24 m.
在Rt△BED中,tan 30°=,
DE=BDtan 30°=24×=8(m),
所以CE=30-8≈16.14(m).
即甲楼投在乙楼上的影子的高度约为16.14 m.
17.解 (1)圆锥.
(2)S表=S侧+S底=πrl+πr2=12π+4π=16π(cm2).
(3)如图将圆锥的侧面展开,线段BD为所求的最短路程.
因为AB=6 cm,底面圆半径r=2 cm,设∠BAB'=n°,所以=2π×2,解得n=120,即∠BAB'=120°.
由题易知C为弧BB'的中点,
所以BD=3 cm.
18.解 (1)由对称性可知AP=BQ.
设AP=BQ=x m.
因为MP∥BD,所以△APM∽△ABD.
所以,即,解得x=3.
所以AB=2x+12=2×3+12=18(m),
即两个路灯之间的距离为18 m.
(2)设小华走到路灯BD处,头的顶部为E,如图.
连接CE,并延长交AB的延长线于点F,则BF即为此时他在路灯AC下的影子长,设BF=y m.
因为BE∥AC,所以△FEB∽△FCA.
所以,即,解得y=3.6.
故当小华同学走到路灯BD处时,他在路灯AC下的影子长是3.6 m.
