惠州市2024届高三第三次调研考试试题数学
全卷满分150分，时间120分钟 2024. 1
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1. 已知集合A={x∈N|x2-x-6<0},B={0,1,2,3},则A∩B=（ ）
A. {0,1} B. {0,1,2} C. {1} D. {1,2}
2. 设复数z满足|z-2i|=,z在复平面内对应的点为(x,y),则（ ）
A. (x-2)2+y2= B. x2+(y-2)2=
C. x2+(y-2)2=3 D. x2+(y+2)2=3
3. 对于数列{an},“an=kn+b”是“数列{an}为等差数列”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 既非充分又非必要条件 D. 充要条件
4. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 将最小正周期为π的函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是（ ）
A. 对称轴为x=+，k∈Z B. 在［0，］内单调递增
C. 对称中心为（+，1），k∈Z D. 在［0，］内最小值为-1
6. 设F1,F2是双曲线C： - =1的左、右焦点，过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M. 若|MF2|=b,则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 3 D.
7. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可
见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面
体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为平行四边形，EF//面
ABCD,记该刍甍的体积为V1,三棱锥E-ABD的体积为V2
AB=a,EF=b,若=，则（ ）
A. 1 B. C. D.
8. 设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f‘(x)和g‘(x),若f(x+2)-g(1-x)=2,f‘(x)=g‘(x+1),且g(x+1)为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. f(x)是奇函数
B. 函数g‘(x)的图象关于点(1,0)对称
C. 点(2k,2)(其中k∈Z)是函数f(x)的对称中心
D. =0
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若a>b,c>d,则a+c>b+d B. 若a>b,c<0,则a2c
10. 德国数学家狄利克雷(Dirichlet,1805-1859),是解析数论的创始人之一. 他提出了著
名的狄利克雷函数：，以下对D(x)的说法正确的是（ ）
A. D(D(x))=1
B. D(x)的值域为{0,1}
C. 存在x是无理数，使得D(x+1)=D(x)+1
D. ∈R,总有D(x+1)=D(-x-1)
11. 在△ABC中，cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的有（ ）
A. |sinA=|cosB| B. A+B=
C. sinA·sinB的最大值为 D. tanA·tanB=±1
12. 在四面体ABCD中，AB=CD=1,AC=AD=BC=BD=2,E,F,G分别是棱BC,AC,AD上的动点，且满足AB,CD均与面EFG平行，则（ ）
A. 直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为
B. 四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1
C. 三角形EFG的面积的最大值为
D. 四面体ABCD的内切球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 某电池厂有A,B两条生产线，现从A生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次
数的平均值为210,方差为4;从B生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平
匀值为200,方差为4. 则20件产品组成的总样本的方差为
(参考公式：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和
样本方差分别为：m，，；n，，、记总的样本平均数为,样本方差为s2；
=+；为s2={m［+（-）2］+n［+（-）2］}
14. 若f(x)=2sin(x+)-sinx为偶函数，则= . (填写符合要求的一个值)
15. 如图在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，
∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在向量上
的投影向量为 . (用向量BC来表示).
16. 已知N为抛物线x2=4y上的任意一点，M为圆x2+(y-5)2=4上的一点，A(0,1)
则2|MN|+|MA|的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD,BC⊥AB,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求证：CB⊥平面SAB;
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
18. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=2cosC
(1)求角C;
(2)若CD是∠ACB的角平分线，且CD=,c=，求△ABC的面积
19. (本小题满分12分)
魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力. 基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间(单位：秒),得到相关数据如下：
年级 人数 时间 ［50,80) ［80,110) ［110,140) ［140,170) ［170,200)
低年级 2 8 12 14 4
高年级 10 22 16 10 2
(1)估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数；
(2)在这次测试中，从所用时间在［80,110)和［110,140)内的学生中各随机抽取1人，记
抽到低年级学生的人数为X,求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分)
已知数列{}满足：+=2n+7(n∈N*),且=4.
求数列{}的通项公式；
(2)已知数列{}满足：=，定义使 … (k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”,求区间[1,2024]内所有“幸福数”的和.
21. (本小题满分12分)
如图，已知半圆C1：x2+y2=b2(y≤0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于E点，半椭圆上C2：=1（y＞0，a＞b＞0）焦点为F,并且△ABF是面积为的等边三角形，将满足的曲线记为“Г”.
(1)求实数a,b的值；
(2)直线l:y=x与曲线T交于M、N两点，在曲线Г上再取两点S、T(S、T分别在直线l两侧),使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
(3)设点K(0,t)(t∈R),P是曲线Г上任意一点，求|PK|的最小值.
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=(ax2+x+a)e-x(a∈R).
(1)若a≥0,函数f(x)的极大值为，求实数a的值；
(2)若对任意的a≤0,f(x)≤bln(x+1)在x∈(0,+)上恒成立，求实数b的取值范围.惠州市2024届第三次调研考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.
题号
1
2
3
4
6
8
答案
B
C
D
A
C
A
B
1.【解析】由题意可得A={x∈N|-2
所以Vx2+(0y-2)2=V3,即x2+(y-2)2=3.故选：C
3.【解析】若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则an+1-an=k(n+)+b-(m+b)=k(k为常数)，由等差
数列的定义可得数列{an}为等差数列；若数列{an}为等差数列，设首项为a，公差为d,则通项公式为
an=a,+(n-1)d=nd+(a,-d),令d=k,a1-d=b,则数列{an}的通项公式可写为an=kn+b,(k,b为
常数，n∈N.所以对于数列{an},“an=kn+b”是“数列{an}为等差数列”的充要条件.故选：D.
4.【解析】解法一：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，
则有C=5种排法，若2个0不相邻，则有C:=10种排法，所以2个0不相邻的概率为，10。=2.故
5+103
选：A
解法二：本题直接用
3
(C的含义：4个1和2个0占6个位置，先让2个0选位置，有C%种选
法，然后让4个1顺次插进去，只有一种插法)
5.【解折】因为f(d=2s如2ar君引+1(o>0)的绿小正周期为，
所以2不=元，解得@=1，则由平移变换可得g(x)=2sin
20
2到-引+1=2sm2x+
A选项：令2x+号-受+：得对称抽方程为x=合+受，keZ,A错误：
122
B选项：由-三2+旨号得-晋s晋所以8()在0哥
上单调递增，
好s2x+肾经得晋sxs登·所以8在[合引
单调递减，B错误；
三调数学答案
第1页，共13页
C选项：令2x+号得x=名+受e乙，所以g的对称中心为（君+经小ez,C正确：
D选项：因为go)=2sn子+1=5+l8}-2sn骨+1=1-5,8o>8[)】
所以结合B中分析可得8()在[0引内的最小值为1-5，D错误。
故选：C
6.【解折】由双曲线c号-茶=0>06>0，可得5(e,0,浙近线方程为y=±，
-bc
如图所示，则焦点R到浙近线y=x的距离为M
=b
√a2+b2
M
在直角△MOE中，可得cos∠OEM=
M-,在△MR,中，由余弦定理
OF c
得|ME'=|FE'+ME'-2 FFMF COS∠OFM
即36=4c2+b2-2x2cb×b=4c2-36,所以2c2=362,又由b2=c2-a2,所
以2c2=3(c2-a2),可得c2=3a2,所以双曲线的离心率为e=C=√5.故选：A.
a
7.【解析】因为EF∥面ABCD,且底面ABCD为平行四边形，
所以m==c,所以兰匹c=只。
Va-DEF b'
所以么壁=a+b
所y=a=2
0。,所以号2a+6行，整理得a=2b,即名=)
a2,故选：B
8.【解析】A选项，因为g(x+1)为奇函数，故g(x)关于点(1,0)中心对称，故g()=0,因为f'(x)=g'(x+1),
故f(x)+a=g(x+1)+b,a,b∈R,f(x+2)-g(1-x)=2,.f(x)-g(3-x)=2,故
g(3-x)+2+a=g(x+1)+b,令x=1,得g(2)+2+a=g(2)+b,故2+a=b,故g(3-x)=g(x+1),
f(x)=g(x+1)+2.∴g(x)关于x=2轴对称，求得f(0)=g(3)+2=g(I)+2=2,所以f(x)一定不是
奇函数，故A错误；
B选项，g(x)关于点(1,0)中心对称，故g(1+x)+g(1-x)=0,取导数得g(1+x)-g(1-x)=0,即
g'(1+x)=g'(1-x),所以g'(x)关于x=1轴对称，故B错误：
C选项，由A选项分析可得g(x)关于x=2轴对称，因为g(x+1)为奇函数，则f(x)的一个对称中心为
(0,2).又因为f(x+2)-g(1-x)=2,所以f(x+2)=f(-x),所以函数f(x)关于x=1轴对称，则
(2k,2)k∈Z)是函数f(x)的对称中心，故C正确：
三调数学答案
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