湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试
高一数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟）
2024年1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，有”的否定为
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
2．若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
3．的值为
A．0 B． C． D．
4．已知函数（，）的图象如图所示，则
A． B． C． D．
5．函数的零点所在的区间是
A． B． C． D．
6．角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradient system）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的。密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为
A．4 B．3 C．2 D．1
7．函数的图象大致为
A． B．
C． D．
8．在R上定义新运算，若存在实数，使得成立，则m的最小值为
A． B． C．0 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知集合，，则
A． B． C． D．
10．已知，则
A． B． C． D．
11．下列函数在上单调递增的为
A． B． C． D．
12．已知函数（，），满足，，且在上单调，则的取值可能为
A．1 B．3 C．5 D．7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为 ．
14．已知，满足，则 ．
15．德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则
．
16．已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）若的终边经过点，求的值；
（2）若，且，求的值．
18．（12分）
已知幂函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）若，求实数a的取值范围．
19．（12分）
已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．
（1）当时，求与；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
20．（12分）
随着时代的发展，大学生自主创业的人数逐年增加．大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂．已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x万斤饲料．当时，年收入为万元；当时，年收入为92万元．记该工厂的年利润为万元（年利润＝年收入－固定成本－生产成本）．
（1）写出年利润与生产饲料数量x的函数关系式；
（2）求年利润的最大值．
21．（12分）
已知函数．
（1）求的最小值及相应x的取值；
（2）若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值．
湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试
高一数学参考答案及评分细则
1．【答案】A
【解析】根据命题“具有性质”的否定为“，x不具有性质”，可得“，有”的否定为“，使”，故选A．
2．【答案】B
【解析】易知，故图中阴影部分表示的集合为，共4个元素，故选B．
3．【答案】D
【解析】，故选D．
4．【答案】D
【解析】由图象可知，，则，因为，又处在函数的递减区间，所以（），又，所以，故选D．
5．【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，且，，故，故选C．
6．【答案】B
【解析】40-00密位的圆心角的弧度为，设该扇形的半径为r，由，解得，故选B．
7．【答案】A
【解析】，排除C；，故的图象关于直线对称，排除B；当x无限接近于2时，趋近于正无穷，排除D，故选A．
8．【答案】A
【解析】由已知，存在实数，使得，则，令函数，，由知，是奇函数，且，当时，，故在上单调递减，所以，同理，当时，，故，即，故选A．
9．【答案】BC
【解析】解法一：易知，故A错误；易知，则B正确；，故，，故C正确，D错误，故选BC．
解法二：依题意，，，观察可知A，D错误，B，C正确，故选BC．
10．【答案】AB
【解析】解法一：因为，且，故，故A正确；因为，故，故B正确；当时，，故C错误；，则，故D错误，故选AB．
解法二：取，，，则，，故C错误；，，故D错误，故选AB．
11．【答案】BC
【解析】在上单调递减，在上单调递增，故A错误；在上单调递增，故B正确；在上单调递增，故C正确；对D，因为，，故D错误，故选BC．
12．【答案】AB
【解析】由，知的图象关于直线对称，又，即是的零点，则，，从而（）．根据在上单调，有，可得，所以，3，5．当时，由（），得（），又，所以，此时当时，，所以在上不单调，不符合题意；当时，由（），得（），又，所以，此时当时，，所以在上单调，符合题意；当时，由（），得（），又，所以，此时当时，，所以在上单调，符合题意．从而的可能取值为1，3．故AB．
13．【答案】
【解析】依题意，，则，故所求定义域为．
14．【答案】0
【解析】因为，由，得，所以．
15．【答案】1
【解析】，故
．
16．【答案】
【解析】作出函数的图象，知，，故，即的取值范围是．
17．解：
（1）因为的终边经过点，
所以，
所以．
（2）因为，且，
所以为锐角，，
所以
．
【评分细则】
1．如有其他解法若正确，也给满分；
2．第（2）小题，不指出为锐角，直接根据得不扣分．
18．解：
（1）依题意，，解得，故（），
则．
（2）易知在上是增函数，
依题意，，解得，
故实数a的取值范围为．
19．解：
（1），
当时，，
所以，
．
（2）因为“”是“”的必要条件，
所以，
故，
解得，
即实数a的取值范围是．
【评分细则】
1．第二问没有指出扣1分；
2．第二问答案写成不等式或集合形式不扣分．
20．解：
（1）当时，；
当时，，
故．
（2）当时，，
当且仅当，即时等号成立．
当时，．
综上所述，年利润的最大值为54万元．
【评分细则】
1．第（2）问求时的最大值，若使用对勾函数进行求解，需交代对勾函数在此范围内的单调性，否则扣2分；
2．第（2）问的答案为“年利润的最大值为54”不扣分，即没写单位不扣分．
21．解：
（1）因为
，
所以当，，即，时，取得最小值．
（2），
由，，得，，
取，1得在上的单调递增区间为，．
【评分细则】
1．如有其他解法若正确，也给满分；
2．第（1）小题不指出取得最大值时x的取值扣1分；
3．第（2）小题单调区间写成开区间不扣分，不写成区间形式扣1分．
22．解：
（1）当时，，
令，因为，所以．
所以，．
故当时，；当时，，
即当时，取得最小值；当时，取得最大值8．
（2），
令，则，
于是问题等价转化为“函数在区间上存在最小值，求实数a的值”．
二次函数的对称轴方程为，
当，即时，在区间上单调递增，此时存在最小值，
令，解得，不符合题意，舍去；
当，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以存在最小值，
令，解得（负值舍去）．
综上得，．
【评分细则】
其他解法酌情给分．
