2024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型）
数学试题卷（7）
注意事项：
1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；
2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；
3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．某校高三年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100分）依次为84，78，82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为（ ）
A．86 B．84 C．96 D．89
2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知两条直线，与两个平面，，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
4．为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，已知，则的前10项的和为（ ）
A．1023 B．1024 C．2046 D．2047
6．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）
9．已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ）.
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.
10．已知圆，点在圆外，以线段为直径作圆，与圆相交于 两点，则 （ ）
A．直线均与圆相切
B．若，则直线的方程为
C．当时，点在圆上运动
D．当时，点在圆上运动
11．是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知集合，则 ．
13．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C为直角，BC=2，EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使面AEF⊥面EFBC，当四棱锥A-CBFE的体积最大时，EF的长为 ．
14．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知函数在与处都取得极值.
（1）求，的值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
16．（15分）“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间．同学甲和同学乙约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少．某周甲乙两人每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中学生甲周日的阅读时间m忘了记录，但知道．
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
序号x 1 2 3 4 5 6 7
甲的阅读时间y/min 15 20 20 25 30 36 m
乙的阅读时间z/min 16 22 25 26 32 35 35
(1)求同学甲的本周阅读时间之和超过同学乙的本周阅读时间之和的概率；
(2)根据同学甲本周前5天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计同学甲周日阅读时间m的值．参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，．
17．（15分）如图，几何体中，为等腰梯形，为矩形，，平面平面.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的大小.
18．（17分）椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为.
(1)求椭圆与双曲线的标准方程；
(2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点；
(3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程.
19．（17分）已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”.
(1)判断函数（）是否为函数，并说明理由；
(2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式；
(3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值.
参考答案：
1．A
【分析】利用百分位数的定义分析求解即可.
【详解】因为．所以这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为86．
故选：A.
2．C
【分析】根据离心率求出，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.
【详解】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
3．D
【解析】根据线线、线面、面面位置关系，结合选项，进行逐一分析即可求得.
【详解】对：若，，则的位置关系不确定，故错误；
对：若，，则的关系可以平行，可以垂直，故错误；
对：若，，则的位置关系不确定，故错误；
对：若，，且，故可得//，故正确.
故选：D.
【点睛】本题考查线线，线面，面面位置关系的判断，属基础题.
4．C
【分析】利用相互独立事件、互斥事件概率公式求出，再利用利用相互独立事件、互斥事件求解作答.
【详解】依题意，，而，解得，，
设“甲同学答对了i题”，“乙同学答对了i题”，（），
则，，，，
甲、乙两人共答对至少3道题的事件，
因此，
所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是．
故选：C
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
5．C
【分析】利用，表示出的前10项的和，通过等比数列前n项和公式求解即可.
【详解】
，，，，，
则的前10项的和为.
故选：C.
6．B
【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线l方程，后可得交点坐标.
【详解】由的顶点坐标，可知其重心为.
注意到，直线BC斜率不存在，则为直角三角形，
则其垂心为其直角顶点，则欧拉线方程为：.
因其与垂直，则.
则，则直线与的欧拉线的交点坐标满足，即交点为.
故选：B
7．D
【分析】根据题意得，令，，则函数在上存在零点等价于与的图像有交点，再根据的单调性求解即可.
【详解】根据题意，令，所以，
令，，
则函数在上存在零点等价于与的图像有交点．
，
令，，
则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
又时，，故，，所以.
故选：D．
【点睛】利用导数研究函数零点的核心是根据题意构造合适的函数，通过研究函数的单调性，进而确定函数大致图形，数形结合，有助于简化题目.
8．C
【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答.
【详解】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接，
因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，
从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图，
取中点M，连接，因为，则，显然，
又平面，则平面，
而平面，平面，即有，
平面，则平面，平面与平面有公共点，
显然平面与平面为同一平面，有，而，，
在直角梯形中，过作于I，，
球O的半径，
过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，
则，，
由已知得，即，
，，则点到直线的距离有：,
球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离，
截得的最小截面圆半径为，而，则
，
所以截得的截面圆面积的最小值是.
故选：C
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
9．AB
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】∵
对A，因为，则的最小正周期，结论正确．
对B，当时，，则在上是减函数，结论正确．
对C，因为，得到函数图象的一个对称中心为，结论不正确．
对D，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．
故正确结论有A，B，
故选：AB．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，属于基础题．
10．ABC
【分析】根据圆的几何性质判断A选项的正确性，结合圆与圆相交弦所在直线方程判断B选项的正确性，通过求动点的轨迹方程来判断CD选项的正确性.
【详解】A选项，由于是圆的直径，所以，所以直线均与圆相切，A选项正确.
B选项，，，圆的半径为，则，
所以圆的方程为，
由、两式相减并化简得，所以B选项正确.
C选项，，，所以在圆上运动，C选项正确.
D选项，，所以在圆上运动，D选项错误.
故选：ABC
11．BC
【分析】由题可得单调性，.A选项，通过取可构造反例；B选项，由题可得，结合单调性可判断选项；C选项，当时，显然正确；当时，在时，，则此时，后结合单调性可判断选项；D选项，通过取可构造反例.
【详解】构造函数.则，
当时，；
时， .
即在上单调递减，在上单调递增.
又由题.
A选项，取，则，因在上单调递增，
则满足题意，但此时，故A错误；
B选项，若，，则，又由题可知，
且在上单调递增，则，故B正确；
C选项，若，当时，，满足题意；
当时，构造函数，注意到当时，
，又，则.
又因，则.因，在上单调递增，
则.综上，若，则，故C正确；
D选项，取，则，又在上单调递减，
则满足题意，但此时，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点精：本题涉及证明不等式，常需通过观察找到题目中的相同结构，进而构造出需要的函数，此外此题作为选择题，找到合适的反例可帮助我们快速解决问题.
12．
【分析】本题考查的集合的运算,需要对并集的概念进行了解．
【详解】.所以答案应填：．
【点睛】并集是取两集合内的所有元素并且相同元素只取一个．
13．/
【分析】由题意推出AE⊥平面BCEF，设EF=x，则AE＝x，EC＝2-x，表示出四棱锥A﹣CBFE的体积，利用导数求其最值，即可得答案.
【详解】由题意可知AEC是等腰直角三角形，
EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使面AEF⊥面EFBC， ,
平面AEF平面EFBC=EF，平面AEF,故AE⊥平面BCEF，
设EF=x，则AE＝x，EC＝2-x，
四棱锥A﹣CBFE的体积：V，（），
，由 ，解得x，
当x∈(0，)时，，当x∈(，2)时，,
∴当时，四棱锥A﹣CBFE的体积最大，即EF的长为．
故答案为：．
14．
【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围.
【详解】①当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减
（i）当时，在上单调递增，
所以，则，
，
所以，，，
，，
，
或或
；
（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以
，即，
；
综上，的取值范围为.
故答案为：
15．（1）；（2）.
【解析】（1）求出的导数，由题可知，，由此可求出；
（2）利用的导数求出其在的单调性，进而求出其最大值，满足即可求出.
【详解】解：（1）由题可知：，
∵函数在，处取得极值，
∴，，
∴，解得.
（2）由（1）可得，
令，
，，，
即：在单调递增，在，单调递减，
又，∴在上单调递减，在上单调递增上单调递减，
，，
又，
，
∴要使对任意，恒成立，则.
【点睛】本题考查根据极值点求参数，考查利用导数解决不等式的恒成立问题，属于中档题.
16．(1)
(2)，36
【分析】（1）求出甲同学的阅读时间之和的可能性，乙同学的阅读时间之和，求出概率
（2）将表格数据代入公式求出回归方程，令即可求出m的值
【详解】（1）依题意．，则m的取值一共有25个不同结果，它们等可能．
令，解得，
因此，当甲这一周的阅读时间超过乙这一周的阅读时间时，m的取值一共有15个不同结果，所以甲这一周的阅读时间超乙这一周的阅读时间的概率为．
（2），计算得： ，，∴ 将代入估计：
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，连接，根据平面平面可得平面，再由线面垂直的性质和勾股定理可得答案；
（2）建立空间直角坐标系，求出、平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）如图，过点作的垂线，垂足为，连接，
由已知可得，
平面平面，平面平面平面，
平面，
平面，
；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为，则，
令得，设直线与平面所成角为，
则，
，即直线与平面所成角的大小为.
18．(1)，
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义以及双曲线的渐近线分析运算；
（2）根据题意利用点差法分析运算；
（3）根据题意讨论直线的斜率是否为0，结合韦达定理以及向量的线性运算分析运算.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次为、、，
则可得，
因为双曲线的焦点在x轴上，且渐近线是，则，即，
可得，即，所以，
又因为点在椭圆上，则的周长为，
解得，
可得，
所以椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程.
（2）设，则的中点，
由题意可知：，则，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减可得，
整理得，即，
又因为，则，
且点均在直线上，则点即为点，即为的中点.
（3）设，
当直线的斜率为0时，则，
可得，
因为，则，解得，
又因为，则，解得，即；
当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为，
可得，
联立方程，消去x得，
则，解得或，
可得，
因为，则，整理得，
由，可得，
又因为，则，
整理得；
综上所述：点的轨迹方程为.
【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．
19．(1)是，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将代入解析式，根据整理表达式，判断是否为增函数即可；
（2）由函数可知是上的增函数，有意义，需满足，显然时不等式不成立，设，转化不等式为，结合单调性即可判断；
（3）由题可知是函数，也是函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当，或当时，，再讨论当，结合可判断，即满足当时，对一切成立.另证明任意均不满足要求：任意，定义函数满足条件②，满足条件①时符合，即可证明.
【详解】（1）是，理由：由题，
（，）为增函数，
故（）是函数.
（2）因为是函数，且，所以是上的增函数，
因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设，
此时等价于，
由的单调性得，，即所求不等式的解集为.
（3）由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即，
当时，同理可得，且，故且，故.
因此 ，当时，对一切成立.
下证，任意均不满足要求，由条件②知，.
另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件②成立.
对条件①，任取，有，
注意到是增函数，
而对，当时，；当时，，均单调不减.
因为，
所以条件①成立.从而.此时，，
故，从而为所求最大值.
【点睛】关键点点睛：灵活利用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题.
