2023-2024学年河北省石家庄重点学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.计算( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“，”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义域上的单调增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
10.对于给定实数，关于的不等式的解集可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
12.已知，均为正实数，则( )
A. 的最大值为
B. 若，则的最大值为
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：的值是______．
14.若集合，，且，则实数的取值范围为______．
15.函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是______．
16.已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ______； ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在平面直角坐标系中，角，的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合．
求集合；
设全集为，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知是自然对数的底数，．
判断函数在上的单调性并证明；
解不等式．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调减区间；
求不等式的解集．
21.本小题分
茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料茶叶、咖啡和可可之一，并将成为世纪的饮料大王中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是．
求的值；
经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到
附：参考值，
22.本小题分
对于函数，若，则称实数为函数的不动点设函数，．
若，求函数的不动点；
若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围；
若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
原式变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了幂函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
根据幂函数的单调性，以及函数奇偶性的定义，逐个判断各个选项即可．
【解答】
解：对于选项A，函数的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
对于选项B，函数，定义域为，
又因为，
所以为偶函数，
因为，所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C，函数，定义域为，
又因为，所以为偶函数，
因为，所以在上单调递减，故C正确；
对于选项D，函数，定义域为，
又因为，所以为奇函数，故D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：若，则或，
“”是“”的必要而不充分条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
可以根据指数函数和对数函数的单调性得出，然后即可得出，，的大小关系．
【解答】
解：，，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：函数的定义域为：或，是增函数，
，开口向上，对称轴是轴，
时，二次函数是增函数，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为．
故选：．
求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
本题考查复合函数的单调性的求法，忽视函数的定义域是易错点，考查计算能力．
7.【答案】
【解析】解：函数是定义域上的单调增函数，
可得，
解得：．
故选：．
利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可．
本题考查分段函数的单调性的应用，指数函数以及对数函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以．
设函数，则函数在单调递增，且．
当时，不等式等价于，即，
即，解得，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，不等式无解．
因为是定义在上的奇函数，所以，
的定义域为，
又，
故为偶函数，且在单调递减，
当时，不等式等价于，即，
因为，故，解得，
综上，不等式的解集为．
故选：．
先变形得到，令，得到在单调递增，结合，得到，再结合函数的奇偶性和单调性得到，从而求出答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式的解法，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由题意，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确．
故选：．
利用诱导公式即可判断；利用二倍角公式即可判断；利用诱导公式即可判断；利用诱导公式以及两角和的正弦公式即可判断．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，不等式化为，，解集为，
当时，不等式整理得，解集为，
当时，不等式化为，解得，即解集为，
当时，不等式化为，
当时，或，解集为或，
当时，或，解集为或，
故选：．
根据的大小分类讨论．
本题考查的知识要点：不等式的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由图可知，函数的最小正周期为，则，
又因为，
因为，则，
所以，，
则，故A正确；
由于：，故函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，故B错误；
由于：，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确；
由于：，所以，的最小值为，故D正确．
故选：．
由函数图象可得，可求范围，进而可求，即可判断；利用三角函数图象变换可判断选项：利用正弦型函数的对称性可判断选项；利用正弦型函数的周期性可判断选项．
本题考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，故A正确；
对于选项B，因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，
故的最小值为，故B不正确；
对于选项C，因为，所以，
当且仅当且，即，时，等号成立，
故的最小值为，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
所以，
令，则上式，
当时，取得最大值为，
所以，
故的最小值为，故D正确．
故选：．
对于选项A，直接利用基本不等式即可得出所求的答案；对于选项B，由，当且仅当时等号成立即可得出所求的答案；对于选项C，灵活运用“”替换并结合基本不等式即可得出所求的答案；对于选项D，将所求的式子化简为，然后令，并结合二次函数的性质即可得出所求的答案．
本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数式、指数式化简求值，考查计算能力，属于基础题．
利用指数，对数的运算法则求解．
【解答】
解：
，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：由，得，解得，即，
因为，且，
所以，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
根据指数函数单调性和分式不等式的解法可求得集合，根据并集结果可确定的取值范围．
本题主要考查指数不等式的解法，集合并集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，则函数的零点为，，
所以函数在轴右侧的四个零点分别是，，，，
函数在上有且仅有个零点，
所以，解得．
故答案为：．
求出函数的零点，根据范围列不等式组即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，且，
所以函数关于中心对称，所以；
又因为的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，
即有，
又因为，
所以，
在中，令，则有，
所以；
由可得，，
所以，，，
所以．
故答案为：；．
在中令，即可得第一空答案；由题意可知的图象关于直线对称，即有，从而得，代入即可得第二空答案．
本题考查了抽象函数对称性及用赋值法求抽象函数值，属于中档题．
17.【答案】解：因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，所以．
因为，所以．
所以．
因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，所以．
因为，所以，
故．
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得的值．
由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：因为不等式的解集为，
则和是方程的两根，
所以，解得，
所以不等式为不等式，
解得，即集合．
因为是成立的必要条件，所以．
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是．
【解析】由题意得和是方程的两根，代入求得，，化简所求不等式，求解即可；
将是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了充分必要条件与集合包含关系的转化，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：函数在上单调递增，
证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，，且，
所以，
所以，，，
故，
即，
所以在上单调递增．
函数的定义域为，且，
所以是偶函数，
又由知在上单调递增，
则在上单调递减，
所以，
两边平方可得，
解得或，
故不等式的解集为．
【解析】利用函数单调性的定义证明；
首先证明函数是偶函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性解不等式．
本题考查了函数的性质，重点考查了导数的应用，属中档题．
20.【答案】解：因为，
所以函数的最小正周期，
令，，解得，，
可得函数的单调减区间为，；
由题意可得，
则，，
解得，，即不等式的解集为．
【解析】利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，进而利用正弦函数的周期性和单调性即可求解．
由题意可得，进而利用正弦函数的图象和性质即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．
21.【答案】解：根据题意，当，，，，
代入公式，整理得：，
解得：．
假设自然冷却大约时间能达到最佳饮用口感，
则有：，代入，
得：，
所以刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置后才能达到最佳饮用口感．
【解析】根据题意列出等量关系式，求解即可；
代入得然后结合，求解时间．
本题考查了函数在解决实际问题的应用，属于中档题．
22.【答案】解：当时，方程可化为，解得或；
所以，函数的不动点为和．
方程，即，可化为．
令，则当时，关于单调递增，且．
由题意，关于的方程在上有两个不等实根．
由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且．
所以，．
综上，实数的取值范围为．
不等式可化为
易知，函数在上最大值为，最小值为；
由题意，，，即．
上述不等式可化为．
令，则当时，．
由题意，，不等式恒成立．
函数在上单调递增，最大值为；
函数在上单调递减，最小值为．
所以，，即．
综上，实数的取值范围为．
【解析】本题考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于难题．
直接根据定义解方程即可；
将方程分离参数化为，利用换元法结合对勾函数的单调性计算即可；
不等式，利用指数函数的单调性得出，，再分离参数并换元结合函数的单调性计算即可．
第1页，共1页
