2023年高一年级调研检测
数学试题
2023.02
本试题卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（ ）
A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元
5．函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数为函数的反函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，，则（ ）
A．S的最大值是 B．S的最大值是
C．S的最大值是 D．S的最大值是
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的最小正周期为π，则（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．函数在上单调递减
D．直线是图象的一条对称轴
11．若实数a，b满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，函数与的图象关于y轴对称，则（ ）
A．存在实数a，使函数的图象存在对称中心
B．对任意实数a，函数值域均为R
C．存在实数a和k，使函数不存在零点
D．对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数在区间上单调递减
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为 ．
14．写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
①；②在R上为增函数．
15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若锐角x的终边与以O为圆心的单位圆交于点M，点M关于x轴的对称点为N，MN的中点为P，点，记的面积为S．
（1） （用x表示）；
（2）已知圆内接三角形中等边三角形面积最大，则的最大值为 ．
16．已知函数，，，且，若对任意，，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求；
(2)证明：在上为增函数．
18．已知．
(1)当时，求的值；
(2)求的值．
19．已知二次函数的图象过点，不等式的解集为．
(1)求的解析式；
(2)若函数图象的顶点在函数图象上，求关于x的不等式的解集．
20．已知函数（，），记其最小正周期为T，若．
(1)求φ；
(2)从①；②两个条件中任选一个，补充在下面的横线处，并解答，若在上单调，且______，求方程在上的解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．如图所示，为增加学生劳动技术实践活动区域，学校计划将一矩形试验田扩建成一个更大的矩形试验田，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点．已米，米，设（单位：米），记矩形试验田的面积为．
(1)要使不小于64平方米，求的取值范围；
(2)若（单位：米），求的最大值及此时的长度．
22．已知函数，，．
(1)求的解析式；
(2)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此结论求函数图象的对称中心；
(3)设函数，，若对任意，恒成立，求m．
答案与解析
1．A
【分析】根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
2．C
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.
【详解】∵在定义域内单调递增，且，
∴函数的零点所在区间是.
故选：C.
3．D
【分析】根据诱导公式得即可解决.
【详解】由题知，
，
故选：D
4．D
【分析】由指数的运算得出存期的本利和，再减去本金得出所求利息.
【详解】由题意可得，则，
即存期，本利和为，
则存期，则利息为万元.
故选：D
5．A
【分析】根据函数奇偶性，结合特殊值检验即可解决.
【详解】由题知，，关于原点对称，
因为，
所以为偶函数，故C，D错误；
又当时，易知，
所以，故B错误；
故选：A
6．D
【分析】由题意可得，结合指数幂的运算求解.
【详解】由题意可得：，
故.
故选：D.
7．A
【分析】构建，根据题意分析可得在定义域内为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，分和两种情况讨论，结合函数性质解不等式.
【详解】构建，则，
故在定义域内为偶函数，
∵任意的，，满足，则在上单调递增，
故在上单调递减，
对于不等式，则有：
当时，可得，即，
∵在上单调递增，且，
∴的解集为；
当时，可得，即，
∵在上单调递减，且，
∴的解集为；
综上所述：不等式的解集为.
故选：A.
8．B
【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值.
【详解】∵，
令，
∵，，则，当且仅当，即时等号成立，
故，可得，
又∵在上单调递增，则，
∴，即S的最大值是.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据对数的运算逐项分析判断.
【详解】对A：，A正确；
对B：，B错误；
对C：，C正确；
对D：，D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【分析】根据三角函数性质逐项分析判断.
【详解】对A：由题意可得：，解得，A正确；
故，
对B：，故函数为奇函数，B正确；
对C：令，解得，
故函数的递减区间为，
令，且，则函数在上单调递减，在上单调递增，C错误；
对D：为最大值，故直线是图象的一条对称轴，D正确.
故选：ABD.
11．AB
【分析】首先确定的范围，再根据换底公式，做差法，以及单调性法判断选项.
【详解】由条件可知，，或，
A.根据换底公式可知，，即，故A正确；
B.，
因为，，所以，即，故B正确；
C. ，当时，，，所以，故C错误；
D.当时，根据指数函数的单调性可知，，根据幂函数的单调性可知，所以不确定与的大小关系，
当时，根据指数函数的单调性可知，，根据幂函数的单调性可知，所以，综上可知，D错误.
故选：AB
12．ACD
【分析】由与的图象关于y轴对称，可得，进而可得解析式，借助解析式画出图象，根据图象对选项逐一判断即可.
【详解】与的图象关于y轴对称，则，
又，则，
对于A，a=0时, 图象如下：
函数为奇函数，故A正确；
对于B，如下图所示，函数的值域不为R，故B不正确；
对于C，如上图所示，存在直线与函数的图象无交点，即函数不存在零点，故C正确；
对于D，由图象可知，当时，函数在上单调递减，故D正确．
故答案为；ACD.
13．
【分析】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域.
【详解】函数的定义域需满足，解得：且，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14．（答案不唯一）
【分析】根据指数函数的性质，判断函数的解析式.
【详解】指数函数满足，且，时，函数单调递增，
所以满足条件的一个函数.
故答案为：（答案不唯一）
15．
【分析】利用数形结合，结合三角函数表示边长，即可求的面积；由已知条件得，圆内接三角形的面积最大.
【详解】设，，由条件可知轴，垂足为点，
，，
；
，
因为圆内接三角形中等边三角形面积最大，此时，
所以当取得最大值.
故答案为：；
16．2020
【分析】根据题意赋值求，总结猜想并验证得：当或时，，当时，，即可求结果.
【详解】∵，
令，则，
注意到，且，则，且能满足，
令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
猜想：当或时，，当时，，
验证：当时，则成立；
当时，则成立；
当时，则成立；
综上所述：当或时，，当时，.
∵，故.
故答案为：2020.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，再代入检验即可；
（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，此时，
所以，符合题意，
所以.
（2）证明：由（1）知，
设且，则
，
因为且，所以，，，
所以，即，所以在上为增函数.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系，求解，再求解方程组，利用即可求解；
（2）利用平方差公式化简分母，再根据齐次分式形式，将分式转化为正切，即可化简求值.
【详解】（1）因为，
得，因为，所以，
，因为，
所以，得，解得：，，
；
（2）
，
由（1）可得，
所以原式.
19．(1)
(2)详见解析
【分析】（1）首先设二次函数的两根式，再代入点，即可求解；
（2）首先求二次函数的顶点坐标，代入函数后，整理不等式，讨论后，求不等式的解集.
【详解】（1）因为的解集为，
所以设，因为，所以，
所以；
（2）由（1）可知，
函数的顶点在的图象上，
则，则，，
所以，
所以，
整理为：，即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为,
当且时，不等式的解集为.
20．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由得到，解方程即得解；
（2）先求出的表达式，再利用函数的单调性求出的值，再利用三角函数的图象解方程得解.
【详解】（1）由题得.
因为，所以.
因为，所以.
（2）由（1）得.
如果选择①，则，
. 所以.
因为.
假设函数在上单调递增，
令,所以.
所以
因为，，所以
所以.
同理当函数在上单调递减，此时无解.
,所以，
所以或.
所以或，
因为
如果选择②，则函数的图象关于点对称.
所以,所以.
假设函数在上单调递增，同理
所以.
同理当函数在上单调递减，此时无解.
,所以，
所以或.
所以或，
因为
21．(1)
(2)的最大值为（平方米），此时的长度为米
【分析】（1）根据三角形相似，矩形的长和宽用表示出，即可得矩形面积是关于的方程，列不等式求解，即可得的取值范围；
（2）根据函数，利用分式性质变形转化为二次函数复合结构，结合二次函数与反比例函数的性质，即可求得的取值范围，从而得最大值及此时的长度．
【详解】（1）由题意可知，则，
故，要使S不小于64平方米，
则，且，解得或，即x的取值范围为.
（2）因为，令，由于，所以，
则，所以
即当时，取到最大值，则的最大值为（平方米），此时的长度为米.
22．(1)
(2)函数的图象关于点成中心对称图形；
(3)
【分析】(1)利用关系，列方程求即可得函数的解析式；
(2)化简函数解析式可得，证明根为奇函数，根据所给结论确定对称中心；
(3)由(2)判断函数的单调性，再判断函数的单调性，由条件可得，在上恒成立，令，可得
在上恒成立，
方法一：讨论求函数的最小值，列不等式求，
方法二，取求在上恒成立的必要条件，再验证该条件也为充分条件即可.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
所以，
所以，
（2）因为，
所以，
所以
因为，
所以
因为，
所以函数为奇函数，
又函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是
函数为奇函数，
所以函数的图象关于点成中心对称图形；
（3）因为，
所以函数在上为减函数，
所以函数在上为减函数，
有意义可得且，
由可得，
当时，因为，所以不等式恒成立，
当时，不等式可化为，满足条件的不存在，
所以函数的定义域为，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
又，
所以当时，，
当时，，
当时，，
因为对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
所以在上恒成立，
所以，其中，
方法一：当时，不等式可化为，
，矛盾，故，
函数可化为，
当时， 函数在单调递增，
所以，所以，矛盾，
当时， 所以函数在单调递增，在单调递减，
若，即时，
当时，函数取最小值，最小值为；
所以，所以，故，
若，即时，
当时，函数取最小值，最小值为，
，所以，矛盾，
若，即时，
当时，函数取最小值，最小值为，
，所以，矛盾，
综上，
方法二：
因为在上恒成立，
所以时，成立；且时，成立；
所以且，所以，
所以为在上恒成立的必要条件，
又时，，
当时，，
所以为在上恒成立的充分条件，
故.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立 ；
(2)恒成立 .
