【第一课】5.2.1三角函数的概念
【课标要求】
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.
2.能利用定义解决相关问题.
3.能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
4.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等.
【明确任务】
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.【数学抽象】
2.利用三角函数的定义【数学运算，直观想象】
3.会用诱导公式一解题.【数学运算】
1.角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形．
（2）分类
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2.直角三角函数的定义
在直角三角形ABC中，，
.
3.特殊角的三角函数值
角 30° 45° 60°
1
核心知识点1: 单位圆
单位圆是指平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆.
解读：单位圆的半径为1.引入单位圆，“正弦”、“余弦”、“正切”就变成了单位圆上点的坐标.
例1.利用定义求的正弦、余弦、正切值．
如图所示，设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作线段，垂足为B．
在中，∵，，∴，，∴．
∴，，．
归纳总结: 利用单位圆求任意角的三角函数的一般步骤
①作单位圆；
②过角的终边与单位圆的交点作x轴的垂线；
③确定与单位圆的交点坐标；
④利用定义求三角函数的值．
【举一反三】
1．在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则 .
核心知识点2：三角函数的定义
一般地，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合），点P与原点的距离为r（），如图①，图②所示．
那么：，，（）．
解读：（1）任意一点：三角函数值是比值，是一个实数，由相似三角形的性质可知，这个实数的大小与点P的位置无关，只由角的终边位置决定，即三角函数的大小只与角的终边位置有关．
（2）由于角的单位为弧度，角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．
例2. [山东青岛中学2023月考]已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
根据任意角三角函数正弦、余弦的定义，因为角的终边过点，所以点P到原点的距离，故．故选C.
归纳总结：三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P（x，y），设P到原点的距离为r（r>0），则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【举一反三】
（2023·山东省聊城市期中）
2．已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
核心知识点3: 三角函数值在各象限的符号
根据三角函数的定义可知：正弦函数值的符号取决于角终边上不同于顶点的点的纵坐标y的符号；余弦函数值的符号取决于角终边上不同于顶点的点的横坐标x的符号；正切函数值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
综上可知，正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号，如图所示．
解读： 第一象限中三个三角函数值均为正数；第二象限中正弦值为正数；第三象限中正切值为正数；第四象限中余弦值为正数．
反之，如果已知三角函数值的正负，也可以确定角的终边所在的位置（所在现象或终边所在坐标轴）．
例3.（2023上·云南曲靖·高一校考期末）在下列各选项中，角为第二象限角的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数值的正负判断各选项中所在象限，由此可判断出结果.
对于A：时，为第三象限或轴负半轴或第四象限角，
，为第一象限或轴正半轴或第四象限角，
故为第四象限角，故A错误；
对于B：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角，
，为第一象限或第三象限角，
故为第一象限角，故B错误；
对于C：时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角，
，为第一象限或第三象限角，
故为第三象限角，故C错误；
对于D：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角，
时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角，
故为第二象限角，故D正确；
故选：D.
归纳总结: 三角函数值在各象限的符号记忆口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．但注意该口诀仅适用于判断终边在四个象限中的角的三角函数值的符号．对于轴线角（即终边落在坐标轴上的角）的三角函数值的符号，可根据三角函数的定义进行判断．
【举一反三】
[多选题]
3．下列函数值中，符号为负的为（ ）
A． B．
C． D．
核心知识点4: 特殊角的三角函数值
角 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
角的弧度数 0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 不存在 0 不存在 0
解读：特殊角的三角函数值由三角函数的定义得到.
例4.sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝ ．
【答案】2
sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2．
归纳总结:锐角30°，45°，60°的三角函数值可有直角三角函数的定义得到.
【举一反三】
4．＝ .
核心知识点5: 公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式（公式一）：
，
，
，
其中．
解读：（1）适用范围：为任意角，k为任意整数．
（2）作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值．
由公式一可知，三角函数值具有周期性，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．这说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系，即若给定一个角，则它的三角函数值只要存在就是唯一的；反之，若给定一个三角函数值，则由无穷多个角与之对应．
（3）公式一统一概括为，，其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．
例5.求下列三角函数值：
（1）；（2）．
（1）．
（2）．
归纳总结: 利用公式一化简求值的步骤
（1）变形：将已知的任意角写成或的形式，其中或，；
（2）转化：根据公式一，转化为求角的某个三角函数值；
（3）求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
【举一反三】
5．求下列各式的值：
(1)；
(2)．
6．角的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B．
C． D．1
7．的值是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数值中，符号为负的为（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江苏·高一期末）
9．已知，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．计算 .
（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）
11．已知单位圆上一点，设以为终边的角为，求的正弦值、余弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．或
【分析】由题设结合单位圆性质求A的坐标，再根据三角函数的定义求结果.
【详解】由题意，设点A的坐标为，所以，解得或.
当时，角α在第一象限，；
当时，角α在第二象限，.
故答案为：或
2．A
【解析】直接由三角函数的定义求值．
【详解】解：∵角的终边经过点，
∴，
，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
3．CD
【分析】先判断象限，再确定符号.
【详解】∵，∴是第二象限角，则；
∵是第四象限角，∴；
∵是第二象限角，∴，∴；
∵，∴2是第二象限角，∴．
故选：CD．
4．
【分析】将特殊角的三角函数值代入化简，即可求得结果.
【详解】
故答案为：
5．（1）（2）
【分析】（1）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果；
（2）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果.
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式.
【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值问题，熟记诱导公式即可，属于常考题型.
6．B
【分析】根据题意，由三角函数的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】利用三角函数定义知．
故选：B.
7．A
【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.
【详解】解：．
故选：A．
8．CD
【分析】先判断象限，再确定符号.
【详解】∵，∴是第二象限角，则；
∵是第四象限角，∴；
∵是第二象限角，∴，∴；
∵，∴2是第二象限角，∴．
故选：CD．
9．A
【分析】利用充分必要的定义，结合三角函数的定义即可得解.
【详解】若“”，则“”必成立，即充分性成立；
但是“”，未必有“”，例如，即必要性不成立；
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A.
10．#.
【分析】根据三角函数的诱导公式，得到，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得.
故答案为：.
11．答案见解析
【分析】先根据点在单位圆上，求出；再根据任意角的三角函数的定义即可求解.
【详解】点在单位圆上，
，解得：或.
当时，．
当时，．
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答案第1页，共2页【第一练】5.2.1三角函数的概念
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会根据三角函数值的符号确定角所在的象限，培养数学抽象，直观想象，如第1题；
2.会利用三角函数的定义求已知角的三角函数值，锻炼运算能力，如第2，3题；
3.能够灵活应用公式一求角的三角函数值，培养数学运算，如第5题；
1．对于，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角为第一象限角的充要条件是 ；
（2）角为第二象限角的充要条件是 ；
（3）角为第三象限角的充要条件是 ；
（4）角为第四象限角的充要条件是 .
2．求的正弦、余弦和正切值.
3．已知角的终边过点，求角的三角函数值.
4．已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s.求2 s时点P所在的位置.
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
6．求证角为第三象限角的充要条件是
7．确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
（1）；（2）；（3）；（4）.
8．利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值.
9．设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？
10．已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求.
【易错题目】第1，3，5，6，9题.
【复盘要点】熟记三角函数的定义，角的三角函数值在各个象限的符号，注意对参数或角的范围分类讨论.
【复盘训练】
（2024·全国·高三专题练习）
11．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
12．若角的终边经过点，且，则m的值为（ ）．
A． B． C． D．4
（2023上·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）
14．如图所示，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径1）交于第二象限的点，则 ．
（2023·高一课时练习）
15．确定下列式子的符号
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16．求下列三角函数值（参考数据）
(1)
(2)
(3)
(4)
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1． ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ ②③或②⑥或③⑥或②③⑥
【解析】根据三角函数在各个象限中的符号即可填出答案
【详解】角为第一象限角的充要条件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤
角为第二象限角的充要条件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥
角为第三象限角的充要条件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤
角为第四象限角的充要条件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥
故答案为：(1). ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ (2). ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ (3). ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ (4). ②③或②⑥或③⑥或②③⑥
【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.
2．，，
【分析】求出的终边与单位圆的交点即可
【详解】在直角坐标系中，作（如图），
易知的终边与单位圆的交点坐标为.
所以，，，.
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
3．；；
【解析】先算出，然后即得，，
【详解】
所以，，
【点睛】设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，则，，.
4．P
【解析】设P点坐标为，，由和即可得出答案.
【详解】设P点坐标为，.∵，∴，
∵，∴，∴点P的坐标为.
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
5．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
（2）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
（3）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
（4）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
【详解】（1）根据三角函数定义可得
（2）根据三角函数定义可得
（3）根据三角函数定义可得
（4）根据三角函数定义可得
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值,属于基础题.
6．见解析
【解析】根据象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号证明即可
【详解】因为角为第三象限角
所以，
反过来：
由得
由得
所以
所以角为第三象限角
所以角为第三象限角的充要条件是
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
7．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】判断出每个角所在的象限即可
【详解】（1）因为是第三象限角，所以；
（2）因为是第四象限角，所以；
（3）因为，而是第一象限角，所以；
（4）因为，而的终边在x轴上，所以.
【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.
8．；；.；；不存在；
；；.；；不存在.
【解析】分别找出角0，，，与单位圆的交点即可
【详解】因为0的终边与单位圆的交点是
所以；；
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；不存在；
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；.
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；不存在.
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
9．和有可能取负值
【分析】直接根据角所在象限确定正负值.
【详解】当是钝角时，和取负值，
当时，，此时和均为正值.
即是三角形的一个内角时，和有可能取负值.
10．见解析
【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解.
【详解】r＝＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝；
当a＜0时，r＝－5a，
∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos=, tan= .
11．D
【分析】根据三角函数的定义，可得答案.
【详解】由题意得．
故选：D.
12．C
【分析】利用余弦函数的定义列式求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以，解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数的基本定义，属于基础题.
13．A
【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得成立，即充分性成立；
反正：若，可得或，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
14．##
【分析】由三角函数的定义可得答案.
【详解】由三角函数定义可知．
故答案为：
15．（1）正；（2）负；（3）负；（4）正
【解析】根据角所在的象限,判断三角函数的符号,即可判断各自的符号.
【详解】（1）
∴原式为正；
（2）
∴原式为负；
（3）
∴原式为负；
（4）
∴原式为正.
【点睛】本题考查了三角函数在四个象限的符号判断,属于基础题.
16．(1)
(2)
(3)
(4)1
【分析】利用诱导公式化简，结合和特殊角的三角函数值，求出答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）.
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答案第1页，共2页
