【第二课】4.5.1函数的零点与方程的解 4.5.2用二分法求方程的近似解
题型一: 求函数的零点
例1. 函数的所有零点组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
令，则当时，由得；
当时，由得．因而的所有零点组成的集合为．
【答案】C
【方法总结】求函数零点的方法：（1）可通过解对应方程，求其实数解；（2）可通过作函数图象，利用数形结合求交点的横坐标；（3）分段函数的零点，需要逐段分别求解．无论哪种方法，都需要注意零点存在定理的条件与函数的定义域．
【变式训练1-1】
[河南信阳高级中学2023高一月考]
1．已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式训练1-2】
2．已知表示，两个数中较小一个，则函数的零点是（ ）
A．， B．，，，
C．， D．，，，
题型二: 判断零点所在的区间
例2. 函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】先判断出函数的单调性，结合零点存在定理即可判断出零点所在区间．
函数在R上单调递增．
因为，，
所以，所以函数的零点在区间内．故选C．
【答案】C
【方法总结】确定零点所在区间的方法：（1）利用函数零点存在定理，列不等式求解；（2）画出函数图象，利用数形结合，计算某些函数值，确定符号进而求解．
【变式训练2-1】
3．函数的零点所在区间是
A． B．（0,1） C．(1,2) D．（2,3）
【变式训练2-2】
[安徽宣城中学2022高一月考]
4．关于的方程的实数解为 ，则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
题型三:函数零点个数的判断
例3.函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
函数的定义域为，
零点个数即为函数与的图象在内的交点个数．
在同一坐标系内画出与的图象如图所示．
由图象易得两函数图象在内有两个交点，
则函数在定义域内的零点个数为2．故选C．
【答案】C
【方法总结】确定零点个数，可通过解方程求出实数根，也可通过函数图象与x轴的公共点个数或两个函数图象的交点个数来确定．
【变式训练3-1】
（多选）[河北石家庄正中实验中学2022高一期中]
5．已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．方程有且只有6个不同的解 B．方程有且只有3个不同的解
C．方程有且只有5个不同的解 D．方程有且只有4个不同的解
【变式训练3-2】
6．函数的零点的个数为 .
题型四: 根据零点个数求参数范围
例4.（多选）[天津南开区2022高一期中]若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【思路分析】对a分类讨论，利用数形结合分析得解．
（1）当时，作出函数的图象如图①所示，由题得，所以，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，作出函数的图象如图②所示，由题得，，因为，所以．故选AB．
【答案】AB
【方法总结】由函数零点或零点个数求参数范围问题的方法：若方程可解，则通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的位置关系进行求解，这样会使问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
【变式训练4-1】
[广东广州2023高一期末]
7．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．0
【变式训练4-2】
8．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式训练4-3】
（多选）[河南濮阳一中2023高一期中]
9．已知函数，函数，其中，若函数恰有2个零点，则b的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式训练4-4】
10．已知其中，若方程在上有4个不同的根，则的取值范围为 .
题型五:用二分法求方程的近似解
例5.用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下表：
则函数的一个零点的近似值为______（精确度为0.01）．
运用二分法，可知零点在区间内，且其区间长度小于0.01，因而可取1.5625为函数的一个零点近似值．
【答案】1.56
【方法总结】用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、区间中点、区间中点的函数值等列在一个表格中．若已经给出表格，则可直接根据精确度要求进行判断．
【变式训练5-1】
[江西新余2022高一期末]
11．若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
【变式训练5-2】
12．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617
－6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088
要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76
【变式训练5-3】
[山东淄博2023高一期末]
13．已知函数在内有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，则对区间至少需要的等分次数为 ．
题型六:二分法的实际应用
例6.（2023上·山西吕梁·高一校联考阶段练习）一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（ ）
A．4次 B．6次 C．7次 D．50次
【答案】C
【分析】由题意，根据二分法的思想，即可得出结论.
【详解】第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二分法；
第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中继续二分法；
第三次，可去掉12或13个结果，考虑至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中继续二分法；
第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；
第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第七次，可去掉1个结果，得到最终结果.
所以最多需要检测7次.
故选：C
【方法总结】
解答这类实际问题的关键在于二分法的思想及其应用的实质，根据实际情况加以判断和总结．巧妙取中间，巧妙分析和缩小故障的区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的.
【变式训练6-1】
（2023上·高一课时练习）
14．一块电路板的线段之间有个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A．次 B．次
C．次 D．次
【变式训练6-2】
（2023上·高一课时练习）
15．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量稍轻），现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
【变式训练6-3】
16．某电视台有一档娱乐节目，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标．某次节目中要猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了，851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
易错点1 忽视函数类型讨论
例1 已知函数至少有一个零点为正，求实数m的取值范围．
【错解】当时，函数图象开口向下，且，即图象恒过点，因而图象与x轴的公共点恰好一个在原点右侧，一个在原点左侧，即与x轴公共点的横坐标一正一负，符合题意．
当时，函数图象开口向上，且，
因而解得．
综上，实数m的取值范围为．
【错因分析】已知条件中，并没有说明函数一定是二次函数，因而忽视了讨论二次项系数的情况．
【正解】①当时，，零点为，符合题意．
②当时，函数图象开口向下，且，即图象恒过点，因而图象与x轴的公共点恰好一个在原点右侧，一个在原点左侧，即与x轴公共点的横坐标一正一负，符合题意．
③当时，函数图象开口向上，且，
因而解得．
综上，实数m的取值范围为．
易错警示 函数零点问题与函数类型有关，含参数时要考虑是否需要对参数进行分类讨论，特别是二次函数类型．当二次项系数含参数时，对二次项系数是否为0的讨论非常关键．
针对训练1-1:
17．已知函数 ，则“”是“函数在区间上存在零点”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
针对训练1-2:
18．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
易错点2 忽视函数定义域
例2 函数的零点为______．
【错解】由，得；由，得或．
所以函数的零点为，0，2．
【错因分析】不在分段函数第一段函数自变量范围内，因而此段上函数无零点，且也不在第二段函数自变量范围内，则函数零点只有1个，为．
【正解】当时，由，得（舍去）；
当时，由，得（舍去）或，
所以函数的零点为．
【答案】
易错警示 函数只在定义域内有定义，所以求函数的零点时，当通过解方程得到实数根后，一定要检验根是否在函数定义域内．
针对训练2-1:
19．函数的零点为 ．
针对训练2-2
20．函数的零点为 ．
易错点3 忽视函数零点存在定理的条件
例3 判断函数在区间内是否存在零点．
【错解】∵，，
∴，∴在区间内有零点．
【错因分析】运用函数零点存在定理时，没注意到函数图象在区间上是间断的，直接运用判断有零点而产生错误．
【正解】作出函数的图象，如图所示，由图知在区间内无零点．
易错警示 运用函数零点存在定理判断函数零点问题一定要特别关注函数图象在区间上是否连续．
针对训练3-1:
[北京北大附中2023高一期末]
21．函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
针对训练3-2:
22．设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用换元法，根据函数的单调性列方程，求得的表达式，进而求得的零点.
【详解】根据题意，对任意，都有，
即．
因为是定义在上的单调函数，所以为定值，
令，，则，
由，得，，
在上单调递增，所以是唯一解，
则．
由得，即函数的零点为．
故选：A
2．B
【分析】分和两种情况令即可求出.
【详解】当，可解得或，
此时，解得，满足，
当时，可解得或，
此时，解得，满足，
综上，的零点是，，，.
故选：B.
3．C
【分析】利用零点存在定理分别计算得到答案.
【详解】
则，故在上有零点.
故答案选C
【点睛】本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力.
4．C
【分析】根据方程的根与函数零点的关系以及零点存在性定理即可解出．
【详解】设，所以方程的实数解即为函数的零点，易知函数在上单调递增，而，，，即有，故所在的区间是．
故选：C．
5．ACD
【分析】令，结合图象可得有3个不同的解，，，不妨设，则可知，，，令，结合图象可得有2个不同的解，，不妨设，则可知，，再数形结合求出复合函数的解的个数.
【详解】A选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，，
不妨设，则可知，，，
由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，有2个不同的解，
即有6个不同的解，A正确；
B选项，令，结合图象可得有2个不同的解，，
不妨设，则可知，，
由图可知有1个解，有3个不同的解，
即有4个不同的解，B错误；
C选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，
且，，，
由图可知有1个解，有3个不同的解，有1个解，
即有5个不同的解，C正确；
D选项，令，结合图象可得有两个不同的解，
不妨设，则可知，，
由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，
即有4个不同的解，D正确．
故选：ACD．
6．
【分析】函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解.
【详解】由题意，
即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像
数形结合可知，两个函数有3个交点
故函数的零点的个数是3
故答案为：3
7．C
【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程的一根，求出的值，即可得解.
【详解】令，作出函数的大致图象，
当时，，
故函数的图象关于直线对称，
因为关于的方程恰有个不同的实数根，
则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，
设方程的两根分别为、，且，则，
所以，，，
因此，.
故选：C.
8．D
【解析】依题意画出函数图象，函数的零点，转化为函数与函数的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，画出函数图象如下所示，
函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图象可得或，
故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
9．BD
【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】∵，
∴ ，
∵函数恰好有两个零点，
∴方程有两个解，即有两个解，
即函数与的图象有两个交点，
，
作函数与的图象如下，
当和，即 ，
结合图象可知，当时，有不止两个交点，
当或时，满足函数与的图象有两个交点，
当时，无交点，
综上，或时满足题意，
故选：BD.
10．
【分析】由时函数的周期为2，作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】由函数的解析式可知，当时函数的周期为2，
作出函数的图象得，
因为方程在上有4个不同的根，
由图象知
解得.
故答案为：
11．B
【分析】由零点存在性定理和二分法求解近似根.
【详解】由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可.
故选：B
12．D
【分析】结合精度要求根据二分法确定细分区间．
【详解】由表格数据，零点区间变化如下：，此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取．
故选：D．
13．4
【分析】根据二分法的知识进行分析，根据精确度来求得正确答案.
【详解】设函数的零点为，取区间的中点，
且，，，
所以．
取区间的中点，且，
所以．
取区间的中点，且，
所以．
取区间的中点，且，
所以．
又，故至少需要等分4次．
故答案为：
14．B
【分析】利用二分法可得出结果.
【详解】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要次检测，则，
即，因为，故的最小值为，即至少需要检测次.
故选：B.
15．最多称四次
【分析】利用二分法的思想求解即可
【详解】第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；
第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，则较轻的一端是出假币；若平衡，则剩余的是假币．
所以最多称四次．
16．答案见解析
【分析】本题是一道合情推理的题目，解答本题的关键是掌握利用二分法的知识进行解答.
【详解】取价格区间[500,1 000]的中间数750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中间数875；
否则取另一个区间[500,750]的中间数．
若遇到小数，则取整数，
按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次就可以猜中价格．
17．C
【分析】先将函数的零点问题转化成两个函数图象交点的问题，再判断充分必要性．
【详解】＝0，得：，设函数，
当时，如下图，函数有交点，所以，在区间上存在零点，充分性成立．
（2）当在区间上存在零点时，
如果＝0，函数在上无交点
如果＞0，函数在上图象在第一象限，的图象在第四象限，无交点
所以，还是＜0，必要性成立，
所以是充分必要条件，选C．
【点睛】本题考查了函数的零点及充分必要条件，考查数形结合思想，属中档题．
18．
【分析】易知不合题意；当时，由可求得结果.
【详解】当时，方程为：，则方程有唯一解，不合题意；
当时，由方程有两个不等实根得：，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
19．2
【分析】先求定义域，再解方程，求出零点.
【详解】，解得，
由得，
则，即，解得或（舍去）．
故函数的零点为2．
故答案为：2
20．3，
【分析】根据零点的定义结合函数的定义域即得.
【详解】由得或，
即或或．
由得或，则不合题意，故函数的零点为3，．
故答案为：3，-1
21．B
【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.
【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的，
由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点，
即由函数在区间上没有零点，可得，
而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点，
所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.
故选：B.
22．D
【分析】根据零点存在性定理及函数的单调性判断即可.
【详解】解：因为在区间上连续的单调函数，且，
所以函数的图象在内与轴只有一个交点，即方程在内只有一个实根．
故选：D
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二练】4.5.1函数的零点与方程的解 4.5.2用二分法求方程的近似解
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.会求函数零点的个数或方程的解，培养数学运算，如第1题.
2.会用二分法判断函数的零点所在的区间，锻炼运算求解能力，如第7题.
3.能够根据函数零点的个数求参数的取值范围，培养直观想象，数学运算，如第8，9题.
4.能利用二分法求方程的近似解和解决实际问题，锻炼逻辑推理能力，如第10，12题.
（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）
1．函数零点的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·浙江杭州·高一校联考阶段练习）
3．设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（ ）
A． B． C． D．
（2023上·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）
4．设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·重庆·高一重庆市潼南中学校校联考阶段练习）
5．若为函数的零点，则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·全国·高三专题练习）
6．设函数，则函数（ ）
A．在区间，内均有一个零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有一个零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有一个零点
（2023上·吉林白山·高一抚松县第一中学校考阶段练习）
7．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且对应值如下表.
2 3 4 5 6 7 8
112.11 56.88 -12.96 10.98 -35.32 -57.24 -99.15
则在下列区间内一定有零点的是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江苏徐州·高一统考期中）
8．已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 .
（2023上·河南郑州·高一校联考期中）
9．已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是 ．
（2023上·湖南岳阳·高一校联考阶段练习）
10．用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：
则精度为0.1的条件下方程的一个近似根为 .
（2023上·福建福州·高一校考阶段练习）
11．已知函数有两个零点且均比大，实数的取值范围是 ．
12．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
（2023上·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）
13．已知指数函数（，且）的图象过点.
(1)求的解析式：
(2)若函数，且在区间上有零点，求实数m的取值范围.
【易错题目】第2，6，9，10，12，13题.
【复盘要点】
对于形式较复杂的函数零点问题，注意分类讨论思想、数形结合思想的应用，
典例 （多选题）（2023上·高一期中）设，则下列选项中正确的有（ ）
A．若有两个不同的实数解，则
B．若有三个不同的实数解，则
C．的解集是
D．的解集是
【答案】BC
【分析】根据函数解析式画出函数图象，再数形结合即可判断.
因为，
当时，令，解得，令，
即，解得或，
令，即，解得；
当时，显然，令，即，解得，
令，即，解得；
所以的图象如下所示：
对于A：若有两个不同的实数解，即与的图象有两个交点，
由图可知，即，故A错误；
对于B：若有三个不同的实数解，即与的图象有三个交点，
由图可知，即，故B正确；
对于C：由图可得的解集是，故C正确；
对于D：令，则不等式，即，
则，即，
当时解得，
当时由图可得或，
综上可得的解集是，故D错误；
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合判断，对于选项D中的复合不等式，经常采用换元法，结合图象可解决.
【复盘训练】
（2022上·四川遂宁·高一校考期末）
14．函数，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，，则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山东淄博·高一高青县第一中学校考阶段练习）
15．已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．或
（2023上·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考假期作业）
16．方程有解，则的取值范围是 .
（2023上·浙江杭州·高一校联考阶段练习）
17．已知在上有两实根，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习）
18．已知函数．当k的范围为 时，方程时有三解
（2023上·江苏·高一专题练习）
19．用二分法求在内的近似解（精确到）．参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 1.5 1.625 1.75
2x 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递减，
，
，所以零点所在的区间是,所以该函数只有一个零点.
故选：B
2．C
【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可.
【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且，
即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，
因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
故选：C.
3．A
【分析】根据题意，求得，得到，结合零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由函数，且，可得，
所以，根据零点的存在性定理，
可得方程的近似解落在区间为.
故选：A.
4．B
【分析】由题意，设函数，把函数的零点问题转化为，有3个交点，作出函数的图像，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，设函数，令，即，
所以问题转化为，有3个交点；
在坐标系内，作出函数的图像如下所示，
结合图象可知，，故实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，以及函数图象的应用问题，其中解答中把函数的零点问题转化为，有3个交点，作出函数的图像，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
5．B
【分析】判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可判断出答案.
【详解】由于在上均单调递增，
故在上单调递增，
又，，
，，
故在上有唯一零点，即，
故选：B
6．D
【分析】先确定函数单调性，然后利用零点存在定理判断零点位置.
【详解】当时，函数图象连续不断，且，
所以函数在上单调递减.
又
所以函数有唯一的零点在区间内.
故选：D
7．BCD
【分析】根据条件，由零点存在性原理即可求出结果.
【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线，
且，
所以根据零点存在性定理可得在区间内一定存在零点，
故选：BCD.
8．
【分析】根据函数零点分布结合函数图象列不等式求解即可.
【详解】函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，
又，则，函数的示意图如下：
或
所以或，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
9．0
【分析】根据解析式分析的单调性并画出大致图象，将问题化为与仅有一个交点，数形结合求参数值.
【详解】由函数解析式，在上递减，、上递增，且在处连续，
所以大致图象如下，
由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点，
由图知：.
故答案为：0
10．0.625（答案不唯一，在范围内即可）
【分析】确定函数单调递增，根据，得到答案.
【详解】在上单调递增，根据题意，，
，满足精度要求.
故答案为：.
11．
【分析】利用二次函数零点的分布列式即可得解.
【详解】因为有两个零点且均比大，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
12．答案见解析
【分析】先在天平左右各放球，然后根据出现的情况进行分类讨论，从而确定“坏球”.
【详解】第一次，天平左右各4球．有两种情况：
（1）若平，则“坏球”在剩下的4球中，第二次，取此4球中的3球为一边，取3个好球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏球”为4球中未取到的那个球．将此球与1个好球放上天平一称，即知“坏球”是轻还是重．
②若不平，则“坏球”在一边3球之中，且知是轻还是重．从含坏球的三球中任取其中2球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
（2）若不平，则“坏球”在天平上的8球中，不妨设右边重．
从右边4球中取出3球，置于一容器内，然后从左边4球中取3球移入右边，再从外面好球中取3个补入左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3球之一且偏重．
②若左边重，“坏球”已从一边换到另一边．因此，“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一，并且偏轻．
③若右边重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个（左右各一），“坏球”是其中之一（暂不知是轻还是重）．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
13．(1)；
(2).
【分析】（1）根据指数函数的概念直接求出参数即可；
（2）由（1）可得，令，利用换元法可知在上有解，分类参数可得，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意，的图象过点，
∴，解得，
故函数的解析式为；
（2）∵，
∴，
令，由于，则，
∴，，
函数在上有零点，等价于方程在上有解，
∴，，当且仅当即时等号成立，
∴，即，
故实数m的取值范围为.
14．C
【分析】根据零点存在性定理求得正确答案.
【详解】，函数在上单调递增，
由，所以零点在区间内，
由，所以零点在区间内.
故选：C
15．D
【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数m的取值范围即可.
【详解】因为方程有两个不等正实根，设两根为，
则等价于函数有两个不相等且大于0的零点，
所以或，
故选：D
16．
【分析】根据题意，令，得，利用基本不等式即可求解.
【详解】方程有解等价于方程有解.
令，则.
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
故时，方程有解.
故答案为：.
17．CD
【分析】根据给定条件，设出方程的两个实根，并表示及，再用基本不等式求出范围即可.
【详解】设方程的两个实根为，则，显然，
此时，即方程有两个实根，
因此
，当且仅当时取等号，显然，即，
所以的值可能为，，即AB错误，CD正确.
故选：CD
18．
【分析】先画出函数，在方程的解，即是对应的两个函数的交点即可求解.
【详解】因为函数，当时，即与有三个交点即可.则得到.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
函数的零点求法：
函数与轴交点的横坐标即为函数的零点，
在计算题目时，函数的零点即可以是对应方程的零点，
也可以是等号两边的函数交点.
19．
【分析】根据题意，结合二分法的计算步骤，逐次计算，即可求解.
【详解】令，则，
区间 区间中点值 的值及符号
因为与精确到的近似值都为，
所以在内的近似解可取为．
答案第1页，共2页
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