第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试
一、单选题
1．已知定义在上的函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
3．定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．e B． C． D．
4．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数满足，则满足条件的的最小值为（ ）
A．1 B．e C． D．
6．若函数在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲线的一条切线在轴上的截距为2，则这条切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则等于（ ）
A． B．3 C． D．6
二、多选题
9．方程的根为，的根为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知a>b>0，a+b=1．则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．a+sinb<1 D．b+lna>0
11．已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于点中心对称
12．已知函数，则（ ）
A．当时，
B．，方程有实根
C．方程有3个不同实根的一个必要不充分条件是“”
D．若，且方程有1个实根，方程有2个实根，则
三、填空题
13．过点（1，1）作曲线的切线，那么该点处的切线方程为 .
14．已知函数（）在处有极大值，则实数的值为 ．
15．已知函数，则函数在处的切线方程为 ．
16．曲线：在点处的切线方程为
四、解答题
17．化简并求值：
(1)
(2)
(3)(求导)
(4)（求导）
18．已知函数．
(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；
(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知函数的图像与轴相切，．
(1)求证：；
(2)若，求证：
20．已知.
(1)若，求的极值；
(2)若，，，且，其中，，求证：.
21．工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量满足函数关系式：，已知每日的利润，且当时．
(1)求的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
22．现有一批货物从A港运往B港，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，全程的航行距离约为600海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成.轮船每小时使用的燃料费用（元）与轮船速度（海里/小时）的平方成正比.已知当轮船速度为20海里/小时，轮船每小时使用的燃料费用320元，其余费用为每小时720元.
(1)把全程的运输成本元表示为速度（海里/小时）的函数；
(2)为了使全程的运输成本最小，轮船的航行速度是多少？
参考答案：
1．B
【解析】根据基本等式求出最小值，不等式转化为解不等式，构造函数，由条件可得，转化为与相关的函数，通过求导可得，即在是减函数，即可解不等式.
【详解】，
当且仅当时，等号成立.
所求不等式转化为，设，
，
，
得，
设，
令，当时，，
当时，时取得极大值，
即为最大值为，
在是减函数，等价于，
.
故选:B
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键是构造函数，利用导数研究函数的单调性，属于难题.
2．B
【分析】求出后可求.
【详解】，故，
故选：B．
3．C
【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，.两条切线重合，即可得出有唯一实根.构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.
【详解】设直线与的切点为，
因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，
即该直线的方程为，即.
设直线与的切点为，
因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，
即该直线的方程为，即.
因为函数和有且只有一条公切线，
所以有，
即有唯一实根.
令，则.
解，可得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以在处取得最大值.
当时，，，函数图象如图所示，
因为，有唯一实根，所以只有.
故选：C
4．C
【解析】根据幂函数、知识函数的图象与性质可判断A，B，D的单调性，然后利用导数判断C选项的增减性．
【详解】对于A选项，函数为偶函数，在上递增，在上递减；
对于B选项，函数在上递减；
对于C选项，在上恒成立，则函数在其定义域上递增；
对于D选项，函数在上递减.
故选：C．
5．B
【分析】同构函数，运用导数研究其单调性可得，进而可得，运用导数研究其在上的最小值即可.
【详解】因为，
所以，
所以，即：，（，，），
设，（），则，
所以，（），
所以在上单调递增，
所以，即：，，
令，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故y的最小值为.
故选：B.
【点睛】同构法的三种基本模式方法点睛：
①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；
②比商型，如可以同构成，进而构造函数；
③和差型，如，同构后可以构造函数或.
6．B
【分析】先利用导数的几何意义求得, 再计算
【详解】依题意, , 所以,所以
所以
故选：B.
7．D
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，将点代入求出的值，进而得切线方程.
【详解】函数的定义域为，设切点坐标为，
因为，则切线斜率为，
所以切线方程为，
将点代入切线方程并整理得，解得，或（舍去），
所以这条切线的方程为，即．
故选：D．
8．D
【详解】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：D．
9．BD
【分析】观察两个函数的解析式易发现与和函数的交点，即为函数和的零点，作出函数图象即可判断选项A；通过构造函数，再利用其单调性来构造相关的不等式，可以判断选项B；利用基本不等式的相关性质可判断选项C；构造函数，利用其单调性和的取值范围进行分析求解，即可判断选项D.
【详解】令，，
则函数与和函数的交点，
即为函数和的零点，
作出函数、、、的图象如下所示，
选项A，因为点关于点对称，且，
又因为，所以，且，故A错误；
选项B，因为，由零点存在性定理可知，
记，则，
故当时，，所以在上单调递增，
因为，所以，
即，即，
又，故，故B正确；
选项C，因为点关于点对称，且，
又因为，所以，
由基本不等式可得，
而，所以，故C错误；
选项D，记，则，
，则，
由，易知在单调递增，
故，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了对数函数、指数函数图象和性质的应用，解题的关键是转化为、、函数的交点，利用导数研究函数，综合性比较强，对于学生的化归与转化能力、构造函数的能力以及计算能力都有很高的要求.
10．BC
【分析】由已知条件可得，，对于A，，再利用二次函数的性质判断即可，对于B，利用基本不等式判断即可，对于C，设，利用导数判断函数单调性可得答案，对于D，设，利用导数判断函数单调性可得答案
【详解】解：因为，，所以，，
对于A：，当，即时，有最大值，而，取不到最值，A错
对于B：，当且仅当，即当时取等号，所以B正确
对于C：因为，所以，所以，设，，则，
所以在上递减，所以，所以，故C正确，
对于D：设，，，
所以在为增函数，
所以，即，
所以，即，所以D错误，
故选：BC
11．BCD
【分析】根据函数由有两个极值点可得导函数有2个不同的零点即可判断A,B，根据导函数讨论函数的单调性可判断C,根据奇函数与的关系判断D.
【详解】由题可得有两个不相等的实数根，
所以，所以，A错误；
根据题意为的两个根，所以，B正确；
因为，且为的两个根，
所以由得或，
由得，
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，
所以成立，C正确；
因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，D正确，
故选:BCD.
12．ACD
【分析】A根据解析式直接判断时的符号即可；再利用导数研究的单调性并画出函数图象，结合A知在y轴左侧的图象恒在x轴下方，判断B、C、D的正误.
【详解】由解析式知：当时，故，A正确；
∴在y轴左侧的图象恒在x轴下方，
又，令，得，令，得或，
∴在，上单调递减，在上单调递增，作出其大致图象如图所示.
由图知，仅当时方程有实根，B错误；
若有3个不同实根则，故“”是有3个不同实根的一个必要不充分条件，C正确；
由，及有1个实根、有2个实根，可得，，则，D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】求出函数的导数，求出过点的切线斜率，利用直线的点斜式方程，可得答案.
【详解】由题意可知，点在曲线上，
而，故曲线在处的切线的斜率为2，
故通过该点的切线方程为： ，即，
故答案为：
14．2
【分析】求导，利用，求出或2，检验得出不符合要求，符合要求.
【详解】，
由题意得：，解得：或2，
当时，由定义域可知：，
恒成立，故不是极大值，不合题意，舍去；
当时，由定义域可知：，
，当时，，当时，，
所以在处有极大值，满足要求.
故答案为：2
15．
【分析】利用导数的几何意义求切线方程在处的斜率，并求出，即可写出切线方程.
【详解】由题意，，即，而，
∴切线方程为，整理得.
故答案为：.
16．
【分析】根据求导法得出点处切线的斜率，再根据点的坐标，由点斜式得到该切线方程.
【详解】因为，，
，又，
所求的切线方程为，即，
故答案为：.
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用根式与分数指数幂互化公式及指数幂运算可得结果；
（2）利用对数运算法则可得结果；
（3）（4）利用基本函数及四则运算求导法则可得结果
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）因为，所以.
（4）因为，所以.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选择条件①，根据，构造函数，由函数图象有1个交点，转化为直线与曲线有1个交点，利用导数判断函数的单调性，从而确定的值；若选择条件②，由方程，构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据函数的极值，确定方程只有1个实数根；
（2）由不等式构造函数，转化为利用导数求函数的最值问题，即可求解的取值范围.
【详解】（1）若选①为条件：
函数的定义域为，令，即，则．
令，则直线与曲线有1个交点，且，
令，解得，
故当时，，当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
故当曲线有1个交点时，．
若选②为条件：
函数的定义域为，令，则，则．
令，则，
令，解得，
故当时，，当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
故方程仅有1个实数根，即曲线有1个交点．
（2）依题意，，即在上能成立，
令，则（提示：不等式能成立问题转化为函数最值问题）．
的值域为，且单调递增．
①当，即时，，∴在上单调递增，
∴，解得，与矛盾，；
②当，即时，，∴在上单调递减，
∴，解得；
③当时，存在唯一的，满足，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
解得，
与矛盾，．
综上所述，实数m的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解决函数的零点，不等式，最值问题，本题第二问的关键是由的值域为，根据端点值讨论不同的区间，讨论函数的最值.
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，设的图像与轴相交于点，由题意可得在该点处导数值为0，函数值为0，构造方程组可得的值，将题意转化为，设，利用导数判断其单调性求出最大值即可；
（2）构造函数，对其求导结合（1）可得的单调性，从而有，化简整理可得，运用换底公式及（1）中的不等式可得 ，再次运用可得结论.
【详解】（1）解：， 设的图像与轴相交于点，
则，即解得．
所以，
所以，等价于．
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即，（*），
所以．
（2）证明：设，则，
由（1）中可知，当时，，
所以，有，即单调递增，
又，所以，
从而有，即，
因为，
所以，即，
另一方，由（1）知，且，
所以，
所以， ，
又，所以，
又，
所以．
综上可知，．
【点睛】本题考查利用导数研究切线问题，证明不等式等，考查运算求解能力，逻辑推理能力等，是难题.本题第二问解题的关键在于结合（1）中的不等式构造函数证明，利用不等式放缩证明.
20．(1)极大值为；无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数法求解；
（2）易得在单调递增，再由，两边取对数得到，则有，又，且，，进而转化为证明.
【详解】（1）解：由题：，，
令，解得，列表如图:
单调递增 单调递减
故当时，取得极大值，
极大值为；无极小值.
（2）证明：若，则，结论成立；
若，，令，得，当时，，
故在单调递增.
要证，只需证，又，且在单调递增，
故只需证明，
又因为，故只需证明，
由，，
故只需证明：，
令，只需证，
，
在单调递增，. 证毕.
【点睛】思路点睛：本题第二问基本思路是利用在单调递增，将证，转化为进而转化为证，再结合，，得到而得证.
21．(1)
(2)当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元
【分析】（1）由题意列出利润y与日产量满足函数关系式，由当时，求出的值；
（2）由利润y与日产量满足函数关系式，利用导数研究函数单调性，求出最大值及取最大值的条件.
【详解】（1）由题意可得，
因为时，所以．
解得.
（2）当时，，
，由可得：，（舍）
所以当时，，原函数是增函数，当时，，原函数是减函数，所以当时，取得最大值14300．
当时，．
所以当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元．
22．(1)，
(2)30海里/时
【分析】（1）根据题意，由条件即可得到函数关系式；
（2）根据题意，求导可得，从而得到当时，函数取得极小值即为最小值.
【详解】（1）设每小时燃料费（元）与速度（海里/时）函数关系为，
又当时，，所以得，所以
轮船每小时的燃料费元，总共行驶小时，
所以全程运输成本，定义域为，
即全程运输成本（元）表示为速度（海里/时）的函数为；
，
（2）由（1）知，，
当时，，即在上单调递减
当时，，即在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值即为最小值.
故当轮船应以30海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小．
