2024届高三数学复习——《简单几何体.球的内切与外接》
1．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
3．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（ ）（，棱台体积公式，其中，分别为棱台的上下底的面积，是棱台的高）
A． B． C． D．
4．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥的体积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
7.下列命题正确的有
（1）棱柱的侧面都是平行四边形；
（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
（3）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
（4）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
8.（1）一个棱柱至少有 个面，面数最少的一个棱锥有 个顶点，顶点最少的一个棱台有 条侧棱.
（2）一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（ ）
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥
9.若一个平行六面体的各个侧面都是正方形，则这个平行六面体一定是（ ）
A.正方体 B.直平行六面体 C.长方体 D.正四棱柱
10.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10，求圆锥的母线长
11.圆锥轴截面顶角为，母线长为1，则求轴截面的面积为 ，过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积为
12.一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，则它们的高的比值为 ，母线长的比值为
13．一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是 .
14.将半径为，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则过顶点的截面面积的最大值为
15.在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是
16.在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为 .
17.已知三棱锥 的所有顶点都在球的表面上，，，，则球的表面积为 .
18.已知三棱锥的各顶点都在球面上，，，若该球的体积为，则三棱锥的表面积为 .
19.如果球、正方体与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设他们的表面积依次为，那么的大小关系为 .
20.已知直三棱柱，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部最大的球的表面积为，则 .
21.正四棱台的下底边长，它的内切球半径为3，则正四棱台的表面积 .
22.边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为__________.
23.如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积取值范围为（ ）
A． B．[1，2] C．[0，2] D．
24.已知四边形是等腰梯形，，梯形的四个顶点均在半径为的球面上，若是该球面上任意一点，则四棱锥体积的最大值为___________.
25.已知点在同一个球面上，，若四面体的体积的最大值为10，则这个球的表面积是_______。
26.（2023全国甲卷理科11题）在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
27.（2023全国甲卷理科15题）在正方体中，分别为的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为_______。
28.棱长为的正方体内有一个棱长为的正四面体，正四面体的中心(正四面体的中心就是该四面体外接球的球心)与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则的最大值为 .
29.已知是体积为的球体表面上四点，若，且三棱锥的体积为，则线段 长度的最大值为 .
30.四个半径为的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为 .
31.如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（ ）
A． B． C． D．
32.如图所示五面体的形状就是《九章算术》中所述“羡除”其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n．已知，则此“羡除”的体积为 ．
33.在如图所示的三棱柱中，点A，的中点M以及的中点N所确定的平面AMN把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大都分的体积之比为 ．
34.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，，圆台的侧面积为.若点C，D分别为圆，上的动点且点C，D在平面的同侧.
（1）求证：；
（2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求多面体的体积.
35.半径为的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径的最大值为
36.已知正方体D的棱长为，其内有两个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于 ，球的表面积等于
37.（2023全国甲卷文科16）在正方体中，，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是____________.
38.如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O．
(1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积；
(2)若，求几何体的表面积．
39.已知一圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体（每条棱长都为的三棱锥），并且正四面体可以在该圆柱内任意转动，则的最大值为_______________.
40.在棱长为8的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为 ；大球半径的最小值为 .
41.如图，在底面边长为，高为的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ．
42.已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 .简单几何体、球的内切与外接
1． 【答案】C
【解析】如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥
母线）为 3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为 r ，r ，高分别为 h ，h ，则1 2 1 2 2 r1=4 ，
2 r2 =2 ， 则 r =2 ， r =1 ， 由 勾 股 定 理 ， 得1 2 h1 = 5 ， h = 2 2 ， 所 以2
1
r2h
V 1 1 r2h 2甲 = 3 = 1 1
2 5
= = 10 ．
V 1 2 2乙 r r2h 2
h2 1 2 2
2 2
3
2. 【答案】C
【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是
2
边长为 a 的正方形，底面所在圆面的半径为 r，则 r = a
2
a2
所以该四棱锥的高 h = 1 ，所以体积
2
a2 a2 a2
+ +1
1 22 a 4 a
2 a2 a2 4
V = a 1 = (1 ) ( 4 4 2 3
4 1 4
) = ( )3 =
3 2 3 4 4 2 3 3 3 3 9
a2 a2 2 4 a
2 2 3
当且仅当 =1 ，即 a = 时，等号成立，所以该四棱锥的高 h = 1 = 1 = 故选 C
4 2 3 2 3 3
3． 【答案】C
2 2
【 解 析 】 由 题 意 S1 =140km ， S2 =180km ， h = (157.5 148.5)km = 9km ， 代 入 棱 台 体 积
1
V = (S1 + S2 + S S )h
9 3
1 2 ，公式可得：V 1.4 10 m ．故选 C．
3
4. 【答案】C
【 解 析 】 记 三 棱 锥 高 与 侧 棱 夹 角 为 ， 高 为 h ， 底 面 中 心 到 各 顶 点 的 距 离 为 m ，
32 + l2 32 l 1 3
cos = = [ , ]，则 l = 6cos ，m = l sin = 6sin cos ，
2 3 l 6 2 2
m 6sin cos 2 1 1 1， S = 2m 2m = 2m2 ，故V = S h = 2m2h =144(sin cos2 2h = = = 6cos )底 底 ，
tan sin 2 3 3
cos
1 3
令 y = sin cos2 = sin (1 sin2 ) = x(1 x2 ) = x3 + x, x = sin [ , ]
2 2
1 3 3 3
y ' = 3x2 +1，故 x [ , ) ， y ' 0， x ( , ]， y ' 0，
2 3 3 2
1
2 3 6 2 2 64 3 1 27即Vmax =144ymax =144 [ ( ) ] = ，Vmin =144 ( ( )
2 )2 = ．
3 3 3 2 2 4
5. 【答案】A
【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是 3，下底面所在平面截球所得圆的半径是 4，
则 轴 截 面 中 由 几 何 知 识 可 得 R2 32 2+ R2 42 =1 ， 解 得 R = 25 ， 因 此 球 的 表 面 积 是
S = 4 R2 = 4 25 =100 ．故选 A.
A
A 21
M O11 3 AB 11 A1
O1
B 4 3 R2 322 3 3 R
C A1 O 2 O
O RO 2 2 2
O 1 R 42 A
M O 4
2
2 2
C2 B C B2 M C1 1 2 2M1
6． 【答案】CD
1 4 1 2
【解析】设 AB = ED = 2FB=2，则V = 2 2= ，V = 2 1= ．连结 BD交 AC1 2
3 3 3 3
1 3 2
于 M ，连结 EM 、FM ，则 FM = 3 ，EM= 6 ，EF =3，故 S ， EMF = 3 6 =
2 2
1
V = S AC=2，3 EMF V3 =V1 +V ，2 2V3 =3V ，故选 CD． 1
3
7.（1）
8.⑴ 一个棱柱至少有 5 个面，面数最少的一个棱锥有 4 个顶点，顶点最少的一个棱台有 4
条侧棱．
⑵D
9. B
40
10.
3
3 1
11.（1） ；（2）
4 2
2+ 3 2 3
12.（1） ；（2） +1
2 3
13．当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；当截面过正方体的体对角线时得（2）；当截面既不平行
于任何侧面也不过体对角线时得（1）；但无论如何都不能截出（4）.答案：（1）（2）（3）.
2
2 r 4 r 2
14. 设圆锥底面半径为 r ，轴截面顶角为 ，则 = ，∴ = ，于是
l 3 l 3
r 2 2
sin = = ，从而 ，∴过顶点且面积最大的截面就是圆锥的轴截
2 l 3 2 2
1 2 2 2 2 5 2 5
面，它的面积为 S = l sin = l sin cos = l = l 2
2 2 2 3 3 9
15. B
16.根据题意画出三棱锥，如下图
由 ABC = ABD，所以 AB直线在面 BCD 上的身影在底面正三
角形的角平分线 BE(E为 CD中点)，
2
AE BE = (AB+ BE) BE = AB BE + BE
1 2
= AB (BD + BC)+ BE = 0，即 AE ⊥面BCD，点 F为等边三角形 BCD的中心，OF//AE,球心一定在
2
3 2 3
OF 上，设球半径为 R,AB = 3, BE = 3, AE = 6, R = ( 6 OF)2 + ( )2 = ( )2 +OF 2 ,解得
3 3
2 19 19 19 R = , S = 4 = ,选 A.
8 8 2
17.由cos ACB = 3sin ACB，根据同角三角函数关系式得sin2 ACB+cos2 ACB =1 ，解得
1
sin ACB = ，所以C = ，因为 AC = 3，BC =1，由余弦定理 AB2 = AC2 + BC 2 2AC BC cosC
2 6
3
代入得 AB = 3+1 2 3 =1，所以△ABC 为等腰三角形，且B =120 ，由正弦定理得△ABC 外接
2
3
圆半径 R 为 = 2R ，解得 R =1，设△ABC 外心为O ' ，OO ' = h ，过O ' 作O 'M ⊥ AD
sin120
2 2 2
则在 O 'OA 中h2 +12 = R2 ，在 O 'MD中 (2 h) +1 = R ，解得R = 2
2
所以外接球面积为 S = 4 R2 = 4 ( 2 ) = 8
18.如图所示，因为 EF ⊥平面 PDE ，所以EF ⊥ DE ， EF ⊥ PE ， EF ⊥ DP，
因为 PD⊥ED， EF DE = E ，所以 PD ⊥平面 DEF ，所以 PD ⊥ DF ，
设 PF 的中点为O，则PO =OF =OD =OE ，所以O为三棱锥 P DEF 外接球的球
17 34 4 3 34心，由题知 = r ，解得 r = ，所以PF = 34 ，
3 3 2
3
在 Rt DEF 中，DE = 4 , EF = 3，所以DF = DE2 + EF 2 = 5，
在 Rt PDF 中， PD = PF 2 DF 2 = 34 52 = 3，在Rt PDE 中，PE = PD2 + DE2 = 5，
所以三棱锥 P DEF 的表面积为
1 1 1 1
3 4+ 3 4+ 3 5+ 3 5 = 27
S DEF + S PDE + S PDF + S PEF = 2 2 2 2 .故答案为 27.
19．设球的半径为 R ，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为 r ，且它们的体积都为V ，
4 3V
则V = R
3 = a3 = 2 r3，解得R = 3 ,a = 3
V 3V
V ,r = 3 ，所以 S1 = 4 R
2 = 4 ( 3 )2 = 3 36 V 2 ，
3 4 2 4
2 V3 2 3 2 3 2 ， S = 2 r2 + 2 r 2r = 6 r2 = 6 ( )2 = 3 54 V 2S 3 ，所以S S S ， 2 = 6a = 6( V ) = 6 V = 216V 3 2 3 1
2
5 2 2
2 5 3 1720．易知Rt△ABC 的外接圆直径为 AC ，所以半径长为 ，设外接球半径为 R，则 R = + = ，∴
2 2 2 2
2 1 1S = 4πR = 34π，设Rt△ABC 的内切圆半径为 r ，则 (3+ 4 + 5) r = 3 41 ，∴ r =1，∵ 2r = 2 3，
2 2
S
r 2 1
34π 17
故该直三棱柱内半径最大的球的半径为 ，∴ S2 = 4πr = 4π，∴ = = S2 4π 2
21．
（1）如图，做该正棱台的轴截面， GNE 中，GN = 3, NE = 3 3, GNE = 90o ，
所以GE = 6, GEN = 30o ，根据对称性， QEG = 30o ，故 QEN = 60o , MPQ =120o , 所以
MPG = 60o ， GM = 3, MP = 3, 正四棱台上底面是一个边长为2 3 的正方形，
1 1 1 1
S表 3 = [(2 3)
2 + (6 3)2 + (2 3)2 (6 3)2 ]，即 S表 = （12+108+ 12 108）= （120+36）=40+12 = 52
3 3 3 3
22．结合正四面体的性质：球心在正四面体的体高上，且为外接球的球心，如下图：
4
取球心O，若OD ⊥ PA，则OD即为球的半径，而O 为底面中心，∴PO ⊥面 ABC ，若E 为BC 中点，则
2 6 6 2 3
AE = PE = 3，∴PO = ， PO = ， AO = ，由Rt PDO Rt PO A，则
3 2 3
PO OD 2 4 2
= ，故OD = ，∴球的体积为 OD3 =
PA AO 2 3 3
23．设四棱锥一个侧面为三角形 APQ， APQ = x ，
1 AC PQ 2 2 PQ 1
则 AH = PQ tan x = = = 2 PQ，
2 2 2 2
2 2 2 tan x 1
∴ PQ = ， AH = ，∴ S = 4 PQ AH = 2 PQ AH
1+ tan x 1+ tan x 2
2 2 2 tan x 8tan x
= 2 =
2 ， x , ，
1+ tan x 1+ tan x (1+ tan x) 4 2
8tan x 8tan x 8 8
∵ S = =
= = 2
2 2 1 2+ 2 ，（当且仅当 tan x =1，即 x = 时取等
(1+ tan x) 1+ tan x + 2 tan x + tan x + 2 4
tan x
号）而 tan x 0，故 S 0，∵ S = 2时，三角形 APQ是等腰直角三角形，顶角 PAQ = 90 ，阴影部分不存
在，折叠后A 与O重合，构不成棱锥，∴S 的范围为 (0, 2) .
24．因为四边形 ABCD是等腰梯形， AB / /DC ， AB = 3，CD = 6， ADC = 60 ， AD = 3，
取CD中点 O，连接 AO, BO，易知△AOD和 BOC为等边三角形，
OA = OB = OC = OD = 3 ，所以四边形 ABCD的外接圆的半径为 r = 3，
设球心为O ，四边形 ABCD的外接圆的圆心为O，如图所示
在直角 AOO1中，可知
2 2 2
AO 2 = AO2 +OO 2 ，即 (2 3) = 3 +OO ，解
得OO = 3，所以四棱锥 S ABCD 高的最大值为
SO +OO = 2 3 + 3 = 3 3 ，所以四棱锥 S ABCD 体积的最大值为
1 1 1 3 3 81
SABCD 3 3 = (3+ 6) 3 3 = ，
3 3 2 2 4
5
25．由MN = 3, NP = 4,MP = 5，可得MN 2 +NP2 = MP2，所以 PNM =90 ，则球心O在过PM 中点O ' 与面
MNP垂直的直线上，因为MNP 面积为定值，所以四面体的高最大时体积最大，根据球的几何 性
质可得，当O'Q过球心时体积最大，因为四面体Q MNP的最大体积为 10，所以
1 1 1
S MNP O 'Q = 3 4 O 'Q =10，可得O
'Q = 5，在 OO'P中，
3 3 2
25 25
OP2 =OO'2 +O' 2 R
2
P ，所以 = (5 R)
2 + ，得R = ，所以球的表面积为
4 8
2
25 625
4 =
8 16
26. 如图所示，取 AB,CD的中点分别为M , N ，因为 AB = 4 ，所以MN = 4, AC = 4 2 .
P
又 PC = PD = 3 ，过 P 作 PO ⊥平面 ABCD ，则O MN .连接 PN,OA,OC，
则 PN ⊥ CD, PN = 32 22 = 5 .
A D
令ON = x，则 PO2 = 5 x2 , OA2 = 4+ (4 x)2 ， M O N
B C
PA2 =OA2 + PO2 = 4+ (4 x)2 +5 x2 = 25 8x . H
AC
2 + PC2 PA2 32 + 9 (25 8x) 2
在△PAC 中，因为 PCA= 45 ，所以 cos45 = = = .
2 AC PC 2 4 2 3 2
解得 x = 1，则ON =1, PO = 2 .过O 作OH ⊥ BC ，垂足为 H ，连接 PH ，则OH = 2, PH = 2 2 .
A
1 1 D
所以 S△PBC = BC PH = 4 2 2 = 4 2 .故选 C. E
2 2 B C
27. 如图所示， EF = 2AB，所以球O 是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱切球，即球 O
A1 D1
O 与每条棱都有一个公共点，故填12 .
F
B C
1
1
28．由题意得，该正四面体在棱长为 6的正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大，
因为棱长为 6的正方体的内切球半径为R = 3，如图，设正四面体P ABC ，O 为
3
底面 ABC的中心，连接PO，则PO ⊥底面 ABC，则可知CO = x，正四面体的
3
2 2
6 6 3
高 PO = x，O P =O C = 3，利用勾股定理可知 x 3 + x = 3
2 ，
3
3
3
解得： x = 2 6 ，故答案为：2 6
20 5 20 5 4
29．因为球的体积为 ，故球的半径 R 满足 = R3，故R = 5，
3 3 3
6
1
而 AB = 4 ， AC = 2，BC = 2 3 ，故 AB2 = AC 2 + BC 2，故 ACB = ，故 S ACB = 2 3 2 = 2 3，
2 2
1
设D 到平面 ABC的距离为 h ，则 h 2 3 = 2 3 ，故h = 3，故D 在球
3
面的截面圆上，设截面圆所在的平面为 ，当 与平面 ABC 在球心的异
侧时，DC 有最大值，设球心到平面 ABC 的距离为d ，而△ACB外接圆
1
的半径为 AB = 4，则d = 5 4 =1，故球心到平面 的距离为2 ，故截
2
面圆的半径 5 4 =1，设D 在平面 ABC上的投影为E ，则E 的轨迹为
圆，圆心为 ABC的外心即 AB 的中点，当CE最长时CD最长，此时CE = 2+1= 3，故CD长度的最大值为
3 2 ，故答案为：3 2 .
30．如图 1所示，正四面体 ABCD 中，AH⊥底面 BCD，E、F、G、K 为四个球的球心，M 为 CD 中点，连
接 BM，AM，易知 B、H、M 三点共线，直线 AH 交平面 EFG 于点H ，连接EH1 1，交 GF 于点 N，则 N 为
GF 的中点，因为内切球半径为 2，故 EF=4，画出截面 ABM 如图 2所示，正四棱锥 EFGK 外接球球心设为
O，则正四面体 ABCD 的外接球球心与正四面体 EFGK 外接球球心重合，设正四面体 ABCD 的外接球半径
2 4 3
为 R，正四面体 EFGK 外接球半径为 r，在图 2中，EK=4，EN = 2 3，EH ，1 = EN =
3 3
2 2
4 6 4 6 4 6 4 3 2 2
KH == ，所以OH = r ，由OE =OH1 + EH
2
，即 r2 = r + ，解得：
1 1 1 r = 6
3 3 3
3
4 6 6
所以OH = r = ，过点 E 作 EP⊥BM 于点 P，则 EP=2，则△BEP∽△OEH 1 1
3 3
OE OH 6
∴ = 1 ， 6 3 ，解得：BE = 6，∴R =OB = BE +OE = 6+ 6
BE EP =
BE 2
2
∴正四面体 ABCD 的外接球表面积 S = 4 R = (168+ 48 3)
7
31. 7:5
（方法一）设三棱柱的体积为 V，则
1 1 1 7 C1
V1 =VA1 AEF +VA1 EFC B =VA AEF +VA EC B +VA EFC = V + V + V = V ， 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 6 12
A1 B5 1
∴V2 = V , V1 :V2 = 7 :5
12 V1
C
（方法二） V2
F
A BE
32. 如图 1，将该几何体分成一个三棱柱PQE BCF 与一个四棱锥E APQD ,
1 1+ 2
VE APQD = 2 2 = 2,如图 2，将三棱柱PQE BCF 进行割补，使得新三棱柱PQR BCE 是高为 1的直
3 2
1
三棱柱VPQE BCF =VPQR BCE = 2 2 1= 2．∴几何体的体积为 4.故答案为：4
2
33. 设平面 AMN 与棱 A1C1交点为D ，则 A1D = 2DC1，(可先补成四棱柱，如
图易得结论
）
1 3
所以 S DNB = S A B C , S = S 1 6 1 1 1
A1AMB1 A ABB4 1 1
1 1
S h V SA AMB h1V DNB 1 D A AMB
VD A AMB 3 1 1 11 1 1 1
M DNB 11 = 3 = ， = = = V 3 1 3V ABC A B C 31 1 1ABC A1B C S A 2h 36 V1 1 1B1C1 C A1ABB S1 A1ABB h12 2 1 2
1 1 13
所以上部分几何体体积VM DNB +V1 D A1AMB =( + )V1 ABC A B C = V1 1 1 ABC A B C 36 3 36 1 1 1
8
因此小部分的体积和大都分的体积之比为13: (36 13) =13: 23，故答案为：13:23
34．（1）设圆O1 ，圆O2 的半径分别为 r ，2r ，因为圆台的侧面积为6 ，
1
所以6 = 2(2 r + 4 r) ，可得 r =1 .因此，在等腰梯形 A1A2B2B1中，
2
A A = 2B B = 4， A B = 2，O O = A B 21 2 1 2 1 1 r
2 = 22 1 = 3 .如图，连1 2 1 1
接线段O O ，O1C1 2 ，O2C ，在圆台O1O2 中，O1O2 ⊥平面B1CB2 ，O1C 平
面 B1CB2 ，所以O1O2 ⊥O1C .又O1C =1，所以在直角 O1CO2中，
1
CO = ( 3)2
2 +1 = 2 .在
CA1A2 中，CO2 = A1A2 ，故 A1CA2 = 90 ，即
2
A1C ⊥ A2C .
1 3
（2）由题意可知，三棱锥C A1DA2 的体积为VC A DA = O1O2 S△A,DA = A1D A2D ， 1 2 3 2 6
2 2 2
又在直角三角形 A1DA2 中， A1D + A2D = A1A2 =16 2 A1D‖A2D ，所以当且仅当
V 4 3A1D = A2D = 2 2 ，即点 D 为弧 A1A2 的中点时， C A 有最大值 .过点 C 作CM ⊥O B 交O B1DA2 1 2 1 2
3
于点 M，因为O1O2 ⊥平面B1CB2 ，CM 平面B1CB2 ，所以O1O2 ⊥CM ，O1O2 平面 A1A2B2B1，
O1B2 平面 A1A2B2B1，O1O2 O1B2 =O1，所以CM ⊥平面 A1A2B2B1 .又 B2O1C = 60
，则点 C 到平
3 1 3 1 3
面 A1A2B2B1的距离CM = ，所以四棱锥C A1A2B2B1的体积V = (2+ 4) 3 = . C A A B B
2 1 2 2 1 3 2 2 2
4 3
综上，当三棱锥C A1DA2 体积最大值时，多面体V =VC A DA +VC A A B B = 3 + 1 2 1 2 2 1 3 2
35．由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为
顶点的四面体棱长为2r ，该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为
2 2 3r 2 2 6r 2 6r，设正四面体的外接球半径为 x，则有 x2 = ( x)2
2 3r 2
4r ( ) = + ( ) ，
3 3 3 3
6 6 6 6(3 6)
x = r R = r + r r = R = R = ( 6 2)R
解得 2 ，所以 2 ，所以 3+ 6 9 6
9
36． 因为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2 3 ,所以三棱锥 A CB1D1是边长为2 6的正四面体, CB1D1
2
的高为3 2 ,设底面CB1D1的中心为O ,连接CO ,则CO = 3 2 = 2 2 ,
3
AO = 24 8 = 4 ,则球O1是三棱锥 A CB1D1的内切球,设其半径为R1,则有
1 1 1
VA CB D = S CB D AO = 4 S CB D R1，所以R1 = AO =1, 1 1 3 1 1 3 1 1 4
4
所以球O1的体积为 ,又球O2 与三棱锥 A CB1D1的三个面和球O1都相
3
切,则设平面MNP//平面CB1D1,且球O1和球O2 均与平面MNP 相切于点E ,如
图所示, 则球O2 是三棱锥 A MNP的内切球,设其半径为R2 ,故 AE = AO 2R1 = 2 ,
1 1 4
因此在正四面体 A MNP中,R = AE = ,所以球O2 2 的表面积为 ,故答案为: ; .
4 2 3
37.【解析】设球的半径为 R .当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每
个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面
和棱没有交点，正方体的外接球直径 2R 为体对角线长
AC = 42 + 421 + 4
2 = 4 3，即 2R = 4 3, R = 2 3，故R ； max = 2 3
分别取侧棱 AA ,BB ,CC ,DD 的中点M ,H ,G, N1 1 1 1 ，显然四边形MNGH 是边长为 4的正方形，且O 为正方
形 MNGH 的对角线交点，连接MG ，则MG = 4 2 ，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH 的外接圆，球
的半径达到最小，即 R 的最小值为 2 2 .综上，R [2 2,2 3] .故答案为[2 2,2 3] .
38.
10
(1)如图可知，过 P、O1、O2 的截面为五边形 ABCPD，其中四边形 ABCD为矩形，三角形CPD为等腰
2
3 3 1
三角形，PC = PD，在直角 OO1D中，OD =1，O D = ，则OO
2
1
2 1
= 1 = 2 2
2
3 1 1 1 3 1
故圆锥的底面半径为 ，高为O1P =1 = ，其体积为 =
2 2 2 3 2 2 8
2
3 1 3 3
圆柱的底面半径为 ，高为O1O2 = 2 =1，其体积为 1= ，
2 2 2 4
3 7
所以几何体 的体积为 + =
4 8 8
2h 2h 3
(2)若PO1 :O1O2 =1:3，设O1O2 = 2h，则PO1 = ，故 + h =1， h =
3 3 5
2
3 3 4
在直角 OO D OO = 2
1 中，OD =1， 1 ，则O
5 1
D = 1 =
5 5
2 2
4 2 4 2 2 5
故圆锥的底面半径为 ，高为O1P = ，其母线长为 + = ， 5 5 5 5 5
4 2 5 8 5 4 6 4 6 48
圆锥的侧面积为 = ，圆柱的底面半径为 ，高为O1O2 = ，其侧面积为2 =
5 5 25 5 5 5 5 25
2
8 5 48 4 64 +8 5
所以几何体 的表面积为 + + =
25 25 5 25
39.依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为 P，球的半径为
r，下底面半径为 R，轴截面上球与圆锥母线的切点为 Q，圆锥的轴截面如图：
由已知 AB＝SA＝SB＝3，所以三角形 SAB 为等边三角形，故 P 是△SAB 的中心，
r 3 3 3 3
连接 BP，则 BP 平分∠SBA，∴∠PBO＝30°；所以 tan30°＝ ，即 r = R = = ，
R 3 3 2 2
3
即四面体的外接球的半径为 r = ．另正四面体可以从正方体中截得，如图：
2
从图中可以得到，当正四面体的棱长为 a 时，截得它的正方体的棱长为 2 a ，
2
而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外
2 6
2r = 3AA1 = 3 a = a
接球，所以 2 2 ，所以a = 2 ．即 a 的最大值为 2 ．
40.当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径 r 最大，大球半径 R 最小.
由正方体的棱长为 8，可得 r 的最大值为 2，下面分析 r 2 时 R 的取值.
11
由对称性知，大球球心O与四个小球球心O1 ，O2 ，O3 ，O4 构成一个正四棱锥，如下图所示：
则OO1 = R+ r = R+2，O1O2 = 2r = 4 .又由正方体盒知，正四棱锥
O O1O2O3O4 的高OH （其中H 为正四棱锥底面正方形中心）长为
2 2
8 r R = 6 R，故在直角三角形OHO1中，OH +HO1 =OO
2
1 ，
2 2 5 5 5
即 (6 R) + ( 22 2 ) = (R + 2) ，解得R = ，即大球半径的最小值为 .故答案为：2，
2 2 2
41. 易知大球的半径为R =1 ，设小球的半径为 r ，C 为小球球心，O为大球球心，大球与正四棱柱的下
底面相切与点H ，小球与正四棱柱的上底面相切与点 E ，连接HN, EM ，作CD ⊥OD 于点D ，如图，由
题意可知，HN = 2 ,EM = 2r ，
所以OD = HN EM = 2 2r ，CD = 3 1 r = 2 r , 因为两圆相切，所以
2 2 2
CO =1+ r ，因为 OCD为直角三角形，所以 (1+ r ) = (2 r ) + ( 2 2r ) ，
即2r2 10r +5= 0 ，
又因为 r (
10 100 40 5 15
0,1) ，所以 r = = .
4 2
42．【解析】如图所示，将三棱锥 S ABC 转化为直三棱柱 SMN ABC ，
AB 3
2r = = = 2 3
设△ABC 的外接圆圆心为O1，半径为 r ，则 sin ACB 3 ，可
2
得 r = 3 ，设三棱锥 S ABC 的外接球球心为O ，连接OA,OO1 ， AO1，则
1
OA = 2, AO1 = 3,OO1 =1= SA，所以 SA = 2 .故答案为 2.
2
12
