鲁教五四新版八年级下册《第6章 特殊平行四边形》2022年单元测试卷
一、选择题
1．如图，下列条件中①AC⊥BD②∠BAD＝90°③AB＝BC④AC＝BD，能使平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
2．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．90°
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
4．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．四角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度分别为8cm和6cm，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．10cm B．16cm C．20cm D．40cm
7．如图，菱形ABCD的周长为20cm，高AE长为4cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A．1： B．1： C．1：3 D．1：2
8．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF＝CE＝1，AB＝3，则线段AF的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．3
9．下列判定中，正确的个数有（ ）
①一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．菱形具有矩形不一定具有的性质是 （写出一条即可）
12．直角三角形斜边上的中线长为2.5，则斜边长为 ．
13．若菱形ABCD的边长为13cm，对角线BD长10cm，则菱形ABCD的面积是 cm2．
14．如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝ ．
15．E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的形状是 ，当AC与BD满足条件 时，四边形EFGH是矩形．
16．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是 ．
17．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是 ．
三、解答题
18．如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABF的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为点E，D．求证：四边形AEBD是矩形．
19．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC；
（2）若AD＝4，求AM的长．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形．（直接写出答案，不需要说明理由）
21．如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
22．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）．
（1）求BC边上高AE的长度；
（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；
（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．
23．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP＝OQ；
（2）若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
24．正方形ABCD中，M为边CB延长线上一点，过点A作直线AM，设∠BAM＝α，点B关于直线AM的对称点为点E，连接AE、DE，DE交AM于点N．
（1）依题意补全图形；当α＝30°时，直接写出∠AND的度数；
（2）当α发生变化时，∠AND的度数是否发生变化？说明理由；
（3）探究线段AN，EN，DN的数量关系，并证明．
鲁教五四新版八年级下册《第6章 特殊平行四边形》2022年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
①若AC⊥BD，则可得其为菱形，①成立，
②中∠BAD＝90°，得到一矩形，不是菱形，所以②错误，
③中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以③成立，
④中得到其为矩形，并不能得到其为菱形，所以④不成立，
故A选项中①③都正确，B中②不成立，C中④错误，而D中多一个选项②也不对，
故选：A．
【点评】熟练掌握菱形的性质及判定定理．
2．【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，
而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力．
3．【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOB为直角三角形．
∵OE＝2，且点E为线段AB的中点，
∴AB＝2OE＝4．
C菱形ABCD＝4AB＝4×4＝16．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AB＝4．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．
4．【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质，即可作出判断．
【解答】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的四个角不一定相等，而正方形的四个角一定相等．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对特殊四边形的各种性质的理解记忆是解题的关键．
5．【分析】根据矩形的性质得出AO＝CO，根据线段垂直平分线性质得出AE＝CE，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∵EF⊥AC，AO＝OC，
∴AE＝CE，
∴△DEC的周长＝CD+DE+EC＝CD+DE+EA＝CD+AD＝4+6＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
6．【分析】根据菱形的对角线性质，得出两条对角线的一半为3cm与4cm．然后可用勾股定理求出其边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC，BO＝BD，AC⊥BD，
∵AC＝6cm，BD＝8cm，
∴AO＝3cm，BO＝4cm，
∴AB＝5cm，
∴菱形ABCD的周长为：4×5＝20（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分．
7．【分析】由菱形的性质求得AB＝BC＝5cm，又由高AE长为4cm，利用勾股定理求得BE的长，得出CE的长，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．
【解答】解：如图，设AC，BD相交于点O，
∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴AB＝BC＝5cm，
∵菱形ABD的高AE长为4cm，
∴AE⊥BC，
∴BE＝＝＝3（cm），
∴CE＝BC﹣BE＝2cm，
∴AC＝＝＝2（cm），
∴OA＝cm，
∴OB＝＝＝2（cm），
∴BD＝4cm，
∴＝＝，
即AC：BD＝1：2；
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．【分析】根据四边形ABCD是矩形，EF＝CE，DF⊥AE，证明△DFE≌△DCE，即可得到DF＝DC，进而得出AE＝AD，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝90°，
∵FE＝CE，
∵DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF＝DC，∠FED＝∠DEC，
∴∠FED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴BE＝BC﹣EC＝AE﹣EC，
在Rt△ABE中，设AE为x，由勾股定理可得：AB2+BE2＝AE2，
即32+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝5，
所以AE＝5，
∴AF＝AE﹣EF＝5﹣1＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
9．【分析】利用矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；故错误；
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故正确；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故正确；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定及正方形的判定，解题的关键是能够熟练掌握有关的判定定理，难度不大．
10．【分析】在DC上截取DG＝FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．
【解答】解：在DC上截取DG＝FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．
∵AE＝DG，且AE∥DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴EG＝AD＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．
二、填空题
11．【分析】根据菱形的性质与矩形的性质写出即可．
【解答】解：菱形的对角线互相垂直，菱形的对角线平分一组对角，菱形的四条边都相等．
故答案为：菱形的对角线互相垂直（答案不唯一）．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握两个图形的性质是解题的关键．
12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：∵直角三角形中，斜边上的中线长是2.5，
∴斜边长是2×2.5＝5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
13．【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AE或CE的长，从而求得AC的长；利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积．
【解答】解：如图，设AC，BD的交点为E
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BE＝DE＝5cm，AE＝CE
在Rt△ABE中，AE＝＝12cm
∴AC＝24cm
∴S菱形ABCD＝AC×BD＝120cm2
故答案为：120．
【点评】主要考查菱形的性质，勾股定理，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
14．【分析】过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，证明∠BEA＝∠AH′D，由AAS证得△BAE≌△ADH′，得出BE＝AH′，易证四边形AH′HG是平行四边形，得出GH＝AH′，即可得出结果．
【解答】解：过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，如图所示：
∵ABCD是正方形，
∴AG∥H′H，BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴∠H′AD+∠AH′D＝90°，
∵GH⊥BE，AH′∥GH，
∴AH′⊥BE，
∴∠H′AD+∠BEA＝90°，
∴∠BEA＝∠AH′D，
在△BAE和△ADH′中，，
∴△BAE≌△ADH′（AAS），
∴BE＝AH′，
∵AG∥H′H，AH′∥GH，
∴四边形AH′HG是平行四边形，
∴GH＝AH′，
∴GH＝BE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，，FG∥BD，，推出，EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形．
【解答】解：如图，连接BD，AC．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，，
同理FG∥BD，，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
连接AC．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
故答案为：平行四边形，AC⊥BD；
【点评】本题主要考查中点四边形，三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键是正确构造三角形，正确的运用中位线定理，难度不大．
16．【分析】作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK＝FK＝1，NP＝3，PF＝2，利用勾股定理可得MN的长．
【解答】解：过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H，
则MK∥EF∥NP，
∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°，
∴四边形MHPK是矩形，
∴MK＝PH，MH＝KP，
∵NP∥EF，N是EC的中点，
∴＝1，＝＝
∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3，
同理得：FK＝DK＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴△MKD是等腰直角三角形，
∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2，
∴MH＝2+1＝3，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；本题的关键是构造直角三角形MNH，根据勾股定理计算．
17．【分析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE′的长即为最小值．
【解答】解：作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，
∵PE＝PE′，
∴AP+PE＝AP+PE′＝AE′，
在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，
根据勾股定理得：AE′＝，
则PA+PE的最小值为．
故答案为：．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，以及正方形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
三、解答题
18．【分析】由角平分线的意义及邻补角的意义可得∠DBE＝90°，再结合已知条件，根据有三个角是直角的四边形是矩形进行判定即可．
【解答】证明：∵BD，BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，
∴，
∵∠ABF+∠ABC＝180°，
∴，
即∠DBE＝90°，
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
【点评】本题考查了角平分线的意义，矩形的判定定理，邻补角的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，从而有AD＝CN，只需证明AM＝NM即可．
（2）设MC＝x，则BM＝4﹣x，由勾股定理与（1）的结论得出AM＝＝＝4+x，解得x即可得出结果．
【解答】（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE，
∴∠ENC＝∠MAE，
∴AM＝MN，
在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE（AAS），
∴AD＝NC，
∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝4，∠B＝90°，
设MC＝x，则BM＝4﹣x，
AM＝＝，
∵AM＝AD+MC＝4+x，
∴＝4+x，
解得：x＝1，
∴AM＝5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
20．【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG＝∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FG＝EG，
∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝3，
∴BM＝1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∵AE＝3.5，
∴DE＝1.5＝BM，
在△MBA和△EDC中，
，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：3.5；
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
21．【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF＝10cm，EF＝DE＝8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF＝BC﹣BF＝10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即：（8﹣x）2＝x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即（8﹣x）2＝x2+42，
∴64﹣16x+x2＝x2+16，
∴x＝3（cm），
即CE＝3cm．
【点评】本题主要考查运用勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，根据已知条件求指定边长的能力．
22．【分析】（1）先由平行四边形的性质得出AB＝CD＝3cm．再解直角△ABE，即可求出AE的长度；
（2）先证明四边形AMCN为平行四边形，则当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．根据AN＝AM列出方程32+（6﹣t）2＝t2，解方程即可；
（3）先证明四边形MPNQ为矩形，则当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．根据QM＝QN列出方程|2t﹣6|＝3，解方程即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3cm．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，
∴AE＝AB sinB＝3×＝3（cm）；
（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），
∴AM＝CN＝t，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE＝AE＝3，EN＝|6﹣t|，
∴AN2＝32+（6﹣t）2，
∴32+（6﹣t）2＝t2，
解得t＝．
所以当t为时，四边形AMCN为菱形；
（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，
∴四边形MPNQ为矩形，
∴当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．
∵AM＝CN＝t，BE＝3，
∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，
∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），
∵QN＝AE＝3，
∴|2t﹣6|＝3，
解得t＝4.5或t＝1.5．
所以当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．
【点评】考查了平行四边形的性质、解直角三角形、菱形的判定、正方形的判定，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
23．【分析】（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO＝∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP＝OQ．
（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD＝8厘米，AB＝6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
在△POD与△QOB中，
∵
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ；
（2）解：PD＝8﹣t，
∵四边形PBQD是菱形，
∴PD＝BP＝8﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，
即62+t2＝（8﹣t）2，
解得：t＝，
即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键．
24．【分析】（1）依题意补全图形，由正方形的性质得出∠BAD＝90°，AB＝AD，由轴对称的性质得出AE＝AB，∠BAM＝∠EAM＝α＝30°，得出∠EAD＝150°，AE＝AB＝AD，由等腰三角形的性质得出∠AED＝∠ADE＝15°，即可得出结果；
（2）求出∠EAD＝90°+2α．由等腰三角形的性质得出∠AED＝∠ADE＝45°﹣α．即可得出结果；
（3）过点 A作AG⊥AM，交DE 于点G，连接BN，由轴对称的性质得出AB＝AE，∠BAN＝∠EAN，证明△ABN≌△AEN得出BN＝EN，∠AED＝∠ABN，证出∠ABN＝∠ADE，得出∠BAN＝∠DAG，证明△ABN≌△ADG得出BN＝DG，AN＝AG，得出△ANG 为等腰直角三角形，EN＝BN＝DG，即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵点B关于直线AM的对称点为点E，
∴AE＝AB，∠BAM＝∠EAM＝α＝30°，
∴∠EAD＝90°+30°+30°＝150°，AE＝AB＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠AND＝∠EAN+∠AED＝30°+15°＝45°；
（2）∠AND的度数不发生变化；理由如下：
∵∠BAM＝∠EAM＝α，
∴∠EAD＝90°+2α．
∵AE＝AB＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝＝45o﹣α．
∴∠AND＝∠EAN+∠AED＝45°﹣α+α＝45o；
（3）DN＝AN+EN，理由如下：
过点 A作AG⊥AM，交DE 于点G，连接BN，如图2所示：
∵点B 与 点E关于直线AM对称，
∴AB＝AE，∠BAN＝∠EAN，
在△ABN和△AEN中，，
∴△ABN≌△AEN（SAS），
∴BN＝EN，∠AED＝∠ABN
∵∠AED＝∠ADE，
∴∠ABN＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠GAN＝90°，
∴∠BAN＝∠DAG，
在△ABN和△ADG中，，
∴△ABN≌△ADG（ASA），
∴BN＝DG，AN＝AG，
∴△ANG 为等腰直角三角形，EN＝BN＝DG，
∴NG＝AN，
∴DN＝AN+EN．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
