3 万有引力理论的成就
考点一 天体质量的计算
1．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
2．一星球半径和地球半径相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
3．2022年11月27日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若已知该卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，其线速度大小为v，角速度为ω，引力常量为G，则地球的质量为( )
A. B.
C. D.
4．2022年7月18日，阿联酋宣布将设立总额约合8.2亿美元的专项基金，用于开发卫星并资助太空计划。计划将在三年内首次发射卫星并探索金星。如果金星的公转周期为T，轨道半径为r，自转周期为T′，半径为R，引力常量为G，则( )
A．金星质量为 B．金星质量为
C．太阳质量为 D．太阳质量为
5．土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
考点二 天体密度的计算
6．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A. B. C. D.
7．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A. B. C. D.
8．中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为h，运行周期为T，地球半径为R，引力常量为G，由此可得到地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
9.如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G，则月球的质量是( )
A. B. C. D.
10．(2023·连云港市海头高级中学高一期末)理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知( )
A．该黑洞的质量M＝
B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝
D．该黑洞的半径R＝
11．(2023·扬州市高一统考期中)2020年4月24日，中国行星探测任务被命名为“天问系列”。若火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动N圈，用时为t，已知火星的半径为R，引力常量为G，求：
(1)探测器在轨道上运动的周期T；
(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g。
12．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ。
13.(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
3 万有引力理论的成就
1．D [根据万有引力提供核心舱做匀速圆周运动的向心力，有G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝，则已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期或已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可计算出地球的质量，故选D。]
2．B [在天体表面有G＝mg，所以M＝，因为星球半径和地球半径相同，所以可得该星球质量是地球质量的2倍。故选B。]
3．A [卫星做圆周运动的轨道半径r＝，根据万有引力提供向心力有G＝m，联立解得M＝，故选A。]
4．C [根据题目条件无法求出金星的质量，A、B错误；因为金星绕太阳公转，则由万有引力提供向心力有G＝mr，可得太阳的质量为M＝，C正确，D错误。]
5．B [由万有引力提供向心力得G＝m()2r，则M＝，代入数据得M≈5×1026 kg，故选B。]
6．A [忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，则M＝，又V＝πR3，可得地球的平均密度ρ＝＝，故选A。]
7．A [根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得G＝m()2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·πR3，由以上两式可得：T＝，故选A。]
8．C [中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有＝m()2(R＋h)，可求得地球的质量M＝，地球可近似看作球体，根据密度的定义式得ρ＝＝＝，故选C。]
9．C [因为每经过时间t通过的弧长为l，故“嫦娥三号”的线速度大小为v＝，角速度为ω＝，“嫦娥三号”的运行半径为R＝＝，设月球质量为M，根据万有引力定律及牛顿第二定律得G＝m，则月球的质量M＝＝，选项C正确。]
10．C [根据星体受到的万有引力提供向心力，有＝m，则M＝，A、B错误；根据＝，M＝，联立解得R＝，C正确，D错误。]
11．(1) (2) (3)
解析 (1) 探测器在轨道上运动的周期T＝
(2)根据万有引力提供向心力，
有G＝m
得M＝＝
(3)火星表面有G＝mg
得g＝＝。
12．(1) (2) (3)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
则h＝g月t2，解得g月＝。
(2)因不考虑月球自转的影响，
则有G＝mg月，
月球的质量M＝＝。
(3)月球的平均密度ρ＝＝＝。
13．B
