2024届高三数学复习——《导数的应用-不等式恒成立小题》
1.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
2.已知，，其中，若恒成立，则实数的取值范围为 。
3.已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值是 。
4.已知函数，对于任意的，且都有成立，则实数的取值范围是 。
5.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 。
6.对任意的，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
7.已知函数若关于x的不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
8.当时，恒成立，则实数的取值范围是 。
9.已知，不等式对恒成立，则实数的取值范围是 。
10.若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为
。
11.对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 。
12.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 。
13.若在上，函数的图象恒在函数的图象上方，则的取值范围 。
14.已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围 。
15.已知函数，当时，使不等式恒成立的的最大整数为 。
16.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 。
17.若函数是奇函数，函数，若恒成立，则实数的取值范围是 。
18.对于任意都有，则实数的取值范围是 。
19.已知，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围
为 。
20.已知不等式对恒成立，则实数的最小值为 。
21.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 。
22.已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 。
23.已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
24.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
25已知函数，当时，，都有，则实数的最小值为 。
26若对任意恒成立，则实数的取值范围是 。
27.已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是 。
28.己知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为 。
29.设，若在定义域内恒成立，则的最大值为 。
30.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 。
31.关于的不等式恒成立，则实数的最小值为 。
32.若，，使不等式成立，则实数的取值范围为 。
33.已知对任意给定的，存在使成立，则实数的取值范围是 。
34.若，使不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 。
35.已知函数，若存在，使得，则实数的最小值是 。
36.关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 。
37.已知，若存在实数使不等式成立，则的最大值为 。
38.完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 。
（2）已知函数，若恒成立，则正数的取值范围
是 。
（3）已知函数，若恒成立，则正数的取值范围
是 。
（4）已知不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围是 。
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数与的大小关系是 。
（6）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 。
（7）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 。
（8）已知不等式，对恒成立，则的最大值为 。
（9）若函数最小值是0，则实数的取值范围是 。
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)2024届高三数学复习——《导数的应用-不等式恒成立小题》
ex 2 ex 2
+1+ lnx +1+ lnx
1． x 0，不等式 ， lnx ex 2 lnx +1+ lnx ，
ex 2 + x 2ax2 xlnx x 2a e 2a 2a
x x x
令h(x) = ex x 1，h (x) = ex 1，当 x 0时，h (x) 0，,当 x 0时， h (x) 0，所以h(x)在 (0,+ )上单调
递增，在 ( ，0)单调递减，故h(x) h(0) = 0 ,即对 x R ,恒有ex x+1成立，因此，当 x 0时，
ex 2 lnx +1+ lnx [(x 2 lnx) +1]+1+ lnx
=1，当且仅当 x 2 lnx = 0 时取“=”，令 (x) = x 2 lnx ， x 0，
x x
1
(x) =1 ，当0 x 1时， (x) 0，当 x 1时， (x) 0，即 (x)在(0,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调
x
2递增， （1） = 1 0 ， (e 2) = e 2 0， （4） = 2(1 ln2) 0，即 x (e ,1)，使得 (x1) = x1 2 lnx1 = 01 ，
ex 2 lnx +1+ lnx
x (1,4)，使得 (x2 ) = x2 2 lnx2 2 = 0，即 x 2 lnx = 0 有解，因此，不等式 1中能取到等号，
x
ex 2 lnx +1+ lnx 1 1
所以 的最小值为 1，即1≥2a，解得a ，所以实数a的取值范围是 ( , ]．
x 2 2
1 1 1 2021 x
2．令 f (x) = ln x x，则 f (x) = = ， 当 x (0,2021)时， f (x) 0，当 x (2021,+ )
2021 x 2021 2021x
b b
时， f (x) 0， f (2021) 0， 设0 a 2021 b，则 = t(t 1)，两式相减，得2021ln = b a，则
a a
2021ln t 2 22021t ln t 2021 t(ln t)
2021ln t = a(t 1)， a = ，b = at = ， ab = ，令 g(t) = t(ln t)2 (t 1)2，
t 1 t 1 (t 1)2
g (t) = (ln t)2
2
+2ln t 2t +2，令h(t) = (ln t)2 +2ln t 2t +2，则h (t) = (ln t +1 t) ，令m(t) = ln t +1 t，则
t
1
m (t) = 1 0， 函数m(t)在 (1,+ )上单调递减， m(t) m(1) = 0, 即h (t) 0, h(t) h(1) = 0， g (t) 0，
t
t(lnt)2
函数 g(t)在 (1,+ )上单调递减， g(t) g (1) = 0， t(ln t)2 (t 1)2 0， 12 ， ab 20212 ， (t 1)
实数 的取值范围为 2021
2 ,+ )，
x
f (x) = ln x f (x ) f (x ) = ln x ln x = ln 1 f (x ) f (x ) (x2 x2 23．∵ ，∴ 1 2 1 2 ,∵
x 1 2 1 2
) k (x1x2 + x2 )恒成立，且
2
x1 x x xx , x (0,+ )，∴ k ln 1 ln 1 11 2 恒成立，令 t = (t 0)， g (t ) = t ln t ln t (t 0)，则x2 x2 x2 x2
1 1
g (t ) = ln t +1 (t 0) ,因为 y = ln t, y = 是 t 0时的递增函数，故 g (t )在 (0,+ )上单调递增，且 g (1) = 0，
t t
∴当 t (0,1)时，g (t ) 0，g (t )单调递减，当 t (1,+ )时，g (t ) 0，g (t )单调递增，∴ g (t ) = g (1) = 0， min
∴ k 0，故实数 k 的最大值是 0
f (x) 1 π
4．令 g(x) = ，则 g(x) = 2cos x + (a +1) x2，由题意知对于任意的x ， x2 1 0， ，且 x1 x2都有x 2 2
1
f (x1 ) f (x2 ) f (x) π
x2 f (x1 ) x1 f (x2 )
0 成立，即 ，故 g(x1) g(x2)，即 g(x) = 是 0， 上的单调减函数；
x1 x2 x 2
π sin x a +1 π
故 g (x) = 2sin x + (a +1) x 0 在 x 0， 时恒成立，即 在 x 0， 时恒成立，设
2 x 2 2
π π π
y = sin x x, x 0， ，则 y = cos x 1 0, x 0， ，故 y = sin x x, x 0， 单调递减，所以sin x x 0，
2 2 2
π sin x a +1
即 sin x x, x 0， , 1，所以 1，即a 3
2 x 2
a
5．当 x (0,+ ) x 2时，由 f (x) g (x)，可得 x ln + ae x + x ，不等式两边同时除以 x可得
x
t
ln a ln x+ex+lna ln x x+1，即ex+lna ln x + x+ ln a ln x 1 0，令 t = x+ ln a ln x，h (t ) = e + t 1，其中 t R，
h (t ) = et +1 0，所以，函数h (t )在R 上为增函数，且h (0) = 0，由 h (t ) 0，可得 t 0，所以，对任意的 x 0，
1 1 x
x+ ln a ln x 0，即 ln a ln x x，令 p (x) = ln x x，其中 x 0，则 p (x) = 1= ，当0 x 1时，
x x
p ( x) 0 ，此时函数 p ( x)单调递增，当 x 1时， p ( x) 0，此时函数 p ( x)单调递减，所以，
1
ln a p (x) = p (1) = 1，解得a .
max e
ex ex ex
6．对任意 x 0 ，若不等式ax2 ex +ax ln x(a 0)恒成立,即 a(x ln x) 0，即 a ln 0 ，设
x x x
ex ex (x 1)
f (x) = (x 0)，则 f (x) = , f (1) = 0，当0 x 1时，f (x) 0，f (x) 在0 x 1时单调递减，当 x 1
x x2
时， f (x) 0， f (x) 在 x 1时单调递增，故当 x =1时， f (x) 取得极小值也是最小值，即 f (x) f (1) = e，令
ex t t ln t 1 t
t = , (t e) ，则 t a ln t 0，所以a , (t e)恒成立，设 g(t) = , (t e), g (t) = 0 ,故 g(t) = , (t e)
x ln t ln t (ln t)
2 ln t
是单调递增函数，故 g(t) g(e) = e，所以 a e ，又因为a 0，所以a的取值范围为 (0,e]
ex
7．由题意可得： x lna ln(x +1) + lna +1， e + x lna ln(x +1) + x +1， ex lna + x lna eln(x+1) + ln(x +1)，
a
令g(x) = ex + x，易得 g(x)在 (1,+ )上单调递增， x lna ln(x+1)，记 h(x) = x lna ln(x+1) ，则
1 x
h (x) =1 = ,故当 x ( 1,0)时，h ( x) 0，此时h(x)单调递减，当 x (1,+ )时，h ( x) 0，此时h(x)
x +1 x +1
单调递增，故h (x) = h (0) = ln a ，故只需 -ln a 0 0 a 1 amin ，故实数 的取值范围为 (0，1)．
x 1 1 2x 1 2x 1 2x
2 + x +1 (2x +1)( x +1)
8．由 ae 2 a ，设 f (x) =x 1 x 1 ，则 f (x) = = ，当 x (0,1)时，x xe xe x2ex 1 x2ex 1
f ( x) 0，当 x (1,+ )时， f ( x) 0，所以函数 f ( x)在区间 (0,1)上递增，在区间 (1,+ )上递减，故
f (x) f (1) =1，故 a 1 .
2
ax
9．令 f (x) = e e ax x ，则 f (0) = 0，由题意可知 x 0， f ( x) f (0) = 0 .当a = 0时，则当 x 0时，
f (x) ax ax= x 0 ，不合乎题意；当 a 0时， f (x) = a (e + e ) 1 0，即函数 f ( x)在 0,+ )上为减函数，
当 x 0时， f (x) f (0) = 0 ，不合乎题意；当a 0时，令 g ( x) = f ( x) 2，则 g (x) = a (eax e ax ) 0 ，即
1
函数 g ( x)在 0,+ )上为增函数，则 g ( x) = g (0) = 2a 1 .①当2a 1 0时，即当a 时，对任意的 x 0min ，2
f ( x) 0且 f (x)不恒为零，故函数 f ( x)在 0,+ )上为增函数，此时 f ( x) f (0) = 0，合乎题意；
1 ln a ln a
f = a (e ln a ln a 2②当2a 1 0时，即当0 a 时， 0， + e ) 1= a 0，
2 a a
ln a
所以，存在 x0 0, ，使得 f ( x0 ) = 0，且当0 x x 时， f ( x) 0，此时函数 f x0 ( )单调递减，则
a
1
f (x0 ) f (0) = 0，不合乎题意.综上所述，a的取值范围是 ,+ .
2
10．当 a 0 时， f (2) = ae2 1 0，不满足题意，舍去，所以a 0．令 f (x) = aex ln(x 1)+1(x 1)，则
1 ex
x x xf (x) = ae = a(x 1) e
x ，令 g(x) = a(x 1) e ，则 g (x) = a+e 0，则
g(x)在 (1,+ )上单
x 1 x 1
1 1 1 1 1
调递增，又 g(1) = 0 ，g(x) = a(x 1) a(x 1) ，则 g 1+ 0，所以存在唯一 x0 1,1+ 使
e ex e ae ae
1 x 1
得 g ( x0 ) = 0，即a (x0 1) = ，则ae
0 = x (1, x
x ，当 0 )时， g(x) 0 ，则 f (x) 0，则 f (x) 单调递减，
e 0 x0 1
当 x ( x0 ,+ )时， g(x) 0，则 f (x) 0，则 f (x) 单调递增，所以
1
f (x)min = f (
x 1
x0 ) = ae 0 ln (x0 1) 1= ln (x0 1) 1 0 恒成立．令h(x) = ln(x 1) 1，x (1,+ )，
x0 1 x 1
1 1
则 h (x) = 0，所以 h(x)在 (1,+ )上单调递减，又 h(2) = 0 f x2 ，所以 ( 0 ) 0 h (x0 ) h(2) ，(x 1) x 1
1 1 1
所以1 x 2．又因为a = x ，且 (x) = 在 (1,2]0 x 上单调递减，所以a ,+ 2 ． e 0 (x0 1) e (x 1) e
11．由 (a 1) x + ln (ax) ex ，则ax + ln (ax) ex + ln ex ，因为 y = x+ ln x在 (0,+ )上为增函数，所以ax ex，
x
ex ex e ( x 1)
即 a 对任意 x (0,+ )恒成立，设函数h ( x) = ，则h ( x) = ，由h ( x) 0可得0 x 1，由
x x x2
h ( x) 0可得 x 1，所以h (x)在 (0,1)上为减函数，在 (1,+ )上为增函数，所以a h (x) = h (1) = e，
min
因为ax 0对任意的 x (0,+ )恒成立，所以a 0，所以0 a e .
( 2 ) x (a 1) x + ln x ex ln a12．由已知可得a 0， x 0，由 a a x + a ln x e 2a ln a 可得 2ln a，所以，
x lna ln x+lna x xe + x ln a ax+ ln x+ ln a = e + ln x+ ln a，构造函数 f ( x) = e + x，其中 x R ，则 f (x) = e +1 0，
3
故函数 f ( x)在R 上为增函数，由ex lna + x ln a eln x+lna + ln x+ ln a可得 f (x ln a) f (ln x + ln a)，所以，
1 x 1
x ln a ln x+ ln a，即2ln a x ln x，令 g (x) = x ln x ，其中 x 0，则 g (x) =1 = .当0 x 1时，
x x
g ( x) 0，此时函数 g ( x)单调递减，当 x 1时，g ( x) 0 ，此时函数 g ( x)单调递增，则 g ( x) = g (1) =1，
min
2ln a 1，解得0 a e ，故实数a的最大值为 e .
13．由题对任意实数 x 0， aex 2 + 2ln a 3+ ln x，即 aex 2 ln x + 2ln a 3 0恒成立，一方面，当 x =1时，
1
ae 1 + 2ln a 3 0，令 h(a) = ae + 2ln a 3，易知h(a)是增函数，h(e) = 0，所以 h(a) h(e)，得a e；当a e时，
则 h(a)≤h(e) ，即 ae 1 + 2ln a 3≤0 ，于是 aex 2 + 2ln a 3+ ln x对 x =1不成立，与题设矛盾；另一方面，当a e
时， aex 2 ln x + 2ln a 3 e ex 2 ln x + 2ln e 3 = ex 1 ln x 1，令m (x)=ex 1 x ，则m (x)=ex 1 1，
易得当 x 1时，m ( x) 0，m ( x) m 单减，当 x 1时， ( x) 0，m ( x)单增，则m ( x) m (1) = 0，即ex 1 x ；
1 1 x
令 n (x) = ln x x +1，n (x) = 1= ，当0 x 1时，n ( x) 0，n (x)单增，当 x 1时，n ( x) 0，n (x)
x x
单减，则n ( x) n (1) = 0，即 ln x x 1，则 ln x x+1，则 ex 1 ln x 1≥ x + ( x +1) 1= 0，所以当a e时，
aex 2 ln x + 2ln a 3 0恒成立.
x+ln a
14．当 x 1时，由 f ( x) ln ( x 1)可得e + ln a +1 ln ( x 1)，即
x+lna ( ) ln(x 1)e + x+ ln a x 1+ ln x 1 = e + ln (x 1)，构造函数 g ( x) = ex + x x，其中 x R ，则 g ( x) = e +1 0，
x+ln a ln(x 1)
所以，函数 g ( x)在R 上为增函数，由e + x+ ln a e + ln (x 1)可得 g (x + ln a) g ln (x 1) ，
所以， x + ln a ln (x 1)，即 ln a ln ( x 1) x，其中 x 1，令h ( x) = ln ( x 1) x，其中 x 1，则
1 2 x
h (x) = 1= .当1 x 2时，h ( x) 0，函数h (x)单调递增，当 x 2时，h ( x) 0，函数h (x)单
x 1 x 1
1
调递减，所以， ln a h (x) = h (2) = 2， a . max
e2
x ln x + x
15．当 x 1时， f (x) kx k 恒成立，得 x 1时， (x 1)k x ln x + x，即 k 对 x 1恒成立．
x 1
x ln x + x ln x + x 2 1
设 g(x) = (x 1)，则 g (x) = 2 ，令 (x) = ln x + x 2(x 1) ，则 (x) = +1，
x 1 (x 1) x
∴当 x 1时， (x) 0, (x)在 (1,+ )上单调递增，而 (3) =1 ln3 0, (4) = 2 ln4 0，∴存在 x0 (3,4)，
使 ( x0 ) = 0，即 x0 2 = ln x0，当 x (1, x0 )时，g (x) 0，函数 g(x)单调递减．当 x ( x0 ,+ )时，g (x) 0，
函数 g(x)单调递增．∴ g(x)在 x = x0处有极小值（也是最小值），
4
x ln x + x x0 (x0 2) + x0
∴ g(x)min = g (x ) =
0 0 0
0 = = x0 (3,4)．又k g(x)恒成立，∴k g(x)min = x0 ．
x0 1 x0 1
∴k 的最大整数值为 3．
2 x
2
+ 4x + a 5
16．由题意可知，因为 4+ ln x 0对任意 x (1,+ )恒成立,所以
x x
( 24x + 2) ln x x2 4x a + 5 0，即a 5 (4x+ 2) ln x x 4x ， x (1,+ ) ， max
4x + 2 2
设 f (x) = (4x + 2) ln x x2 4x， x (1,+ )，则 f (x) = 4ln x + 2x 4 = 4ln x + 2x ，
x x
2
4 2 2x2 + 4x 2 2(x 1)
f (x) = 2 = = 0，所以 f (x)在 (1,+ )上单调递减，所以
x x2 x2 x2
2
f (x) f (1) = 4ln1+ 2 1= 0，所以 f (x) 在 (1,+ )上单调递减，所以
1
f (x) f (1) = (4 1+ 2) ln1 12 4 1= 5，所以a 5 5，解得a 0 .实数 a 的取值范围是 0,+ ) .
2 2 2
17．因为 f (x) 为奇函数，所以 f (x)+ f ( x) = ln ( 1+ x +mx)+ ln ( 1+ ( x) mx) = ln (1+ x m2x2 ) = 0
(k 2)x
恒成立，即1+ x2 m2x2 =1恒成立，所以m2 =1，因为m 0，所以m =1，所以g (x) = e 3ln x+ (3k 7) x 0
(k 2)x 3 x +3
恒成立.即e +3(k 2) x x+3ln x恒成立，记 g(x) = x+3ln x, (x 0)，则 g (x) =1+ = 0 ，
x x
所以函数 g(x)在 (0,+ )上单调递增，因为 (k 2)x ，所以 (k 2)x (k 2)xe 0 g(e ) = e +3(k 2)x ，所以
(k 2)x (k 2)x ( ) ln xe +3(k 2) x x+3ln x g(e ) g(x)恒成立，即 k 2 xe x，亦即 k + 2 恒成立
x
ln x 1 ln x
记 h(x) = +2，则 h (x) = 2 ，易知当0 x e时， h (x) 0，当 x e时， h (x) 0，所以当 x = e时，x x
1 1 1
h(x)有最大值h(x) 2+ ,+ max = h(e) = + 2，所以 k + 2 ，即 k 的取值范围为 e e e
1
18． xx ax ln x 0 exln x ax ln x 0，令 t = f ( x) = x ln x ，则 f ( x) = ln x +1，所以 f ( x)在 0, 上单调
e
1 1 1 1 1 1
递减，在 ,+ 上单调递减，所以 f (x) f x = ln = ，所以 t = f (x) ，所以 x ax ln x 0转
e e e e e e
t t 1
化为：et at 0，令 g (t ) = e at ，g (t ) = e a，①当 a 0 时，g (t ) 0 ，所以 g (t )在 ,+ 上单调递
e
1 1
1 1 1 1
增，所以 g (t ) = g = e e a e 1 0 a e ，所以 e e a 0 .②当a 0时，您 g (t ) = 0，所以min
e e
1 1 1
t = ln a，（i）当 ln a 即 a e e 时， g
(t ) 0，所以 g (t )在 ,+ 上单调递增，e e
1 1
1 1 1 1 1 1
g (t ) = g = e e a e 0 a e ，所以
0 a e e . (ii)当 ln a 即
e 时， g (t )在
min
e e
a e
e
5
1
, ln a 上单调递减，在 ln a,+ )上单调递增，
e
1
g (t ) = g (ln a) = eln a a (ln a) 0 a a ln a 0 1 ln a 0，所以a e，所以 min e e a e .
11
综上，a的取值范围为： e
e , e .
2 t 1 2
19．由题设，2ax e(ln ax ) e，令 t = ln ax ，则2et 1 t2 1 0恒成立，令 f (t ) = 2e t 1，则
f (t ) = 2(et 1 t )， f (t) = 2(et 1 1)，当t 1时 f (t) 0， f (t)递减；当 t 1时 f (t) 0， f (t)递增；
2a
所以 f (t) f (1) = 0，故 f (t) 递增，当 0 a 1，即 t (0, ln a]时， f (t) f (ln a) = (ln a)
2 1 0，不合题
e
2a
意；当 a 1，即 t [ln a,+ )
2
时，要使 f (t) 0恒成立，则 f (ln a) = (ln a) 1 0恒成立，令
e
2a 2 ln e ln a 2(ln a 1)g(a) = (ln a) 1且 a 1，则 g (a) = 2( )， g (a) = ，当1 a e时 g (a) 0， g (a) 递
e e a a2
减；当a e时 g (a) 0，g (a) 递增；所以 g (a) g (e) = 0，故 g(a)在 (1,+ )上递增，而 g(e) = 2 1 1= 0，
此时a e时 g(a) 0，即 f (ln a) 0恒成立.综上，a的取值范围为 e,+ ) .
ln x a
20．由题意得：不等式ax 对 x [1,+ )2 恒成立等价于不等式ax
3 ln x ax 0对 x [1,+ ) 恒成立，
x x
3
3 1 3ax ax 1 ax (3x 1) 1
设 g(x) = ax ln x ax = ax (x2 1) ln x(x 1)， g(1) = 0，则 g (x) = 3ax2 a = =
x x x
当 a 0 时， g (x) 0，则 g(x)在[1,+ )上单调递减， g(x) g(1) = 0与题意矛盾， a 0．令
h(x) = 3ax3 ax 1(x 1)，则h (x) = 9ax2 a = a(3x+1)(3x 1) 0， h(x)在[1,+ )上单调递增，
1
h(x) h(1) = 2a 1，当2a 1 0，即a 时，g (x) 0，则 g(x)在[1,+ )上单调递增， g(x) g(1) = 0，
2
1 1 3 1
符合题意；当2a 1 0，即0 a 时，由h(1) = 2a 1 0,h = 2 02 ，得存在 x0 1, ，使h ( x0 ) = 0，2 a a a
当 x (1, x0 )时，h(x) 0，即 g (x) 0，则 g(x)在 (1, x0 )上单调递减，则 g(x) g(1) = 0，不符合题意，因此
1
实数 a 的最小值为 ．
2
ax ln x 0 ax ln x 0
21．由不等式 (ax ln x)(ex ax) 0对任意 x 0恒成立，可得 x ，或 ，
e ax 0 e
x ax 0
lnx lnx
a a x x ex ln x e
x
( ) (
x 1)
即 ，或 ，令 f (x) = ，g x = ．则 f ( x) = ，当 x 1时， f ( x) 0，函数 f ( x)
ex x e x x x
2
a a
x x
单调递增；当0 x 1时， f ( x) 0，函数 f ( x)单调递减；可得函数 f ( x)在 x＝1外取得极小值，也是最小
6
1 ln x
值，且 f (1) = e； g (x) = ，当 x e时， g ( x) 0，函数 g ( x)单调递减；当0 x e时， g ( x) 0 ，
x2
1
函数 g ( x)单调递增；可得函数 g ( x)在 x = e时取得极大值，也是最大值，为 g (e) = ，
e
lnx lnx
a a x 1 x 1
若 ，则 a e．若 ，则 a 的解集为 ．综上可得，实数 a 的取值范围是 ,e ， x x
e ea
e e
a
x x
1
故答案为： ,ee
.
22．不等式 x xe +alnx xa + x可变形为e x x
a alnx = ealnx alnx .因为a 0且 x 1，所以alnx 0 .
令 f (u ) = eu u(u 0) u，则 f (u) = e 1 0 .所以函数 f (u)在 (0,+ )上单调递增.不等式ex x ealnx alnx等
x x lnx 1
价于 f (x) f (alnx)，所以 x alnx .因为 x 1，所以a .设 g (x) = (x 1)，则 g (x) = .当 x (1,e2 )
lnx lnx (lnx)
时，g ( x) 0，函数 g ( x)在 (1,e)上单调递减；当 x (e,+ )时，g ( x) 0 ，函数 g ( x)在 (e,+ )上单调递增.
所以 g(x)min = g (e) = e，所以0 a e .故正实数a的取值范围是 (0,e .
x-1 x-2 a
23．易知a 0，将原不等式变形：e a ln (ax 2a) a(a 0) ，e ln (ax 2a) lne ，可得e
a (x 2) a(x 2 ax 2a ) ax 2a ln( tx 2)ex-2 ln ，即 (x 2)e
x-2 ln e
e ，其中 x 2 .设h (t ) = te ，则
e e e
h '(x) = (t +1)et
ax 2a ax 2a
，原不等式等价于h (x 2) h ln .当 ln 0 时，原不等式显然成立；
e e
ax 2a ax 2a e
x 1
ex 1
当 ln 0 时，因为h (t )在[0,+ )上递增， x 2 ln a 恒成立，设 (x) = ，
e e x 2 x 2
x 3
则 (x) = e
x 1
2 ，所以 ( x)在 (2,3)递减，(3,+ )递增，所以 ( x)的最小值为 (3) = e2 ，故0 a e2 .
(x 2)
2
故答案为： (0,e )
x 1 x 1 x 1
24．因为 x (1,+ )，所以 ln x 0，所以 ln x + a，即a ln x，设函数 f (x) = ln x ，x (1,+ )，
ln x ln x ln x
x ln x x +1 ln2 x x (ln x 1)+ (1 ln x)(1+ ln x) (ln x 1)(x 1 ln x)
f (x) = = = ，
x ln2 x x ln2 x x ln2 x
' x 1 'h(x) = x 1 ln x h (x) = ， 当 x (1,+ )时，h ( x) 0，h (x)单调递增，所以 x (1,+ )时，
x
h (x) h (1) = 0，所以，当 x (1,e)时， f x 0， f ( x)单调递减，当 x (e,+ )时， f x 0 ， f ( x)单
调递增，所以 f (x) = f (e) = e 2min ，所以a e 2，故答案为： ( , e 2) .
7
25． x (1,+ )，都有 f (x) 0，所以 (a 1)ln x xa x
(a 1) ln x
e 恒成立，即 xe
x
a 1 恒成立，亦即x
x1 a ln x1 a xex ，即为 ln x1 aeln x
1 a
xex
x
对 x 1恒成立.记 g ( x) = xe ,(x 1) .因为 g (x) = (x +1)ex 0，所以
g ( x)在 (1,+ )上单调递增函数.所以 ln x1 a x恒成立，即 (1 a) ln x x恒成立.因为 x 1，所以 ln x 0，所
x x ln x 1
以1 a 恒成立.记h (x) = ,(x 1) .因为h (x) = 2 ，所以当 x e时，h ( x) 0，所以h (x)在
ln x ln x (ln x)
(e,+ )上单调递增函数；当1 x e 时，h ( x) 0，所以h (x)在 (1,e)上单调递减函数.所以 h ( x) h (e) = e，
即1 a e，解得：1 e a .又 a 0，所以1 e a 0 .故答案为： 1 e,0)
26．先证明一个结论：ex x+1 ，设 f (x) = e
x x 1, f (x) = ex 1 ，当 x 0 时， f (x) 0, f (x) 递减，当
x 0 时， f (x) 0, f (x)递增，故 f (x) f (x)min = f (0) = 0 ，即e
x x 1 0,ex x+1；对于
ln x + 2k xex+1x+1 ln xe k 0对任意 x 0恒成立，分离参数得 k , (x 0)恒成立 ，令
x x + 2
xex+1 ln x eln x+x+1 ln x ln x + x + 2 ln x
g(x) = , (x 0)，则 g(x) = =1，当且仅当 ln x + x +1= 0时取等号，
x + 2 x + 2 x + 2
1 1 1
而 t (x) = ln x + x +1是增函数，且 t (1) = 2 0, t = 1 0，故存在 x0 ,1 ,使得 t (x0 ) = 02 2 2 ，故等号能
e e e
够成立，故 k 1 ，故答案为： ( ,1
1
1 1 1
27．由题意，不等式可变形为 e x x2a 2a ln x，得 x x 0,1
x e ln e
x x2a ln x2a 对任意 ( )恒成立.
1 1 x 1
设 f ( x) = x ln x f e x f (x2a，则 ) 对任意 x (0,1)恒成立， f (x) =1 = ，当0 x 1时， f ( x) 0，
x x
所以函数 f ( x)在 (0,1)上单调递减，当 x 1时， f ( x) 0，所以函数 f ( x)在 (1,+ )上单调递增.当 x (0,1)
1
时，e x e，因为求实数a的最小值，所以考虑 a 0的情况，此时 x
2a 1，因为函数 f ( x)在 (1,+ )上单调递
1 1 1 1
增，所以要使 f x e f (x2a )，只需 x 0,1e x x2a ，两边取对数，得上 2a ln x，由于 ( )，所以 2a .
x x ln x
1 1 1
令 h(x) = x ln x (x (0,1)) h ，则 ( x) = ln x +1，令h ( x) = 0，得 x = ，易得h (x)在 0, 上单调递减，在 ,1
e e e
1 1 1 e
上单调递增，所以h (x) = hmin = ，所以 = e ，所以2a e，所以实数a的最小值为 .
e e h (x) max 2
e
故答案为： .
2
x alnx
28． xa+1
x
ex +alnx 0，∴ xe = alnx e
alnx
a ，构造函数 f ( x) = xe ，显然 f ( x)在 (0，+ )上单调递增，x
8
x x
故 f (x) f ( alnx)等价于 x alnx，即a 任意的实数 x 1恒成立，．令 g(x) = ， x 1则
lnx ln x
g
ln x 1 x
(x) = ，故 g(x)在 (1,e)上单调递减，在 (e,+ )上单调递增， g(x) = e，得a = e2 min ． ln x lnx max
故答案为： e
x
x
a
29．因为a 0且 a 2 e b
b
e a ln (ax+b) b ，可得 f x = a ln ax + b a ln (ax +b)，令 ( ) ( )，其中 x ，由
a a
y x
a
y = a ln (ax + b)可得 e b fx = ，所以，函数 ( x)
a
= a ln (ax + b)的反函数的解析式为 1 e bf (x) = ，
a a
x
2
所以，e
a b b a
( a ln ax + b x g x = a ln ax + b x a ln ax +b)等价于 ( ) ，令 ( ) ( ) ，其中 x ，则 g (x) = 1，
a a ax +b
b b b b
令 g ( x) = 0 可得 x = a ，当 x a 时，g ( x) 0 ，此时函数 g ( x)单调递增，当 x a 时，g ( x) 0，
a a a a
b b b
此时函数 g ( x)单调递减，所以， g (x) = g a = a ln a
2 a a ln a2 ，所以， a 0max ，
a a a
eab a
所以， ab a2 2a2 ln a，所以， e (a 2a ln a)，令h (a) = e (a 2a ln a)，其中a 0，则
a
2
h (a) = ea (a 1 2a ln a 2ln a)，令 p (a) = a 1 2a ln a 2ln a ，则 p (a) = 2ln a 1，
a
2 2 2 2(1 a)
令m(a) = 2ln a 1，其中a 0，则m (a) = + = ，当0 a 1时，m (a) 0，此时函数m (a )
a a a2 a2
单调递增，当 a 1时，m (a) 0，此时函数m (a )单调递减，则m (a) m (1) = 3 0，所以， p (a) 0，即
函数 p (a)在 (0,+ )上单调递减，且 p (1) = 0，当 0 a 1时， p (a) 0，即h (a) 0，此时函数h (a)单调递
增，当 a 1时， p (a) 0，即 h (a) 0，此时函数 h (a)单调递减，所以，函数 h (a)在 a =1处取得极大值，
eab
亦即最大值，即h (a) = h (1) = emax ，所以， 的最大值为 e .故答案为： e .
a
x
30． 由 x (e + a) ln x +1可得ax ln x+1 xex ，因为 x 0，所以
ln x +1 xex ln x +1 ex+ln x x ' x
a = ．令 f ( x) = e x 1，则 f ( x) = e 1，
x x
'
当 x 0时， f ( x) 0 '，当 x 0时， f ( x) 0，所以 f ( x)在 ( ,0)上
单调递减，在 (0,+ )上单调递增， f ( x) f (0) = 0，即ex x+1（当
且仅当 x = 0时取等号），故ex+ln x x+ ln x+1，当且仅当 x+ ln x = 0时取等号．在同一坐标系中画出 y = ln x与
y = x 的图象，如图所示，可知两函数在 (0,1)之间有一个交点，故存在 x (0,1)，使得 x+ ln x = 0成立，故
9
ln x +1 ex+ln x ln x +1 (ln x +1+ x)
= 1，故a 1，即实数 a 的取值范围为 1,+ )．故答案为： 1,+ )
x x
emx 1ln +mx
31．∵ x 0，∴不等式两边同时除以 xm ，得：ex + x +m(x ln x)，∴ex + x e xmm +m (x ln x) ∴x
ex + x emx m ln x +m (x ln x) x m(x ln x)，∴e + x e +m(x ln x) ①令 f ( x) = ex + x，可知 f ( x)单调递增.
①式等价于 f ( x) f (m (x ln x))恒成立，∴ x m ( x ln x)恒成立.构造 ( x) = x ln x (x 0)，则
x 1
(x) = ，故当 x (0,1)时 (x) 0，当 x (1,+ )时 ( x) 0，所以 ( x) = x ln x (x 0)在 x =1时取得
x
x x
最小值.即 (x) = x ln x (0) =1 0，∴ x ln x 0，∴m 恒成立，令 g (x) = (x 0)
x ln x x ln x
1
x ln x x 1
∴ g ( x) x 1 ln x ，∴当 x (0，e)时，g ( x) 0 ，∴ g ( x)单调递增；当 x (e，+ = = )时，
2 2
(x ln x) (x ln x)
e e e
g ( x) 0，∴ g ( x)单调递减；∴ g ( x)的最大值为 g (e) = ∴m ，故实数m的最小值为 .
e 1 e 1 e 1
e
故答案为：
e 1
32．不等式 (xk + x + klnx) ex aex + ea 对 k 1成立，即ex xk + k lnx ex + x ex aex ea 0
设 f (k ) = ex xk + k lnx ex + x ex aex ea ， k 1，因为 x 2, 4 ， k 1，所以 f (k )单调递增
所以只需 f (1) 0，即 x 2, 4 使得 (x + x + lnx) ex aex + ea 成立，即2x+ lnx ea x a成立，因为
1
g (x) = 2x + lnx ea x ,(x 2,4 )，g (x) = 2+ + ea x 0 g ( x)单增，所以 g (x) = g (4) = 8+ ln4 ea 4 a ，
x max
(a 4)+ ea 4 4+ ln4 F (x) = x + ex (x R) F ( x) F (ln4) = ln4+ eln4即 ，记 ，则 在R 上单增，且 = 4+ ln4，
所以a 4 ln4即 a 4+ ln 4，故答案为： ( , 4+ ln 4
33． ln a =memb lnb， mbemb b lnb = lnb elnb ，当 lnb 0 即0 b 1时，mbe
mb 0,lnb elnb 0，∴
mbemb
x
lnb elnb 显然成立，当 lnb 0即b 1时，构造函数 f ( x) = xe ，∴ f (mb) f (lnb) ，显然 f ( x)在
ln b ln b 1 ln b
(0，+ )上单调递增，∴mb ln b,m ，设 g(b) = , g (b) = ，令 g (b) = 0 b = e g(b) 在 (1，e)
b b b
2
1 1
上 ， (e,+ ) 上 ，∴ g(b)max = g(e) = ∴m ，故实数 m 的取值范围
e e
1 1
为[ ,+ ) .故答案为：[ ,+ )
e e
34. 由题ae1 x = elna+1 x，原式变形：eln a ln a elna+1 x +ex e x，移项且两
10
t
边同时加 1 得e (ln a +1 x)+1 eln a+1 x + ln a +1 x ，令 ln a+1 x = t ，原式可得et +1 et + t ，令 f (t ) = e + t ，
g (x) = et +1，因为 g (0) = f (0) =1， g (1) = f (1) = e +1，由下图图像可知，当 f (x) g (x)时，可得
t 0,1 ，故0 ln a +1 x 1，所以 x 1 ln a x，因为题目中为存在性命题，且 x 0，2 ，所以 1 ln a 2，
1 2 1 2
解得 a e ，故答案为： ，ee
e
x ln x + x
35．由题意知： x0 (1，+ )， ( ) ( )
0 0 0
f x0 = x0lnx0 + 1 a x0 + a 0，即 x0 (1,+ )，使得 a 成立，x0 1
xlnx + x x lnx 2g (x) = 3 ln 3 2 1 ln 3 2 ln 4则令 g (x) = ，x (1，+ )， 2 ， g '(3) = = 0, g (4) = 0，∴
x 1 (x 1) 4 4 9
x0 (3,4) ,使得 g (x0 ) = 0 ，可得 lnx = x 2， x (1，x )时， g 0 (x) 0，g (x0 0 )递减，
x0 ln x0 + x0 x0 (x0 2) + x
x (x ，+ )时， g (x) 0，g (x)递增， g (x) = g (x 00 ) = = = x0 min 0， x0 1 x0 1
a x0 即可，又 a Z ， amin = 4．故答案为 4．
2
2 x x
36．①当 x =1时，原不等式不成立；②当 x 1时，由 x a (x 1)e 0 恰有一个整数解，得 a
(x 1)ex
恰
x2 x (x2 2x + 2)
有一个整数解.令 f (x) = , x (1,+ )，则 f (x) = 0，因此函数 f ( x)在区间 (1,+ )上
(x 1)ex 2(x 1) ex
x2
a 2 x单调递减，易得 x 不可能只有一个整数解，故不满足；③当 x 1时，由 x a (x 1)e 0 恰有一(x 1)e
x2 x (x2 2x + 2)
个整数解，得 ax 恰有一个整数解.由②可知 f (x) = ，易得函数 f ( x)在区间 (0,1)上(x 1)e 2(x 1) ex
x2e
单调递减，在区间 ( , 0 上单调递增，故 f (x) = f (0) = 0 .又因 f ( 1) = max ，且 a(x 1)ex
恰有一个整
2
e e e
数解，所以 f (0) a f ( 1)，即 a 0 .综上，a ,0 .故答案为： , 0 . 2 2 2
mx+1
37． 依题意m 0，存在实数 x [1,+ )使不等式m 2 log x 02 成立，
1 x
m 2mx 2 2log x 0 2mx2 ， log2 x 0,(2m ) log m x 0 ，令a = 2m ,a 1，则
m 2
存在实数 x [1,+ )
x
使不等式a loga x 0,a
x loga x ，成立. y = a
x 和 y = loga x
的图象如下图所示，结合图象可知，m取得最大值时， y = ax 与 y = loga x相切，
11
由于 y = ax 和 y = loga x关于直线 y = x 对称，所以m取得最大值时，y = a
x 与 y = loga x相切于直线 y = x（切
1 1 1
点相同），如图所示. y = log x y
' = ，设切点为 (t, log ta a )，则斜率为 =1 t = ①.
x ln a t ln a ln a
at = log t
a
y = ax y' = ax ln a，设切点为 (t,at )，则斜率at ln a =1，则 1 ，loga t ln a = ln t =1 t = e，
a
t ln a = =1
t ln a
1 1 1 1 1 1
将 t = e代入①得e = ，即 ln a =
m
，所以 ln 2 = ,m ln 2 = , m = ，故答案为：
ln a e e e e ln 2 e ln 2
x
38. （1） f (x) 0 xe a (x + lnx) 0 ex+lnx a (x + lnx) et at (t = x + lnx)，
et
a (t 0) t et et (t 1) et
．又 y = ，
'
y ' = ，令 y 0，得 t 0或0 t 1，令 y' 0，得 t 1，所以 y = 在
et t t
2 t
a (t 0)
t
et
a (t 0) t a 0
( ,0)，(0,1)递减，在 (1,+ )递增，所以，当 t 0时，y 0，t 0时，y e， 0 a e
t
e a ea (t 0)
t
（2） f (x) 0 xex a (x + lnx +1) 0 ex+lnx a (x + lnx +1)，当 x+ lnx+1 0时，原不等式恒成立；
ex+lnx ex+lnx x + lnx +1
当 x+ lnx+1 0时，a ，由于 =1，当且仅当 x+ lnx = 0等号成立，所以a 1．
x + lnx +1 x + lnx +1 x + lnx +1
（3）f (x) 0 xex + e a (x + lnx +1) 0 ex+lnx + e a (x + lnx +1)，当 x+ lnx+1 0时，原不等式恒成立；
ex+lnx + e
当 x+ lnx+1 0时，a ，由（1）中可得ex ex，当 x =1时，等号成立，
x + lnx +1
ex+lnx + e e(x + lnx)+ e
所以 = e，当且仅当 x+ lnx =1等号成立，所以a e．
x + lnx +1 x + lnx +1
xex lnx xex lnx ex+lnx lnx x + lnx +1 lnx
（4） xex a (x +1) lnx a ，由于 = =1，所以a 1．
x +1 x +1 x +1 x +1
ex+blnx
（5） f (x) 0 xbex alnx + x +1 ex+blnx
x 1
x 1 alnx a ．
lnx
ex+blnx x 1 x +blnx +1 x 1
由于 = b，当且仅当 x+blnx = 0等号成立，所以a b．
lnx lnx
x lnx +1
（6）ae lnx 1 0 a x ，由于 lnx+1 x，e
x ex，两者都是当且仅当 x =1等号成立，则
e
lnx +1 x 1 1
= ，所以 a≥ ．
ex ex e e
2x ln2x +1 1
（7）ae ln2x 1 0 a 2x ，由于 ln2x+1 2x，e
2x e 2x，两者都是当且仅当 x = 等号成立，则
e 2
ln2x +1 2x 1 1
= a
e2x
，所以 ．
2ex e e
12
ex lnex
（8）ex 1 kx + lnx k ，由于 lnx+1 x，e2x e 2x，两者都是当且仅当 x =1等号成立，所以
x x
ex lnex ex lnex
e， 1，则 e 1，所以 k ≤ e 1．
x x x x
lnx
（9）xe ax +ax lnx 1= e ax+lnx +ax lnx 1 ax+ lnx+1+ax lnx 1= 0，当且仅当 ax+ lnx = 0，即a =
x
lnx ln x ' 1 ln x ln x 1
时等号成立．由a = 有解，y = ，y = 2 ，易知 y = 在 (0,e)上递增，在 (e,+ )递减，y y |x=e= ，x x x x e
1 1 1 1
所以a ，故答案为:0 a e；0 a 1；0 a e；a 1；a b； a≥ ；a ；e 1；a
e e e e
13
