第7章三角函数 综合测试（2）（含解析）

【原卷版】 《第 7 章 三角函数》综合测试【2】
生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚；
2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；
3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；
一、填空题（每小题3分，共36分）
1、函数y＝2sin的值域是 .
2、函数f(x)＝tan的周期为
3、已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为 .
4、函数y＝|sin|的最小正周期是 .
5、设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈R，且以为最小正周期．若f＝，则sinα＝________.
6、函数y＝tan的单调增区间为 ．
7、函数y＝＋的定义域为________.
8、已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是，则f(π)＝________.
9、已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(10)的值是________.
10、函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.
11、关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②存在φ，使f(x)是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中错误的是________(填序号)．
12、函数y＝取到最大值时x的取值集合为
二、选择题：（每题3分，共12分）
13、函数y＝tanx的值域是(　 　)
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
14、下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　 　)
A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
15、函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( 　 　)
A．－1 B．－
C． D．0
16、函数y＝sinωx(ω为正整数)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，则ω的值不可能是(　 　)
A．57 B．59
C．61 D．63
三、解答题：(共52分)
17、（本题8分）
求函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈的值域．
18、（本题8分）
（1）利用“五点法”画出函数f(x)＝y＝sin在长度为一个周期的闭区间的简图；
列表：
x＋
x
y
作图：
（2）说明该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样变换得到；
（3）求函数f(x)图象的对称轴方程．
19、（本题10分）
已知函数f(x)＝3tan.
（1）求它的最小正周期和单调递减区间；
（2）试比较f(π)与f的大小．
20、（本题12分）
已知函数f(x)＝tan.
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）求函数f(x)图象的对称中心．
21、（本题14分）
已知函数f(x)＝2sin.
（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值，并求出x为何值时，f(x)取得最大值；
（2）求函数f(x)在[－2π，2π]上的单调递增区间；
（3）若x∈[0,2π]，求f(x)值域．
【解析版】 《第 7 章 三角函数》综合测试【2】
生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚；
2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；
3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；
一、填空题（每小题3分，共36分）
1、函数y＝2sin的值域是 .
【答案】 [0，2]
【解析】∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1，∴y∈[0,2]．
2、函数f(x)＝tan的周期为
【答案】2π；
【解析】解法1：(定义法)∵tan＝tan，
即tan＝tan，∴f(x)＝tan的周期是2π.
解法2：(公式法)f(x)＝tan的周期T＝2π.
3、已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为 .
【答案】，k∈Z
【解析】由x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，∴函数图象的对称中心坐标为，k∈Z.
4、函数y＝|sin|的最小正周期是 .
【答案】2π
【解析】∵y＝sin的最小正周期为T＝4π，而y＝|sin|的图象是把y＝sin的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y＝|sin|的最小正周期为T＝2π.
5、设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈R，且以为最小正周期．若f＝，则sinα＝________.
【答案】±
【解析】因为f(x)的最小正周期为，ω>0，所以ω＝＝4.所以f(x)＝3sin
.因为f＝3sin＝3cosα＝，所以cosα＝.
所以sinα＝±＝±.
6、函数y＝tan的单调增区间为 ．
【答案】，k∈Z；
【解析】令kπ－kπ－即函数y＝tan的单调增区间为，k∈Z.
7、函数y＝＋的定义域为________.
【答案】
【解析】由题意，得所以2kπ－所以函数y＝＋的定义域为.
8、已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是，则f(π)＝________.
【答案】
【解析】由＝，得ω＝6.所以f(π)＝cos＝cos＝.
9、已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(10)的值是________.
【答案】20
【解析】f(10)＝f(6×1.5＋1)＝f(1)＝20.
10、函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.
【答案】2－. ；
【解析】当0≤x≤9时，x－∈，所以函数的值域是[－，2]，
所以最大值与最小值之和是2－.
11、关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②存在φ，使f(x)是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中错误的是________(填序号)．
【答案】①④
【解析】φ＝0时，f(x)＝sinx，是奇函数，φ＝时，f(x)＝cosx是偶函数．
12、函数y＝取到最大值时x的取值集合为
【答案】{x|x＝2kπ，k∈Z}
【解析】由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，
所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.；
当cosx＝1时y取得最大值，此时x的取值集合为{x|x＝2kπ，k∈Z}．
二、选择题：（每题3分，共12分）
13、函数y＝tanx的值域是(　 　)
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
【答案】B
【解析】根据函数的单调性可得值域为[－1,0)∪0,1]．
14、下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　 　)
A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
【答案】A
【解析】作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．
由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，
在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.
15、函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( 　 　)
A．－1 B．－
C． D．0
【答案】B
【解析】∵x∈，∴－≤2x－≤，∴当2x－＝－时，f(x)＝sin取得最小值－.
16、函数y＝sinωx(ω为正整数)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，则ω的值不可能是(　 　)
A．57 B．59
C．61 D．63
【答案】A；
【解析】因为函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，所以9T＋≤1，即9·＋·≤1，
解得ω≥.又ω为正整数，所以ω>58.故选A
三、解答题：(共52分)
17、（本题8分）
求函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈的值域．
【解析】令t＝tanx.∵x∈，∴t＝tanx∈[－1，]．∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6.
∵抛物线开口向下，对称轴为t＝1.
∴当t＝1时，ymax＝6.
当t＝－1时，ymin＝－(－1－1)2＋6＝2.
∴函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈的值域为[2,6]．
【说明】求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域．对于求由正切函数复合而成的函数的定义域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
18、（本题8分）
（1）利用“五点法”画出函数f(x)＝y＝sin在长度为一个周期的闭区间的简图；
列表：
x＋
x
y
作图：
（2）说明该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样变换得到；
（3）求函数f(x)图象的对称轴方程．
【解析】 （1）先列表，后描点并画图．
x＋ 0 π 2π
x －
y 0 1 0 －1 0
（2）把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，再把所得图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，
即y＝sin的图象．
（3）由x＋＝kπ＋，k∈Z，
可得x＝2kπ＋，k∈Z，
所以函数的对称轴方程是x＝2kπ＋，k∈Z.
19、（本题10分）
已知函数f(x)＝3tan.
（1）求它的最小正周期和单调递减区间；
（2）试比较f(π)与f的大小．
【解析】（1）因为f(x)＝3tan＝－3tan，所以T＝＝＝4π.
由kπ－<－4kπ－因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增，
所以f(x)＝3tan在(k∈Z)上单调递减．
故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．
（2）f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，
f＝3tan＝3tan＝－3tan，
因为<，且y＝tanx在上单调递增，所以tanf.
20、（本题12分）
已知函数f(x)＝tan.
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）求函数f(x)图象的对称中心．
【解析】（1）对于函数f(x)＝tan，令x－≠kπ＋，k∈Z，求得x≠kπ＋，k∈Z，
故函数的定义域为.
（2）令kπ－可得函数的单调递增区间为，k∈Z.
（3）令x－＝，k∈Z，
求得x＝＋，k∈Z，
故函数图象的对称中心为，k∈Z.
21、（本题14分）
已知函数f(x)＝2sin.
（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值，并求出x为何值时，f(x)取得最大值；
（2）求函数f(x)在[－2π，2π]上的单调递增区间；
（3）若x∈[0,2π]，求f(x)值域．
【解析】 （1）T＝＝4π，
当2sin＝2，即x－＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋4kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值为2.
（2）令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
设A＝[－2π，2π]，B＝，k∈Z，
所以A∩B＝，
即函数f(x)在[－2π，2π]上的单调递增区间为.
（3）由x∈[0,2π]，得x－∈，
根据正弦函数图像可知sin∈，2sin∈[－，2]．
所以f(x)的值域为[－，2]．