鲁教版九年级下册5.4 圆周角和圆心角的关系同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝26°，则∠B的度数为（ ）
A．64° B．74° C．54° D．60°
2．如图，在⊙O中，弦AB＝3，圆周角∠ACB＝30°，则⊙O的半径等于（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
3．如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．如图，点P是⊙O上一点，若∠AOB＝70°，则∠APB的度数为（ ）
A．110° B．145° C．135° D．160°
6．如图，在⊙O中，点C在上．若，∠AOB＝120°，则∠BCD的度数为（ ）
A．60° B．30° C．150° D．90°
7．如图，点A，B，C在半径为5的⊙O上，AB＝6，则cos∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD，已知BD＝8，CD＝5，AB＝6，∠BDC＝60°，则AD＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
9．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD，DC，AC，如果∠C＝65°，那么∠BAD的度数是 ．
10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD＝ ．
11．若⊙O中，弦AB的长度是半径的倍，则弦AB所对圆周角的度数为 °．
12．如图，AE是直径，点B、C、D在半圆上，若∠B＝125°，则∠D＝ °．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2；下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若点P为AC的中点，则CE＝2OE；③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是 ．
三．解答题（共4小题）
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠CAB＝∠BCD；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
15．如图A，B，C，D为⊙O上的四点，点E为CB延长线上的一点，且AB⊥AD，点C为弧BD的中点．
（1）若∠ABE＝82°，求∠ADB的度数．
（2）若，求AD的长．
16．（1）如图1，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BAC＝20°，＝，求：
①∠ADC的度数；
②∠DAC的度数；
（2）如图2，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若⊙O的半径为4，求弦AB的长．
17．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）如图2，过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，若OH＝5，AD＝24，求⊙O直径的长．
鲁教版九年级下册5.4 圆周角和圆心角的关系同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝64°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余，掌握圆周角定理是解题关键．
2．【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理，可求得∠AOB＝60°，结合OA＝OB，可证得△AOB为等边三角形．
【解答】解：如图所示，连接OA，OB．
根据题意可知，线段OA即为⊙O的半径．
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°．
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
∴OA＝AB＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、等边三角形的判定及性质，牢记圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键．
3．【分析】连接OC，OB，根据圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝60°，继而得出△OCB是等边三角形，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接OC，OB，
∵，∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
又∵OC＝OB＝6，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
4．【分析】根据，∠得出∠AOD＝∠DOC，计算，根据OA＝OD，计算，选择答案即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴，
∵OA＝OD，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键．
5．【分析】取优弧上一点C，连接AC，BC，由圆周角定理，得∠ACB＝35°，运用圆内接四边形对角互补求解．
【解答】解：如图，取优弧上一点C，连接AC，BC，则，
∴∠APB＝180°﹣∠ACB＝145°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理、圆内接四边形；由相关定理得角之间的数量关系是解题的关键．
6．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠AOB＝2∠BCD，即可求出∠BCD的角度．
【解答】解：∵，
∴∠AOB＝2∠BCD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BCD＝60°．
故选：A．
【点评】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半．
7．【分析】作直径AD，连接BD，勾股定理求得BD，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，进而根据余弦的定义即可求解．
【解答】解：如图所示，
作直径AD，连接BD，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝2×5＝10，AB＝6，
∴，
∵，
∴∠D＝∠C，
∴coc∠ACB＝cosD＝，
故选：B．
【点评】本题考查了求余弦，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，过点B作BG⊥AC，垂足为G，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC＝∠BAC＝60°，在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和BE的长，从而求出CE的长，再在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BC的长，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的长，从而在Rt△BCG中，利用勾股定理求出CG的长，进而求出AC的长，最后利用托勒密定理，进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，过点B作BG⊥AC，垂足为G，
∵∠BDC＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
在Rt△BDE中，BD＝8，
∴DE＝BD cos60°＝8×＝4，
BE＝BD sin60°＝8×＝4，
∵CD＝5，
∴CE＝CD﹣DE＝5﹣4＝1，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝7，
在Rt△ABG中，AG＝AB cos60°＝6×＝3，
BG＝AB sin60°＝6×＝3，
在Rt△BCG中，CG＝＝＝，
∴AC＝AG+CG＝3+，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴AD BC+AB CD＝AC BD，
∴7AD+6×5＝8（3+），
解得：AD＝，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．【分析】连接BC，先根据圆周角的定理得出∠BCA＝90°，故可得出∠BCD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠ACD＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BAD＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
10．【分析】证明∠ADB＝90°，∠ABD＝36°，可得结论．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54°．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆周角定理解决问题．
11．【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，先根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【解答】解：连接OA、OB，C为优弧AB上一点，D为劣弧AB上一点，如图所示：
设OA＝OB＝r，
∵AB＝r，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝135°，
即弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故答案为：45或135．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．【分析】连接AD，根据圆内接四边形对角互补可得∠ADC＝55°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADE＝90°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：连接AD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝55°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝145°，
故答案为：145．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出∠CAD＝∠CAB，由AB是⊙O的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点P为AC的中点，得出AP＝CP，进而证明△APD≌△CPE（AAS）全等三角形的判定和性质，得出AD＝CE，进而根据三角形中位线定理得出AD＝2OE，等量代换得出CE＝2OE即可判断②，连接OD，根据垂径定理得出，根据AC＝BD得出，则，得出△OBC为等边三角形，由BD⊥OC，即可得出CE＝OE继而判断③；勾股定理得出AD2+BD2＝AB2＝4，当BC≠AD时，BC2+BD2≠4，即可判断④．
【解答】解：①∵OC⊥BD，
∴，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°
故①正确，符合题意；
②∵点P为AC的中点，
∴AP＝CP，
∵AB为直径，
∴∠ADP＝90°＝∠CEP，
∵∠APD＝∠CPE，
∴△APD≌△CPE（AAS），
∴AD＝CE，
∵OA＝OB，ED＝EB，
∴AD＝2OE，
∴CE＝2OE，
故②正确，符合题意；
③连接OD，
∵OC⊥BD
∴
∵AC＝BD，
∴
∴，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵BD⊥OC，
∴CE＝OE，
故③正确，符合题意；
④∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2＝4，
当BC≠AD时，BC2+BD2≠4，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
三．解答题（共4小题）
14．【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接OC，根据垂径定理得到CE＝DE，再利用勾股定理计算出CE，然后计算2CE即可．
【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴弧BC＝弧BD．
∴∠A＝∠BCD；
（2）连接OC，
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE＝ED．
∵直径AB＝4，
∴CO＝OB＝2，
∵BC＝2，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COE＝60°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，
在Rt△COE中，
∴CE＝＝，
∴CD＝2CE＝2．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
15．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可以得到∠ADC＝82°，然后根据等腰三角形的性质得到∠CBD＝∠CDB＝45°，然后根据角的和差解题即可；
（2）利用勾股定理先求出BD长，然后再求出AD的长即可．
【解答】解：（1）∵∠ABE＝82°，
∴∠ABC＝98°，
∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
又∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ADC＝82°，∠C＝90°，
∵C为弧BD的中点，
∴＝，
∴BC＝DC，
∴，
又∵∠ADC＝82°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝82°﹣45°＝37°；
（2）由（1）知BC＝CD，∠C＝90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴在Rt△BCD中，
由勾股定理得，
又∵AB＝6，∠A＝90°，
∴在Rt△ABD中BD＝10，AB＝6，
由勾股定理得．
【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
16．【分析】（1）①根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，可得∠ABC＝70°，根据圆内接四边形的性质即可求出∠ADC；②根据得到AD＝DC，利用三角形内角和定理计算即可；
（2）连接OA，根据弦AB垂直平分半径OC可求出OE的长，再由勾股定理求出AE的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）①∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝70°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
②∵，
∴AD＝DC，
∴；
（2）连接OA，
∵弦AB垂直平分半径OC，OC＝4，
∴．
∵OA2＝OE2+AE2，即42＝22+AE2，
解得，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．【分析】（1）由“同弧所对的圆周角相等”可得∠CAD＝∠CDA，∠ACD＝∠ABE即可求解；
（2）连接OC，证△OCH∽△ABD，即可求解．
【解答】解：（1）∵点C为弧ABD中点，
∴AC＝DC，AC＝DC，∠CAD＝∠CDA，
∵AB为⊙O直径∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝α，
∴∠ACD＝∠ABD＝α，
∴∠CDA＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠BDC＝∠ADB﹣∠CDA＝α；
（2）连接OC，如图所示：
∵OC＝OA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAB，
由（1）可得：∠ABD＝2∠BDC，
∵∠BDC＝∠CAB，
∴∠ABD＝2∠CAB，
∴∠ABD＝∠COB，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△BAD，
∴＝＝，
∴BD＝2OH＝10，
∴AB＝＝26，
∴⊙O直径的长为26．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理以及垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
