第三章 圆 单元培优测试题 2023-2024学年北师大版九年级数学下册
(满分：120分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆; B．一个三角形只有一个外接圆;
C．和半径垂直的直线是圆的切线; D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
2．如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
3.如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A.116° B.32° C.58° D.64°
4．如图所示，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )
A．30° B．60° C．90° D．45°
5．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
6.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
7.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）
A．25° B．40° C．50° D．65°
8．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上点，在以下判断中，不正确的是( )
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
9.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
10.如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= ．
12.已知AB是⊙O的弦，AB=8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm.
13．如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是上异于点A、D的一点．若∠C＝40°，则∠E的度数为____．
14.如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为 ．
15.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ABC=2∠D,连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E，若∠COB=3∠AOB，OC=2，则图中阴影部分面积是 （结果保留π和根号）
16.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为_______.
三、解答题(72分)
17．如图，⊙O的半径OB＝5 cm，AB是⊙O的弦，点C是AB延长线上一点，且∠OCA＝30°，OC＝8 cm，求AB的长．
18.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线．
（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长．
19．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，直线BD与⊙O相切，∠DAB＝30°.(1)求∠B的度数；(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D.点E为⊙O上一点．连接ED并延长与BC的延长线交于点F，连接AE，BE.若∠BAE＝60°，∠F＝15°.解答下列问题．
(1)求证：直线FB是⊙O的切线；
(2)若BE＝ cm，则AC＝________cm.
21．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BE与⊙O相切；
(2)设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝2，求由劣弧BC，线段CE和BE所围成的图形面积S.
22．如图，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC上取一点O，以O为圆心，OB为半径作圆，且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D.
求证：(1)AC是⊙O的切线；
(2)四边形BOAD是菱形．
23.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．
24.在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．
（1）如图1,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小；
（2）如图2,D为弧AC上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小．
25.如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G．
（1）求证：AB=AG；
（2）若DG=DE，求证：GB2=GC GA；
（3）在（2）的条件下，若tanD=，EG=，求⊙O的半径．
