第26章 二次函数 单元试卷 2023-2024学年华东师大版九年级下册
一、选择题
1．下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A． B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
3．下列二次函数中，对称轴为直线x = 1的是（ ）
A．y=-x2+1 B．y= (x–1) 2 C．y= (x+1) 2 D．y =-x2-1
4．已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．把函数图象向右平移1个单位长度再向下平移5个单位，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x …… －2 0 3 4 ……
y …… －7 m n －7 ……
则m、n的大小关系为( )
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
7．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．在如图所示的直角坐标系中，该抛物线的函数表达式可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．37.5° B．40°
C．42.5° D．45°
9．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①b2＞4ac；②ax2＋bx＋c≥﹣6；③9a﹣3b＋c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．将二次函数化为的形式，则= ．
12．若二次函数y＝的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．
14．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线；
乙说：与轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9．
请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式： ．
15．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为， ．
16．已知△ABC的顶点坐标为A(1，2)、B(2，2)、C(2，1)，若抛物线y＝ax2与该三角形无公共点，则a的取值范围是
17．如图，点P抛物线上一点，且点P位于直线BC的上方，D为对称轴与直线BC的交点，连接PC，PD，过点P作轴，交BC于点M，则的面积的最大值为 ．
三、解答题
18．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程的根；
（2）直接写出不等式的解集.
19．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16米）的空地上修建一个矩形花园．如图所示，花园一面靠墙，另外三面由栅栏围成．花园分成了面积相等的区域①、区域②、区域③三块矩形区域，也用栅栏分隔.已知共用了80m的栅栏，设的长度为x米，矩形的面积为y平方米.
(1)用含x的代数式表示、的长；
(2)求出y关于x的函数表达式；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
20．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝OB，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
(2)点P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥AB，交抛物线于点Q．若点C到PQ的距离大于2个单位长度，求点Q的横坐标x0的取值范围．
21．苏州中心商场以每件200元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量y（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：
x（元/件） 380 360 340 320 300 280 260
y（件） 4 8 12 16 20 24 28
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，苏州中心商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润每件服装的销售价每件服装的进货价）
22．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
24．如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；
(2)请用含m的代数式表示线段PN的长 ；
(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值 ．
