第十章 概率
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为( )
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
【答案】B
【解析】因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
2．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意可知这个包子是肉馅或素馅的概率为，所以它是素馅包子的概率为－＝，故素馅包子的个数为10×＝3．故选C．
3．据天气预报：在春节假期湖北武汉地区降雪的概率为0.2，湖南长沙地区降雪的概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则0.44等于( )
A．两地都降雪的概率 B．两地都不降雪的概率
C．至少有一地降雪的概率 D．恰有一地降雪的概率
【答案】C
【解析】武汉和长沙两地都降雪的概率P(A)＝0.2×0.3＝0.06，故A错误；两地都不降雪的概率P(B)＝(1－0.2)(1－0.3)＝0.56，故B错误；至少有一地降雪的概率P(C)＝1－(1－0.2)(1－0.3)＝0.44，故C正确；恰有一地降雪的概率P(D)＝0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3＝0.38，故D错误．故选C．
4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】6元分成整数元有3份，可能性有(1,1,4)，(1,2,3)，(2,2,2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为＝．
5．(2023年西安期末)某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以P1＝××＝，第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以P2＝×××＝．所以该选手能进入第四关的概率为＋＝．故选D．
6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有大小两种，大灯下缀2个小灯是小灯球，大灯下缀4个小灯是大灯球，若这座楼阁的大灯共360个，小灯共1 200个，随机选取1个灯球，则这个灯球是大灯球的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设小灯球有x个，大灯球有y个，根据题意可得解得x＝120，y＝240，则灯球的总数为x＋y＝360个，故这个灯球是大灯球的概率为p＝＝．故选B．
7．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率p＝．故选B．
8．(2022年齐齐哈尔模拟)电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率p＝＝．故选C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是( )
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互斥
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互斥
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【答案】CD
【解析】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”，所以不是对立事件，A错误；对于B，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，B错误；对于C，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”，它与事件“两次均击中”是互斥事件，C正确；对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确．故选CD．
10．(2023年德州期末)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )
A．P(B)＝ B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)
【答案】ABC
【解析】由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝，P(A)＝，P(C)＝，则P(A∪B)＝，故A，B正确；显然，P(A∪B)≠P(C)，故D错误．故选ABC．
11．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则( )
A．甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种
B．甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为
C．甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为
D．甲、乙两人在不同的车站下车的概率为
【答案】ABD
【解析】甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共9种，A正确，甲、乙两人同时在第2号车站和第4号车站下车的概率都是，B正确，C错误．甲、乙两人在不同的车站下车的概率为1－3×＝，D正确．故选ABD．
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ACD
【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2独立．在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P()·P()＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm [100,150) [150,200) [200,250) [250,300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是________．
【答案】0.25
【解析】“年降水量在[200,300](mm)范围内”由“年降水量在[200,250)(mm)范围内”和“年降水量在[250,300](mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25．
14．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为________．
【答案】0.2
【解析】由10组随机数知，4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为p＝＝0.2．
15．(2022年石嘴山模拟)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派甲、乙、丙3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至惠农区的概率为________．
【答案】
【解析】依题意，样本空间Ω＝{(甲，乙丙)，(乙，甲丙)，(丙，甲乙)，(甲乙，丙)，(甲丙，乙)，(乙丙，甲)(其中前面的表示派往大武口区调研的专家，后面的表示派往惠农区调研的专家)}，共6个样本点，甲、乙两位专家派遣至惠农区的有(丙，甲乙)，共1个样本点，因此，所求的事件的概率为．
16．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，则甲试跳三次，第三次才成功的概率为________；甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为________．
【答案】0.063 0.88
【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i＝1,2,3)，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立，“甲试跳三次，第三次才成功”为事件12A3，且这三次试跳相互独立，∴P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063．记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
质量指数 (x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
解：计算10件产品的综合指标S，如下表．
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
S 4 4 6 3 4 S 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品频率为＝0.6，
从而可估计该批产品的一等品率为0.6．
18．(12分)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率．
解：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率p＝×＝．
19．(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
解：(1)由题意可知＝，解得n＝2．
(2)记标号为2的两个小球分别为21,22，不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个，所以P(A)＝＝．
20．(12分)(2023年黄石模拟)某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50 000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本频数分布直方图如图．
(1)采用分层随机抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；
(2)为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算．
解：(1)根据分层随机抽样的原理知，电动自行车应抽取×9＝4(辆)，电动汽车应抽取×9＝5(辆)．
从9辆电动车中抽取2辆，设电动汽车和电动自行车分别为a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，可得抽法总数为36种，其中抽取的2辆均为电动自行车的有b1b2，b1b3，b1b4，b2b3，b2b4，b3b4，共6种．
“设从这9辆中随机抽取2辆，至少有一辆为电动汽车”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－＝．
(2)由条件可知，这100辆电动车中电动自行车有60辆，电动汽车有40辆，其中电池需要更换的电动自行车有8辆，电动汽车有1辆．根据补助方案可知，这100辆电动车共补助60×300＋40×500＋9×400＝41 600(元)．
由样本估计总体，市政府执行此方案的预算大约需要×50 000＝20 800 000(元)．
21．(12分)(2022年合肥期末)随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．
解：(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元，
都付2元的概率p1＝×＝，
都付4元的概率p2＝×＝，
都付6元的概率p3＝×＝，
∴所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝．
(2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A，B，C，
P(A)＝×＋×＋×＝，
P(B)＝×＋×＝，
P(C)＝×＝．
设两人费用之和大于或等于8的事件为W，
则W＝A＋B＋C，
∴两人费用之和大于或等于8的概率P(W)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝．
22．(12分)某市从高二年级随机选取1 000名学生，统计他们选修物理、化学、生物学、思想政治、历史和地理六门课程(前3门为理科课程，后3门为文科课程)的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．
科目方案人数 物理 化学 生物学 思想政治 历史 地理
一 220 √ √ √
二 200 √ √ √
三 180 √ √ √
四 175 √ √ √
五 135 √ √ √
六 90 √ √ √
(1)在这1 000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修思想政治的概率；
(2)在这1 000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的概率；
(3)利用表中数据估计该市选课偏文(即选修至少两门文科课程)的学生人数多还是偏理(即选修至少两门理科课程)的学生人数多，并说明理由．
解：(1)选修物理的共有220＋200＋180＝600人，其中选修思想政治的有220人，所以从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修思想政治的概率p1＝＝．
(2)设选择方案一的2名学生为a1，a2，选择方案二的2名学生为b1，b2，选择方案三的2名学生为c1，c2，从这6名学生中随机选取2人，有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共15种情况，其中除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的有(a1，a2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共11种情况，所以所求概率p2＝．
(3)调查者中选偏文的共有175＋135＋90＝400人，频率为0.4，选修偏理的频率为1－0.4＝0.6．所以估计全市选课偏文的学生大约占0.4，选课偏理的大约占0.6．所以估计全市选课偏理的学生多．第十章 概率
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为( )
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
2．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．据天气预报：在春节假期湖北武汉地区降雪的概率为0.2，湖南长沙地区降雪的概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则0.44等于( )
A．两地都降雪的概率 B．两地都不降雪的概率
C．至少有一地降雪的概率 D．恰有一地降雪的概率
4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A． B．
C． D．
5．(2023年西安期末)某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )
A． B．
C． D．
6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有大小两种，大灯下缀2个小灯是小灯球，大灯下缀4个小灯是大灯球，若这座楼阁的大灯共360个，小灯共1 200个，随机选取1个灯球，则这个灯球是大灯球的概率为( )
A． B．
C． D．
7．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )
A． B．
C． D．
8．(2022年齐齐哈尔模拟)电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是( )
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互斥
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互斥
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
10．(2023年德州期末)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )
A．P(B)＝ B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)
11．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则( )
A．甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种
B．甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为
C．甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为
D．甲、乙两人在不同的车站下车的概率为
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm [100,150) [150,200) [200,250) [250,300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是________．
14．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为________．
15．(2022年石嘴山模拟)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派甲、乙、丙3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至惠农区的概率为________．
16．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，则甲试跳三次，第三次才成功的概率为________；甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
质量指数 (x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
18．(12分)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率．
19．(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
20．(12分)(2023年黄石模拟)某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50 000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本频数分布直方图如图．
(1)采用分层随机抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；
(2)为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算．
21．(12分)(2022年合肥期末)随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．
22．(12分)某市从高二年级随机选取1 000名学生，统计他们选修物理、化学、生物学、思想政治、历史和地理六门课程(前3门为理科课程，后3门为文科课程)的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．
科目方案人数 物理 化学 生物学 思想政治 历史 地理
一 220 √ √ √
二 200 √ √ √
三 180 √ √ √
四 175 √ √ √
五 135 √ √ √
六 90 √ √ √
(1)在这1 000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修思想政治的概率；
(2)在这1 000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的概率；
(3)利用表中数据估计该市选课偏文(即选修至少两门文科课程)的学生人数多还是偏理(即选修至少两门理科课程)的学生人数多，并说明理由．
