2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区弘毅新华中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子是分式的是( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列式子一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知三角形的两边长分别为和，则该三角形第三边的长不可能是( )
A. B. C. D.
5.若有意义，则实数的取值范围是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B. 三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等
C. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 任意多边形的外角和是
8.若关于的分式方程有增根，则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图，中，是的中点，平分，于点，若，，则等于( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.的立方根为______．
12.近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为米，将米用科学记数法表示为______米
13.规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定的值为______．
14.如图，在四边形中，，，垂足分别为点，请你只添加一个条件不另加辅助线，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______．
15.如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______．
16.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则可列方程为______．
17.如图，在中，平分交于点，于点，若，，，则的面积为______．
18.如图，已知：中，，，为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，为中点，直线交射线于点，下列说法，若连接，则；；；若，则其中正确的序号有______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
21.本小题分
先化简，再求值：，从，，中取一个合适的数作为的值代入求值．
22.本小题分
如图，，，，垂足分别为，．
求证：≌；
若，，求的长．
23.本小题分
某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵元，用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同．
求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
24.本小题分
如图，在 中，平分，交于点，交的延长线于点．
求证：；
若，，，求的长和的面积．
25.本小题分
【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果．
计算：；
是正整数，，，且，求的值．
已知，求的值．
26.本小题分
如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
如图，过点作交于点，求证：≌；
如图，连接交于点，若，求证：点为中点；
如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若其中为正数，则 ______用含的代数式表示
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：分母中不含字母，
则不符合题意；
符合分式的定义，
则符合题意；
是整式，
则不符合题意；
分母中不含字母，
则不符合题意；
故选：．
形如均为整式，中含有字母且的式子即为分式，据此进行判断即可．
本题考查分式的定义，熟练掌握并理解分式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、不等式两边同时减去，不等号方向不变，即，故这个选项不符合题意；
B、当时，，故这个选项不符合题意；
C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故这个选项不符合题意；
D、不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，即；不等式两边同时加上，不等号方向不变，即，故这个选项不符合题意．
故选：．
利用不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
3.【答案】
【解析】解：、与不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
，符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：三角形的两边长分别为和，
第三边的长，
故该三角形第三边的长不可能是．
故选：．
直接利用三角形三边关系得出第三边长的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边长的取值范围是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不等于零是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：不等式组可化为：，
所以不等式组的解集在数轴上可表示为：
故选：．
本题应该先求出各个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出这些解集，它们的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
7.【答案】
【解析】解：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，三角形三个内角的平分线的交点到三边的距离相等，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.任意多边形的外角和是，说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
选项A根据等腰三角形的性质判断即可；选项B根据角平分线的性质判断即可；选项C根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；选项D根据多边形的外角和的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形、中心对称图形、等腰三角形的性质，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：分式方程两边同时乘去分母，得
，
由分式方程的最简公分母是，
分式方程的增根是．
把代入，
．
故选：．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母，得到．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9.【答案】
【解析】解：延长交于，
平分，，
，，
，
是中点，，
，
故选：．
延长交于，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于点，交于点，则此时取最小值．
，是边上的高，
垂直平分，
，
此时最小值为的长．
，
，
的最小值是．
故选：．
由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．
本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线的垂线段最短找出的最小值为的长是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是关键．
找到立方等于的数即可．
【解答】
解：因为，
所以的立方根是．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：米米．
故答案为：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
13.【答案】
【解析】解：，
即，
，
的值为，
故答案为：．
先估算的大小，进一步确定的大小，然后根据题意即可求解．
本题考查了新运算，无理数的估算，得出是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：添加条件为：，
理由：，，
，
，
四边形为平行四边形，
故答案为：．
证，再由，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由作图可知垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由作图可知垂直平分线段，推出，推出，再根据三角形内角和定理构建方程求解．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】
【解析】解：设尺，则尺，
根据勾股定理得．
故答案为：．
设尺，则尺，在中，运用勾股定理即可列出方程．
本题考查了勾股定理的应用，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
平分，，，，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，证明，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接、，
，则，
，
又，，
≌，
，，
，，
，
，
，
故正确；
当时，，
，
，
，
故错误；
，为的中点，
，
，为的中点，
，
，
，
又，
，
，
，则，
，
故正确；
，
设，则，
，，
在中，，，
，
在等腰直角三角形中，，
又，，
，
，
故正确，
故答案为：．
连接、，根据证≌，推出，即可判断；利用直角三角形中线的性质证，即可判断；设，则，解直角三角形得到，即可判断；取时，得到，即可判断．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理以及特殊值法是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后进行乘方和开方运算，最后进行有理数的加减运算；
先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
20.【答案】解：，
由得，，
由得，，
不等式组的解集为，
所有正整数解有：、．
【解析】求出一元一次不等式组的解集，再取符合条件的正整数即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：原式
，
当，时，原式没有意义；
当时，原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
在中，，
，
．
【解析】利用“”可证明≌；
先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23.【答案】解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，依题意有
，
解得：．
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元．
设他们可购买棵乙种树苗，依题意有
，
解得，
为整数，
最大为．
答：他们最多可购买棵乙种树苗．
【解析】可设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据等量关系：用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
可设他们可购买棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过元，列出不等式求解即可．
考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
24.【答案】证明：在 中，，
，
平分，
，
，
，
解：，，
；
过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
的面积．
【解析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到，
根据线段的和差得到；过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：
；
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
，
，
，
，
，
，，
．
【解析】先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
先利用分母有理化化简，，从而求出，，然后根据已知可得，解答即可得解；
利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26.【答案】
【解析】证明：，，
，
在和中，
，
≌；
过点作交于点，如图，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
点为中点；
过作的延长线交于点，如图，
，，，
，
由知：≌，≌，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
易证，即可证明≌，即可解题；
过点作交于点，根据中结论可得，即可证明≌，可得，根据可证，根据，，即可解题；
过作的延长线交于点，易证，由可知≌，≌，可得，，即可求得的值，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌和≌是解题的关键．
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