2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（一）
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．复数满足，则等于（ ）
A．-4 B．7
C．-8 D．5
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
.
5．若，则的值是（ ）
A． B．
C． D．1
6．已知，若对任意，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则
B．
C． D．
8．已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．方程表示的曲线可能是（ ）
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
10．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为Pn，则( )
A．P2＝
B．数列为等比数列
C．Pn≤
D．当n≥2时，n越大，Pn越小
11．如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径为r＝2，则( )
A．球与圆柱的体积之比为2∶3
B．四面体CDEF体积的取值范围为(0，32]
C．平面DEF截得球的截面面积的最小值为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值 范围为[2＋2，4]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》记述了“三斜求积术”，用现代 式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积为 .根据此公式，若，且，则这个三角 形的面积为_________.
13．已知多项式，则 _______，________．
14．已知，若，则______，______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，AD为∠ABC的角平分线，且AD＝2.
(1)若∠BAC＝，AB＝3，求△ABC的面积；
(2)若BD＝3，求边AC的取值范围．
16．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2a3a4＝64，数列{bn}满足b1＝1，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an＋(－1)n(2bn＋1)，求数列{cn}的前2n项和T2n.
17．如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直．
(1)若M为线段BF上的一个动点，证明：CM∥平面ADE；
(2)若∠BAD＝60°，AB＝2，直线CF与平面BCE所成角的正弦值为，求点F到平面BCE的距离．
18．《密室逃脱》是一款实景逃脱类游戏，参与者被困在房间内，需要根据提示寻找线索，在规定时间内依次打开每一扇房门则游戏完成，否则失败．一密室店主统计了400个顾客参与A主题密室逃脱的时间，得到顾客完成逃脱用时的频率分布直方图如图：
(1)若顾客用时的均值大于60分钟，且标准差小于10分钟，则认为该主题密室逃脱成功难度大．请判断A主题密室逃脱的成功难度；(参考数据：方差s2＝97.56)
(2)店主计划至少有80%的顾客能在规定时间m分钟内完成逃脱，试计算m；(四舍五入保留到个位)
(3)为吸引顾客，该店推出如下游戏规则：
方案①：在(2)的条件下，参加单人任务，在规定时间m分钟内完成则奖励1元；
方案②：组团参与者可购买一份10元组团券，3人同时进入A主题的不同房间，若60分钟内所有人完成逃脱，则每人可获10元奖励，2人完成逃脱，则每人可获7元奖励，1人完成逃脱，则每人可获3元奖励．用频率估计概率，若你是顾客，会选择哪种方案？
19．社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科．其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨，将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究．根据社会人口学研究发现，一个家庭有ξ个孩子(仅考虑不超过3个孩子的家庭)的概率分布列为
ξ 1 2 3 0
概率 m m(1－p) m(1－p)2
其中m>0，0
(2)参数p受到各种因素的影响(如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)，通过改变参数p的值来调控未来人口结构．若希望P(ξ＝2)增大，如何调控p的值？
参考公式：P(M|N)＝，
2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（一）
数学试卷答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．复数满足，则等于（ ）
A．-4 B．7
C．-8 D．5
答案 D
解析 因为
即，所以，解得，
所以；
故选：D
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
答案 B
解析 由，，
可得，
故选：B
．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵，
∴，
由可得.
易知当时，，
但由不能推出，（如时）
∴“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
4．若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案 D
解析 解：函数图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，
所以，
所以.
因为函数在时取得最小值，
所以，，
∴ ，
∵∴
∴
根据平移变换规律可知，向左平移个单位，可得函数，
所以向左平移个单位可得的图象，
故选：D.
.
5．若，则的值是（ ）
A． B．
C． D．1
答案 D
解析 由,
.
故选：D
.
6．已知，若对任意，则（ ）
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由题意有：对任意的，有恒成立．
设，，
即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：
由图可知，，，或，，
故选：D．
7．如图，在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则
B．
C． D．
答案 B
解析 当时，显然有，故平面，于是是二面角的平面角，即，当时，不是二面角的平面角，故而，综上所述：，故本题选B.
8．已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
答案 D
解析：因为，，所以，，
因为指数函数单调递减，所以，即，
即，故，即，所以，
可猜想数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，且奇数项均小于偶数项，
因为，当时，
所以，所以①，
因为，所以，即，进而得到，
以此类推得且，所以，
由①可得，
由，所以，即，由得到，
以此类推得单调递减，所以，
所以；
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．方程表示的曲线可能是（ ）
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
答案 ACD
解析 时，方程为，即，直线，同理时，也为直线，
时，方程化为，
即或时，
时方程表示椭圆，时方程不表示任何曲线，
时，方程表示双曲线．
故选：ACD
10．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为Pn，则( )
A．P2＝
B．数列为等比数列
C．Pn≤
D．当n≥2时，n越大，Pn越小
答案 ABC
解析 记玩家第i(i∈N*)次抽盲盒并抽中奖品为事件Ai，依题意，P1＝，P(An|An－1) ＝，P(An|)＝，Pn＝P(An)．对于A，P2＝P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋ P()·P(A2|)＝×＋×＝，A正确；对于B，P(An)＝P(An－1)P(An|An －1)＋P()P(An|1)，所以Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)＝－Pn－1＋，所以Pn －＝－，又P1＝，则P1－＝－≠0，所以数列是首项为－，公 比为－的等 比数列，B正确；对于C，由B项可知，Pn－＝－，则Pn＝－ ，当n 为奇数时，Pn＝－<<，当n为偶数时，Pn＝＋， 则Pn随着n的增大 而减小，所以Pn≤P2＝，综上所述，对任意的n∈N*，Pn≤， C正确；对于D，因为Pn ＝－·，则数列{Pn}为摆动数列，D错误．故选 ABC．
11．如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径为r＝2，则( )
A．球与圆柱的体积之比为2∶3
B．四面体CDEF体积的取值范围为(0，32]
C．平面DEF截得球的截面面积的最小值为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值范围为[2＋2，4]
答案 AD
解析 对于A，球的体积为V＝πr3＝，圆柱的体积为V′＝π r2×(2r)＝16π，则球与圆柱的体积之比为2∶3，A正确；对于B， 设d为点E到平面BCD的距离，0
12．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》记述了“三斜求积术”，用现代 式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积为 .根据此公式，若，且，则这个三角 形的面积为_________.
答案
解析 依题意的面积为，同理可得，因为，且，所以
故答案为：
13．已知多项式，则 _______，________．
答案 -28；-92
解析 令，即
的项系数为，的项系数差，
即，
故答案为：-28；-92．
14．已知，若，则______，______．
答案
解析 因为，，
又因为，所以
所以，
所以.
故答案为：，
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，AD为∠ABC的角平分线，且AD＝2.
(1)若∠BAC＝，AB＝3，求△ABC的面积；
(2)若BD＝3，求边AC的取值范围．
解 (1)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以AB·ACsin＝(AB＋AC)·ADsin，
即3AC＝2(3＋AC)，解得AC＝6，
所以S△ABC＝AB·ACsin＝.
(2)设∠BAC＝2α，α∈，AB＝c，AC＝b，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
得AB·ACsin2α＝AB·ADsinα＋AC·ADsinα，
即bccosα＝b＋c，所以cosα＝，
在△ABD中，cosα＝＝，
所以＝，得b＝，
由cosα＝ ∈(0，1)且b＝>0，
得3
即边AC的取值范围为.
16．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2a3a4＝64，数列{bn}满足b1＝1，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an＋(－1)n(2bn＋1)，求数列{cn}的前2n项和T2n.
解 (1)设数列{an}的公比为q，由已知得q>0，
因为a2a3a4＝64，所以a＝64，得a3＝4，
又a1＝1，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
对于数列{bn}，因为b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1， ①
当n＝1时，b1＝b2－1，则b2＝2，
当n≥2时，b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＝bn－1， ②
由①－②得bn＝bn＋1－bn，即＝，
又＝2，也适合上式，故＝(n∈N*)，
当n≥2时，bn＝··…··b1＝··…··1＝n，
又b1＝1，所以bn＝n.
(2)由(1)可得，an＝2n－1，bn＝n，
则cn＝an＋(－1)n(2bn＋1)＝2n－1＋(－1)n·(2n＋1)，
则数列{cn}的前2n项和T2n＝20＋(－1)×(2＋1)＋21＋(－1)2×(2×2＋1)＋…＋22n－1＋(－1)2n×(2×2n＋1)，
所以T2n＝(20＋21＋22＋…＋22n－1)＋[(－1)×(2＋1)＋(－1)2×(2×2＋1)＋…＋(－1)2n×(2×2n＋1)]＝＋[－(2＋1)＋(2×2＋1)]＋…＋{－[2×(2n－1)＋1]＋(2×2n＋1)}＝22n－1＋2n＝22n＋2n－1.
17．如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直．
(1)若M为线段BF上的一个动点，证明：CM∥平面ADE；
(2)若∠BAD＝60°，AB＝2，直线CF与平面BCE所成角的正弦值为，求点F到平面BCE的距离．
解 (1)证明：由题意知，四边形BDEF为矩形，
所以BF∥DE，
又BF 平面ADE，DE 平面ADE，
所以BF∥平面ADE，
同理可证BC∥平面ADE，
又BC∩BF＝B，BC，BF 平面BCF，
所以平面BCF∥平面ADE，
因为M为线段BF上的一个动点，
所以CM 平面BCF，
所以CM∥平面ADE.
(2)因为平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD，DE⊥DB，DE 平面BDEF，
所以DE⊥平面ABCD.
又底面ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，AB＝2，
所以△ABD为等边三角形，且AB＝BD＝2，
设BF＝a，
取AB的中点为G，连接DG，以D为原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，a)，F(，1，a)，
则＝(，－1，a)，＝(－，1，0)，＝(0，－2，a)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，则y＝，z＝，
即n＝.
设直线CF与平面BCE所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
化简可得a4－13a2＋12＝0，解得a＝2或a＝1(负值舍去)．
设点F到平面BCE的距离为d，
当a＝2时，n＝(1，，1)，＝(0，0，2)，
则d＝＝＝；
当a＝1时，n＝(1，，2)，＝(0，0，1)，
则d＝＝＝.
故点F到平面BCE的距离为或.
18．《密室逃脱》是一款实景逃脱类游戏，参与者被困在房间内，需要根据提示寻找线索，在规定时间内依次打开每一扇房门则游戏完成，否则失败．一密室店主统计了400个顾客参与A主题密室逃脱的时间，得到顾客完成逃脱用时的频率分布直方图如图：
(1)若顾客用时的均值大于60分钟，且标准差小于10分钟，则认为该主题密室逃脱成功难度大．请判断A主题密室逃脱的成功难度；(参考数据：方差s2＝97.56)
(2)店主计划至少有80%的顾客能在规定时间m分钟内完成逃脱，试计算m；(四舍五入保留到个位)
(3)为吸引顾客，该店推出如下游戏规则：
方案①：在(2)的条件下，参加单人任务，在规定时间m分钟内完成则奖励1元；
方案②：组团参与者可购买一份10元组团券，3人同时进入A主题的不同房间，若60分钟内所有人完成逃脱，则每人可获10元奖励，2人完成逃脱，则每人可获7元奖励，1人完成逃脱，则每人可获3元奖励．用频率估计概率，若你是顾客，会选择哪种方案？
解 (1)平均数＝35×0.03＋45×0.10＋55×0.27＋65×0.42＋75×0.18＝61.2>60，
标准差s＝<10，
故A主题密室逃脱成功难度大．
(2)由频率分布直方图可知m∈[60，70)，
由(m－60)×0.042＋0.03＋0.10＋0.27＝0.8，得m≈70.
(3)方案①：由频率分布直方图得，某人在70分钟内完成逃脱的概率为0.03＋0.10＋0.27＋0.42＝0.82，
则人均可获得奖励为0.82×1＝0.82(元)．
方案②：记随机变量X为3人进行一次组团活动的盈利，
某人在60分钟内完成逃脱的概率为0.03＋0.10＋0.27＝0.4＝，
由题意可得X＝－10，－1，11，20，
P(X＝－10)＝C＝，
P(X＝－1)＝C＝，
P(X＝11)＝C＝，
P(X＝20)＝C＝.
所以X的分布列为
X －10 －1 11 20
P
E(X)＝(－10)×＋(－1)×＋11×＋20×＝＝1.856，
则人均可获得奖励为1.856÷3≈0.62<0.82，
故应该选择方案①.
19．社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科．其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨，将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究．根据社会人口学研究发现，一个家庭有ξ个孩子(仅考虑不超过3个孩子的家庭)的概率分布列为
ξ 1 2 3 0
概率 m m(1－p) m(1－p)2
其中m>0，0
(2)参数p受到各种因素的影响(如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)，通过改变参数p的值来调控未来人口结构．若希望P(ξ＝2)增大，如何调控p的值？
参考公式：P(M|N)＝，
解 (1)由题意，得＋m＋m(1－p)＋m(1－p)2＝2m＋m＋m＋m＝1，解得m＝，
又P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝C×，P(B|A2)＝C，P(B|A3)＝C＋C，
且B＝BA0＋BA1＋BA2＋BA3，
由全概率公式，得P(B)＝·＋Cm＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(3)＋C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(3)))·m(1－p)＝＋＋m(1－p)，
由p＝，m＝，得P(B)＝.
(2)由题意得P(ξ＝2)＝m，
由＋m＋m(1－p)＋m(1－p)2＝1，
得＝p2－3p＋＋3.
设f(p)＝p2－3p＋＋3，0
记g(p)＝2p3－3p2－1，0
故g(p)在(0，1)上单调递减，
∵g(0)＝－1，∴g(p)<0，
∴f′(p)<0，f(p)在(0，1)上单调递减，
因此，增加p的取值，会减小，m会增大，即P(ξ＝2)增大．
