第七章 复数
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z＝3－5i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．2－3i D．－2＋3i
2．i是虚数单位，则的虚部是( )
A．i B．－i
C． D．－
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若复数z＝，其中是i虚数单位，则＝( )
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
5．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对
6．已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
7．z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2－i B．2＋i
C．－2－i D．－2＋i
8．(2023年天津模拟)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是( )
A．(1,5) B．(1，)
C．(1,3) D．(1，)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( )
A．(－2,0) B．(3,1)
C．(0,4) D．(－1，－5)
10．已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的为( )
A．|z|＝ B．＝1－i
C．z的虚部为i D．z在复平面上的对应点在第一象限
11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
A．P0的坐标为(1,2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
12．设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z＝，i为虚数单位，则z的共轭复数＝________．
14．(2022年南京期末)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝________．
15．已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________．
16．设z的共轭复数是 ，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i．
18．(12分)已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．
19．(12分)实数m取什么数值时，复数z＝＋(m2－1)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)纯虚数．
20．(12分)已知复数z满足(z－2)(1＋i)＝1－i．
(1)求复数z；
(2)求|(3＋i)z|．
21．(12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i．
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知关于x的方程x2＋4x＋p＝0(p∈R)的两个根是x1，x2．
(1)若x1为虚数且|x1|＝5，求实数p的值；
(2)若|x1－x2|＝2，求实数p的值．第七章 复数
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z＝3－5i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．2－3i D．－2＋3i
【答案】D
【解析】1－2i－z＝1－2i－(3－5i)＝－2＋3i．
2．i是虚数单位，则的虚部是( )
A．i B．－i
C． D．－
【答案】C
【解析】＝＝＝＋i．故选C．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i．若(a＋bi)2＝2i，则a＝b＝－1或a＝b＝1．故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．故选A．
4．若复数z＝，其中是i虚数单位，则＝( )
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
【答案】D
【解析】由z＝＝＝－＋i，得＝－－i．故选D．
5．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对
【答案】C
【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi．∵z2为纯虚数，∴∴y＝±x(x≠0)．
6．已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】A
【解析】∵复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得m＜－1．∴实数m的取值范围是(－∞，－1)．故选A．
7．z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2－i B．2＋i
C．－2－i D．－2＋i
【答案】C
【解析】∵z＝＝＝＝－2＋i，∴＝－2－i．故选C．
8．(2023年天津模拟)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是( )
A．(1,5) B．(1，)
C．(1,3) D．(1，)
【答案】B
【解析】由已知，得|z|＝．由0＜a＜2，得0＜a2＜4，∴1＜a2＋1＜5．∴|z|＝∈(1，)．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( )
A．(－2,0) B．(3,1)
C．(0,4) D．(－1，－5)
【答案】BCD
【解析】易知选项A，B，C，D中的点对应的复数分别为－2,3＋i,4i，－1－5i，因此B，C，D中的点对应的复数为虚数．
10．已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的为( )
A．|z|＝ B．＝1－i
C．z的虚部为i D．z在复平面上的对应点在第一象限
【答案】ABD
【解析】复数z＝1＋i，则|z|＝，故A正确；＝1－i，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D正确．故选ABD．
11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
A．P0的坐标为(1,2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
【答案】AC
【解析】复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即＝，整理得y＝x，即点Z在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0与点Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知最小值为，D错误．故选AC．
12．设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【答案】ABC
【解析】对A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2为真；对B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2为真；对C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2为真；对D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z＝，i为虚数单位，则z的共轭复数＝________．
【答案】－i
【解析】(方法一)z＝＝＝i，所以z的共轭复数为－i．
(方法二)z＝＝＝＝i，所以z的共轭复数为－i．
14．(2022年南京期末)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝________．
【答案】0
【解析】∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i．∴解得a＝0．
15．已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________．
【答案】
【解析】－＝－＝－＝，由已知得＝，则m＝．
16．设z的共轭复数是 ，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________．
【答案】2 ±i
【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则 ＝x－yi．由z＋＝4，z·＝8，得得解得∴|z|＝2．∴＝＝＝±i．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i．根据复数相等的定义，得解得或∴z＝－1或z＝－1＋3i．
18．(12分)已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．
解：∵复数z的模为1，∴z在复平面内的对应点是以原点为圆心，1为半径的圆．而|z－1－2i|＝|z－(1＋2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1,2)的距离，如图．
∴|z－1－2i|min＝|AB|＝|OA|－|OB|＝－1，|z－1－2i|max＝|AC|＝|OA|＋|OC|＝＋1．
19．(12分)实数m取什么数值时，复数z＝＋(m2－1)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)纯虚数．
解：(1)由m2－1＝0且m＋1≠0，得m＝1，∴当m＝1时，z是实数．
(2)由解得m＝－2．∴当m＝－2时，z是纯虚数．
20．(12分)已知复数z满足(z－2)(1＋i)＝1－i．
(1)求复数z；
(2)求|(3＋i)z|．
解：(1)由(z－2)(1＋i)＝1－i，得z＝＋2＝＋2＝2－i．
(2)由z＝2－i，得|(3＋i)z|＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝＝5．
21．(12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i．
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：(1)∵(1＋2i)＝4＋3i，∴＝＝＝＝2－i．∴z＝2＋i．
(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i．
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴解得－1＜a＜1．∴实数a的取值范围为(－1,1)．
22．(12分)已知关于x的方程x2＋4x＋p＝0(p∈R)的两个根是x1，x2．
(1)若x1为虚数且|x1|＝5，求实数p的值；
(2)若|x1－x2|＝2，求实数p的值．
解：(1)由题意知Δ＜0，∴16－4p＜0，解得p＞4．
又∵x1x2＝p，x1x2＝x1·1＝|x1|2＝25，∴p＝25．
(2)x1＋x2＝－4，x1x2＝p．若方程的判别式Δ≥0，即p≤4时，方程有两个实数根x1，x2，则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16－4p＝4，解得p＝3；
若方程的判别式Δ＜0，即p＞4时，方程有一对共轭虚根x1，x2，则|x1－x2|＝|i|＝＝2，解得p＝5．故实数p的值为3或5．
