4.2.1指数函数的概念＋4.2.2指数函数的图象和性质【第二课】
题型一:指数函数的图象的识别
例1. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【思路分析】先根据题意判断函数定义域为R，且在上单调递增，再根据奇偶性得函数为偶函数，进而可得答案.
【解析】由题知函数的定义域为R，故排除A，D选项；当时，单调递增，故排除B选项，
设，因为，所以函数为偶函数.故选C.
【答案】C
【方法总结】 函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【变式训练1-1】
[河北邯郸2022高一期末]
1．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】
[江西赣州中学2023高一月考]
2．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
题型二:指数函数的图象变换
例2.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【解析】函数，设将其图象向左平移a个单位长度后，得到函数的图象，则，解得.故将函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，故选D.
【答案】D
【方法总结】利用图象变换法作函数的图象：
函数的图象，，向右平移a个单位长度（或，向左平移个单位长度）的图象；
函数的图象，，向上平移b个单位长度（或，向下平移个单位长度）的图象.
【变式训练2-1】
[江苏泰州2023高一期中]
3．若函数（，且）的图象不经过第二象限，那么a，b的取值范围分别为 .
题型三:与指数函数有关的函数的单调性
例3. 求函数的单调区间.
【解析】设，则.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
因为函数为R上的增函数，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【方法总结】（1）对于求形如（，，且）的函数的单调性，往往通过换元设，然后结合二次函数与指数函数的单调性，进行判断.
（2）对于求形如（，且）的函数的单调性，往往通过换元设，然后结合函数与指数函数（，且）的单调性，进行判断.
上述两种类型的复合函数单调性的判断原则是“同增异减”，同时为了更加清楚直观，往往作出相应函数的图象.
【变式训练3-1】
[广西桂林2023高一段考]
4．若函数在上单调递增，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】
5．已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【变式训练3-3】
6．写出一个同时具有下列三个性质的函数： .①函数为指数函数；②单调递增；③.
题型四: 比较幂值的大小
例4. 比较下列几组值的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与.
【解析】（1）由于，，函数为增函数，又，因而.
（2）由于，函数为减函数，又，因而.
（3）由于函数与函数分别为R上的减函数与增函数，而，
因而，即.
（4）由于，函数为增函数，因而，即.
【方法总结】三类指数式的大小比较问题的方法
（1）底数相同、指数不同：用指数函数的单调性比较.
（2）底数不同、指数相同：利用指数函数的图象比较.在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可.
（3）底数不同、指数也不同：采用中间量法.取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数.比如，要比较与的大小，可取为中间量，与利用函数的单调性比较大小，与利用函数的图象比较大小.
【变式训练4-1】
[河北张家口2023高一期末]
7．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】
[重庆开中学校2023高一月考]
8．已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-3】
[山西运城中学2023高一期中]
9．比较下列各题中两个值的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
题型五: 解简单的指数不等式
例5. 已知，求x的取值范围.
【解析】当时，由于为增函数，因而，则；
当时，由于为减函数，因而，则.
【方法总结】解简单的指数不等式时，需要注意底数，如果情况不确定，那么需要进行分类讨论.
指数不等式是指数中含有未知数的不等式.
主要有两个类型：①和②.
具体解法：①或
②或
【变式训练5-1】
[安徽宣城七校2022高一期中联考]
10．已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】
11．已知，则x的取值范围是 ．
题型六: 指数函数的实际应用
例6. （2023上·广东惠州·高三校考阶段练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（ ）
A.
B.储存温度越高保鲜时间越长
C.在10℃的保鲜时间是60小时
D.在30℃的保鲜时间是15小时
【答案】ACD
【分析】由题意可知，，求得，进而可得，可判断A；利用单调性可判断B；计算可判断C；计算可判断D.
【详解】对于A，由题可知，，则，故，
所以，则，A正确；
对于B，由A可知，在上是减函数，且在上是增函数，
所以在上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；
对于C，由A可知，小时，C正确；
对于D，由可知，小时，D正确.
故选：ACD.
【方法总结】解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括数学问题，最后求解数学问题即可.
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
【变式训练6-1】
（2023·四川宜宾·统考一模）
12．某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
题型七:与指数函数相关的综合问题
例7. 已知函数.
（1）是否存在实数使得为奇函数？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由.
（2）在（1）的结论下，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）若为奇函数，则，即，解得.
此时，，
故存在，使得为奇函数.
（2）由（1）得，又函数在R上是减函数，
∴函数在R上是增函数，则在R上为增函数.
又为奇函数，∴，即，
∴，则恒成立.
令，则.
令，，则，∴.
∴实数m的取值范围为.
【方法总结】指数函数是非奇非偶函数，但与指数函数有关的且具有奇偶性的函数也是常见的.与指数函数有关的函数奇偶性问题主要是通过奇偶性定义来求解，其难点在于指数式的化简与变形.
【变式训练7-1】
[福建建瓯2022高一期中]
13．设函数，对于任意的，，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】
[重庆名校联盟2023高一月考联考]
14．已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（ ）.
A． B． C．1 D．
【变式训练7-3】
15．已知函数（为常数，）是上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的值域为，求的值．
易错点1: 忽视指数函数的值域致错
典例1 已知函数（，且）的定义域为，则的值域为 .
【答案】
【解析】设，则，由于函数的定义域为，因而
①当时，，那么函数的值域为；
②当时，，那么函数的值域为.
易错警示 解与指数函数有关的值域问题，如果底数不确定，一定要注意对底数进行讨论，同时需要考虑指数函数本身的值域为.
针对训练1-1
[湖北孝感一中2023高一联考]
16．已知函数 .
（1）若，求函数的值域；
（2）若方程有解，求实数的取值范围.
易错点2 换元时忽视中间变量的范围致误
典例2 函数y＝9x＋23x－2的值域为 .
【答案】(－2，＋∞)
【解析】设3x＝t，
则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.
∵上式中当t＝0时y＝－2，
又∵t＝3x＞0，
∴y＝9x＋23x－2的值域为(－2，＋∞).
易错警示 用换元法解题时，换之后一定要注意考虑“新元”的取值范围，将原变量的取值范围等价转化为“新元”的取值范围.
针对训练2-1
17．若0≤x≤2，求函数y＝－3·2x＋5的最大值和最小值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】由解析式，应用奇偶性定义判断奇偶性，结合的符号确定大致图象即可.
【详解】∵，
∴为奇函数，A不正确；
很显然有三个零点分别为0，±1，
，只有C符合.
故选：C.
2．C
【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；
当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；
而C选项满足上述性质，故C正确.
故选：C.
3．，
【分析】根据指数函数单调性分类讨论，再根据图象平移的性质求参数范围.
【详解】①当时，函数为R上的减函数，
此时无论函数的图象如何平移，均经过第二象限，因而不符合题意；
②当时，根据题意可知，函数的图象需要向下平移，如图所示，
设需向下平移个单位长度，结合的图象知，
即，解得.
综上所述，，.
故答案为：，.
4．B
【分析】根据分段函数在上单调递增，必须保证每一段为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组，解之即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
则有，解之可得：，
所以实数的取值范围为，
故选：.
5．
【分析】由复合函数单调性得出在区间上单调递减，对分类讨论，结合单调性得到不等关系，求出实数a的取值范围.
【详解】由函数在区间上单调递增，
得函数在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递减，符合题意．
当时，由在区间上单调递减，
得，解得：．
当时，由在区间上单调递减，
得，解得：．
综上所述，的取值范围是．
6．（答案不唯一）
【分析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.
【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得，
由于单调递增，则，又，解得，取，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
7．A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可.
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，
故选：A.
8．D
【分析】根据函数的解析式以及单调性的性质可得函数在上单调递增，再利用指数函数、幂函数、构造函数研究自变量大小关系即可．
【详解】解：函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，
因为函数在上单调递减，所以；
又函数在上单调递增，所以；
构造，易知在单调递增，且，，
，所以，
故，
又因为在上递增，所以.
故选：D.
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数在其定义域上的单调性比较大小可得答案；
（2）方法一：在同一平面直角坐标系中画出指数函数与的图象，再取特殊点比较大小可得答案；方法二：构造幂函数（），利用单调性可得答案；
（3）利用函数在上单调递增，指数函数在上是减函数，比较大小可得答案.
【详解】（1）因为，所以函数在其定义域上单调递减，
又，所以；
（2）方法一：在同一平面直角坐标系中画出指数函数与的图象，
如图所示，当时，由图象观察可得；
方法二：构造幂函数（），
则该函数是减函数，又，所以；
（3）因为幂函数在上单调递增，
且，所以，
又根据指数函数在上是减函数，
可得，所以．
10．D
【分析】直接解不等式即可.
【详解】当时，若，即，解得；
当时，若，即，解得.
所以的取值范围为.
故选：D
11．
【分析】根据指数函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】，
所以.
故答案为：
12．C
【分析】根据指数式的运算求解.
【详解】由题可知，，所以，
经过天，数量变为原来的16倍，即，
则有，解得，
故选:C.
13．AD
【分析】根据指数运算判断AB选项的正确性，根据的单调性判断C选项的正确性，根据的图象判断D选项的正确性.
【详解】，所以A项成立；
，所以B项不成立；
函数在上是单调递增函数，若，则，则，若，则，则，故C项不正确；
函数任意两点之间的连线在其图象的上方，所以的图象满足，故D项正确.
故选：AD
14．D
【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最小值即可.
【详解】为偶函数，为奇函数，且①
②
①②两式联立可得，.
由得，
∵在是增函数，且，在上是单调递增，
∴由复合函数的单调性可知在为增函数，
∴，
∴，即实数的最大值为
故选：D.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由求得参数值，再检验即可；
（2）由函数的单调性得，代入可求得．
【详解】（1）由是奇函数得，，此时是奇函数；
（2）由复合函数的性质得在定义域内是增函数，
所以，，，或（舍去），
，
所以．
16．（1）；（2）.
【解析】（1）化简，（），运用换元法，设，得，根据二次函数的值域可求函数的值域；
（2）将问题转化为函数在上有零点，运用参变分离得在上有解，再由函数在上单调性，可求得实数的取值范围.
【详解】（1），（），设，得，
（1）当时，，
所，，
所以函数的值域为；
（2）方程有解等价于函数在上有零点，也即在上有解，
而函数在上单调递减，
故函数在上的值域为，
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题考查指数函数的化简转化为二次函数求值域的问题，以及运用参变分离的方法，求解方程有解的问题，属于较难题.
17．最大值为，最小值为 .
【详解】试题分析:
令, 则 ，所以函数，其对称轴为，所以当时，函数取得最小值，此时；当时，函数取得最大值，此时，故函数的最大值和最小值分别为和.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页4.2.1指数函数的概念＋4.2.2指数函数的图象和性质【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.掌握指数函数的定义，培养数学抽象，如第1题.
2.会判断与指数函数有关的函数图象，锻炼数形结合能力，如第6题.
3.能够灵活指数函数的性质求解相关问题，培养数学运算、直观想象，如第2，3，4，8，12，13题.
（2023·全国·高一专题练习）
1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北宜昌联考）
2．设函数（且），若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
（2023·陕西宝鸡·统考一模）
3．“酒驾猛于虎”.所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过.假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量也会迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少要经过小时后才可以驾驶机动车.
A． B． C． D．
（2023上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）
4．若函数是R上的奇函数，当时，，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·重庆·高一重庆南开中学校考阶段练习）
5．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川宜宾·统考一模）
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）
7．已知函则下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数在R上是增函数 D．函数在R上是减函数
（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期中）
8．已知函数，下面命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为 D．函数在内单调递减
（2023上·河南·高一济源高中校联考期中）
9．已知a，b为实数，，则 ．
（2023上·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）
10．幂函数在上单调递增，则的图象所过定点的坐标为 .
（2023上·浙江温州·高一校联考期中）
11．若函数 若在既有最大值，又有最小值， 则的最大值为 ．
（2023上·广西玉林·高一统考期中）
12．已知函数（，且）的部分图象如图示．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
（2023上·全国·高三校联考阶段练习）
13．已知函数
(1)若，求不等式的解集;
(2)若，求的最小值.
【易错题目】第4，5，7，8，12，13题.
【复盘要点】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
典例（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）
14．已知函数．
(1)试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
(2)求的解集．
【复盘训练】
（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）
15．已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
（2023上·河南·高一济源高中校联考期中）
16．已知，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西·校考模拟预测）
17．奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）
18．已知是定义在上的奇函数， 且当时则 .
（2023上·浙江宁波·高一余姚中学校考期中）
19．已知函数（且）是定义在上的增函数，则实数的取值范围为 ．
（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）
20．是定义在R上的奇函数，且当时，
(1)求在其定义域上的解析式，并直接指出的单调性（无需证明）；
(2)求不等式的解集．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式.
【详解】设（且），则，
解得，故.
故选：D
2．D
【分析】根据函数解析式求得正确答案.
【详解】，
由于且，所以.
故选：D
3．B
【分析】根据题意，列出不等式，可解得至少要经过小时后才可以驾驶机动车.
【详解】设至少个小时后才可以驾驶机动车，
根据题意可得，
，即，
因为在上是增函数，解得，
即至少要经过个小时后才可以驾驶机动车
故选：B.
4．A
【分析】结合指数函数性质可得时，的取值范围，再根据奇函数的对称性求得时的取值范围，即可得答案.
【详解】由题意知当时，，且在上单调递减，
由于函数是R上的奇函数，则，
根据奇函数图象关于原点对称可知，当时，，且在上单调递减，
故，
故选：A
5．D
【分析】根据指数函数单调性分析判断.
【详解】因为在上单调递减，且，则，
又因为在上单调递增，且，则，
所以，即.
故选：D.
6．A
【分析】根据时的范围，及当时，的取值，利用排除法即可得解.
【详解】令，得或，
令，得，
故排除CD，
又当时，，故排除B.
故选：A.
7．AC
【分析】由奇偶性及单调性的性质判断即可.
【详解】因为，定义域为R，
所以，
则函数为奇函数，
而单增，单减，则在R上单调递增.
故选：AC
8．ACD
【分析】分析函数的奇偶性从而可判断AB选项；结合指数函数的值域判断的值域即可判断C；根据复合函数的单调性判断的单调性即可判断D.
【详解】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称，
又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误；
又因为，，
所以，所以，故C正确；
因为，时，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
9．
【分析】根据指数运算求得正确答案.
【详解】由于，所以.
故答案为：
10．
【分析】根据幂函数的定义与性质计算的值，再根据指数函数的性质计算定点即可.
【详解】由题意可知或，
又时，在上单调递减，不符合题意；
而时，符合题意；
所以，当时，，即函数过定点.
故答案为：.
11．3
【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值，又有最小值，列式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，，
当时，，函数在上单调递增，函数值从1递增到2，
在上单调递减，函数值集合为，当时，由，得，
当时，由，得，
由在既有最大值，又有最小值，得，因此，
所以的最大值为3.
故答案为：3
12．(1)
(2)．
【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；
（2）将问题转化为在有解，结合函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由图象可知函数经过点和，
所以，解得，
所以函数的解析式是．
（2）由（1）知，，
根据题意知，即在有解，
设，则，
因为和在上都是单调递增函数，
所以在上是单调递增函数，故，
所以，实数m的取值范围是．
13．(1)
(2)
【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式；
（2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值．
【详解】（1）若，则，
所以，即，所以，
所以或，解得或，
即不等式的解集为．
（2）若，即，解得．
所以，
令，所以．
当，即时，在上单调递增，
所以，即．
当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以，
即．
综上，．
14．(1)为定值1
(2)
【分析】（1）求出，即可得解；
（2）由（1）知，则不等式化为，即可得到，再根据函数解析式计算可得.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即为定值1．
（2）由（1）知，
所以可化为，即，
所以．又，所以，
由，化简得，解得，所以不等式的解集为．
15．C
【分析】利用赋值法,求函数值.
【详解】解：令，得，
所以.
故选：C
16．A
【分析】根据指数函数的单调性确定正确答案.
【详解】，
函数在上单调递增，所以.
故选：A
17．BCD
【分析】根据奇偶性求出即可判断ABC；利用基本不等式可判断D.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，
因为①，所以，即②，
所以由①②解得，故B正确；
，故A错误；
在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以的值域为，所以D正确.
故选：BCD.
18．
【分析】根据奇函数性质得到，求出，进而由得到答案.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，
解得，则，
故.
故答案为：
19．或
【分析】根据指数函数单调性分类讨论即得
【详解】因为函数是定义在上的增函数，
所以
所以或，
解得或．
故答案为：或
20．(1)，在R上单调递增
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义求函数解析式，再根据指数函数单调性结合奇函数性质判断的单调性；
（2）根据奇函数的定义结合函数单调性可得，进而结合指数函数性质运算求解.
【详解】（1）当时，则，可知，
因为是定义在R上的奇函数，可得，
所以，
因为当时，单调递增，
由奇函数性质可知：当时，单调递增，
且连续不断，所以在R上单调递增．
（2）若，
因为是奇函数，则，
又因为在R上单调递增，则，
整理得，解得，则，
所以不等式的解集解集为．
答案第1页，共2页
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