2021-2023年全国高考数学真题汇编训练
姓名：___________ 班级：___________ 得分：___________
一．单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．【2022-浙江卷数学高考真题】 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．【2022-浙江卷数学高考真题】 已知，若对任意，则（ ）
A B. C. D.
3．【2021-浙江卷】 已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A. B. 1 C. D. 3
4．【2023-全国数学乙卷（文）高考真题】 已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
5．【2021-新高考Ⅰ卷】 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6．【2021-天津卷】 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件
7．【2022-天津数学高考真题】 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
8．【2021-天津卷】 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
9．【2023-天津卷数学真题】 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
10．【2021-北京数学高考真题】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．【2022-天津数学高考真题】 的展开式中的常数项为______.
12．【2023-新课标全国Ⅰ卷真题】 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
13．【2021-天津卷】 是虚数单位，复数_____________．
14．【2022-天津数学高考真题】 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________
15．【2022-浙江卷数学高考真题】 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
三．解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）
16．【2021-天津卷】 在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
17．【2021-全国甲卷（理）】 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．【2023-全国数学乙卷（文）高考真题】 如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
（1）求证：//平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
19．【2023-天津卷数学真题】 已知是等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
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2021-2023年全国高考数学真题汇编训练
【参考答案】
1．【答案】D
【解析】
，
故选：D.
2．【答案】D
【解析】
由题意有：对任意的，有恒成立．
设，，
即的图象恒在的上方（可重合），如下图所示：
由图可知，，，或，，
故选：D．
3．【答案】C
【解析】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
4．【答案】D
【解析】
因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
5．【答案】C
【解析】
因为，故，故
故选：C.
6．【答案】A
【解析】
由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．【答案】B
【解析】
志愿者的总人数为＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18－6＝12．
故选：B.
8．【答案】B
【解析】
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
9．【答案】C
【解析】
根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误
故选：C
10．【答案】B
【解析】
由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨
故选：B.
11．【答案】
【解析】
由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
12．【答案】64
【解析】
（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案：64.
13．【答案】
【解析】
.
故答案为：.
14．【答案】 ①. ②.
【解析】
由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则.
故答案为：；.
15．【答案】 ①. ， ②. ##
【解析】
从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案为：，.
16．【答案】（I）；（II）（III）
【解析】
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
17．【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【解析】
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
（2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【小问1详解】
连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，
则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
过作垂直的延长线交于点，
因为是中点，所以，
在中，，
所以，
因为，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，
即三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
又，
所以.
19．【答案】（1），；
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【解析】
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想，然后分别排除和两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
注意到，从到共有项，
故.
小问2详解】
(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
据此猜测，
否则，若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，
其前项和为：.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
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