专题01 实数
易错点一：实数的相关概念
熟练掌握实数的有关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方、科学计数法，实数涉及到的概念较多，且均属于基础知识，往往稍不注意就容易出错，像相反数、倒数、绝对值的意义概念就容易混淆出错，此部分易错知识主要在选择题中考查，很少在填空题或者解答题中出现。
易错提醒：多注意0和π的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.
例题：
1．﹣2024是2024的（ ）
A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣2024是2024的相反数．
故选：C．
2．2022年末2023年初，某县常住人口80万人，城镇化率65.46%，户籍人口81.47万人，城镇化率32.4%，城镇人口26.44万人，乡村人口55.03万人，其中数字81.47万用科学记数法表示为（ ）
A．8.147×106 B．8.147×105
C．81.47×104 D．0.8147×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：81.47万＝814700＝8.147×105．
故选：B．
3．（﹣6）2的平方根是（ ）
A．﹣6 B．36 C．±6 D．±
【分析】首先根据平方的定义求出（﹣6）2的结果，然后利用平方根的定义即可解决问题．
【解答】解：∵（﹣6）2＝36，
∴±＝±6，
∴（﹣6）2的平方根是±6．
故选：C．
4．的立方根是（ ）
A．2 B．±2 C．8 D．﹣8
【分析】先求出，再根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：，
，
∴的立方根是2．
故选：A．
5．下列语句正确的是（ ）
A．3.78788788878888是有理数
B．无理数分为正无理数、零、负无理数
C．无限小数不能化成分数
D．无限循环小数是无理数
【分析】根据实数的分类，即可解答．
【解答】解：A、3.78788788878888是有理数，故A符合题意；
B、无理数分为正无理数和负无理数，故B不符合题意；
C、无限不循环小数不能化成分数，故C不符合题意；
D、无限循环小数是有理数，故D不符合题意；
故选：A．
6．的算术平方根是 ．
【分析】根据算术平方根的意义可求．
【解答】解：∵＝，
∴的算术平方根为，
故答案为：．
变式：
7．2023年12月18日，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，截至12月20日上午9时，国家防灾减灾救灾委员会办公室、应急管理部已向地震灾区调拨棉帐篷、棉衣被、折叠床、取暖炉等共计13.55万件中央救灾物资．其中数据13.55万用科学记数法表示为（ ）
A．1355×102 B．135.5×103 C．13.55×104 D．1.355×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：13.55万＝135500＝1.355×105．
故选：D．
8．下列说法中错误的是（ ）
A．中的a可以是正数、负数或零
B．中的a不可能是负数
C．数a的平方根有两个
D．数a的立方根有一个
【分析】A、根据立方根的定义即可判定；
B、根据算术平方根的性质即可判定；
C、根据平方根的定义即可判定；
D、根据立方根的定义即可判定．
【解答】解：A、中的a可以是正数、负数、零，故选项不符合题意；
B、中的a不可能是负数，故选项不符合题意；
C、如果a为0，则平方根只有一个，故选项符合题意；
D、数a的立方根只有一个，故选项不符合题意．
故选：C．
9．的值是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【解答】解：∵42＝16，
∴16的算术平方根是4，
即＝4，
故选：A．
10．下列说法：①若a+b＝0，则a、b互为相反数；②若a、b互为倒数，则ab＝1；③若|a|＝a，则a＞0；④若a2＝4，则a＝2．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】运用相反数、倒数、绝对值、平方的知识进行逐一辨别．
【解答】解：∵若a+b＝0，则a、b互为相反数，
∴说法①正确；
∵若a、b互为倒数，则ab＝1，
∴说法②正确；
∵若|a|＝a，则a≥0，
∴说法③不正确；
∵若a2＝4，则a＝±2．
∴说法④不正确，
∴正确的个数有2个，
故选：B．
11．的平方根是 ．
【分析】根据算术平方根和平方根的定义，即可解答．
【解答】解：＝4，4的平方根是±2．
故答案为：±2．
12．如果＝8，那么＝ ．
【分析】根据算术平方根，立方根的意义，即可解答．
【解答】解：∵＝8，
∴x＝64，
∴＝＝﹣4，
故答案为：﹣4．
易错点二：实数的分类及大小比较
实数的分类可以按性质即正负来分，也可以按定义分为有理数和无理数，有理数下还可以按整数、分数进一步分类，中考直接进行考查的较少，几乎没有，但也要掌握相关分类的定义，例如什么是正整数，非负整数等，这些知识结合其他知识考查常有出现。
实数的大小比较注意两点：1.两个负数作比较
2.有理数与无理数的比较
技巧：
实数大小比较的常用方法：
1、根据性质比较：正负＞0＞负数；
2、数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；
3、差量法：对于任意两个实数a、b，若
4、平方法：若要比较任意两个实数a、b的大小，可以先比较他们的平方，由平方倒推 a、b本身的大小；
5、近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小
易错提醒：实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：；
例题：
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2 B．3.14 C． D．π
【分析】根据无理数的定义分析已知数据即可判定选择项．
【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．
【分析】正整数是指既是正数又是整数，由此即可判定求解．
【解答】解：A、﹣2是负整数，故选项错误；
B、﹣1是负整数，故选项错误；
C、1是正整数，故选项正确；
D、是非正整数，故选项错误．
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．0是无理数 B．π是有理数 C．4是有理数 D．是分数
【分析】依据有理数和无理数的概念求解即可．
【解答】解：A、0是有理数，所以A选项错误；
B、π不是有理数，是无理数，所以B选项错误；
C、4是有理数中的正整数，所以C选项正确；
D、是一个无理数，所以选项D错误．
故选：C．
4．在下列实数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．3
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，
∴1＜，
∴﹣1＞﹣，
在0，﹣1，﹣，3这四个数中，
∵3＞0＞﹣1＞﹣，
∴最小的数是﹣，
故选：C．
5．比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A．＜ B．＜0.5 C．＞1.5 D．＞7
【分析】利用平方法，以及估算无理数的大小，即可解答．
【解答】解：A、∵（）2＝8，（）2＝10，
∴8＜10，
∴＜，
故A不符合题意；
B、∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＞，
∴＞0.5，
故B符合题意；
C、∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴＞，
∴＞1.5，
故C不符合题意；
D、∵（）2＝50，72＝49，
∴50＞49，
∴＞7，
故D不符合题意；
故选：B．
6．比较两数大小：﹣ ﹣（用“＜”，或“＞”，或“＝”填空）．
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣|＝，而，
∴．
故答案为：＞．
变式：
7．在0，，﹣1，，0.101001…（每相邻两个1之间0的个数逐次多1），这五个数中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在0，，﹣1，，0.101001…（每相邻两个1之间0的个数逐次多1），这五个数中，无理数有，0.101001…（每相邻两个1之间0的个数逐次多1），共2个．
故选：B．
8．下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣|＝，
∴＞，
∴﹣＜﹣，
在﹣，﹣，1，这四个数中，
∵﹣＜﹣＜1＜，
∴最小的数是﹣，
故选：B．
9．在﹣2.5，，0，2这四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣2.5 B． C．0 D．2
【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．
【解答】解：A、﹣2.5是负分数．故本选项错误；
B、是正分数．故本选项错误；
C、0是整数，它既不是正整数，也不是负整数．故本选项错误；
D、2是正整数．故本选项正确；
故选：D．
10．2，，5三个数的大小关系是（ ）
A．5＜＜2 B．＜5＜2
C．2＜5＜ D．＜2＜5
【分析】根据实数大小比较的方法即可求解．
【解答】解：2＝，
因为24＜25＜27，
所以＜5＜，
即2＜5＜．
故选：C．
11．在实数：，0，，1.010010001，4.21，π，中，整数有 个．
【分析】根据整数的意义，即可解答．
【解答】解：在实数：，0，，1.010010001，4.21，π，中，整数有0，，
共有2个，
故答案为：2．
12．比较大小： ﹣4．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】先分别计算（）2与42，然后进行比较即可解答．
【解答】解：∵（）2＝17，42＝16，
∴＞4，
∴﹣＜﹣4，
故答案为：＜．
易错点三：实数的运算
实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等，其中减法可以转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算；同时要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键还要把握好符号关；实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算。
易错提醒：注意零指数幂和负整数指数幂的运算，还有绝对值的化简及乘方运算有括号和无括号的区别，公式：；；特别地：
例题：
1．计算﹣32+4的结果是（ ）
A．﹣13 B．﹣5 C．﹣2 D．13
【分析】先算乘方，再算加减，即可解答．
【解答】解：﹣32+4
＝﹣9+4
＝﹣5，
故选：B．
2．计算（﹣2）0+6÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】先算零指数幂和有理数的除法，再算有理数的加法，即可解答．
【解答】解：（﹣2）0+6÷（﹣2）
＝1+（﹣3）
＝﹣2，
故选：B．
3．计算：（﹣3）2﹣|﹣10|＝ ．
【分析】要注意运算顺序与运算符号．
【解答】解：（﹣3）2﹣|﹣10|＝9﹣10＝﹣1．
4．计算：＝ ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可即可解答．
【解答】解：
＝2﹣﹣1
＝1﹣，
故答案为：1﹣．
5．计算：﹣42÷（﹣2）3﹣．
【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【解答】解：﹣42÷（﹣2）3﹣
＝﹣16÷（﹣8）﹣×
＝2﹣1
＝1．
6．计算：20220+|﹣2|﹣（）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：20220+|﹣2|﹣（）﹣1
＝1+2﹣﹣3
＝﹣．
7．计算：．
【分析】先计算二次根式、立方根、立方和绝对值值，再计算加减．
【解答】解：
＝5+﹣2+1
＝3+．
变式：
8．下列式子中，与算式（﹣3）2+（﹣3）2+（﹣3）2结果相同的是（ ）
A．（﹣3）3 B．33 C．（﹣3）6 D．（﹣2）3
【分析】根据有理数的加法，乘方法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（﹣3）2+（﹣3）2+（﹣3）2
＝3×（﹣3）2
＝3×32
＝33，
故选：B．
9．计算的结果是 ．
【分析】根据除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，把除法运算转化为乘法运算，再根据有理数的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：
＝
＝，
故答案为：．
10．计算（π﹣3）0+|﹣6|﹣8×4﹣1＝ ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（π﹣3）0+|﹣6|﹣8×4﹣1
＝1+6﹣8×
＝1+6﹣2
＝7﹣2
＝5，
故答案为：5．
11．计算：＝ ．
【分析】原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝9﹣3﹣3＝3，
故答案为：3
12．计算：﹣23﹣16÷（﹣2）3﹣（﹣1）2024×5．
【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【解答】解：﹣23﹣16÷（﹣2）3﹣（﹣1）2024×5
＝﹣8﹣16÷（﹣8）﹣1×5
＝﹣8+2﹣5
＝﹣6﹣5
＝﹣11．
13．计算：|﹣2|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|﹣2|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0
＝2+4﹣1
＝5．
14．计算：．
【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣2+2﹣＝5﹣3．
试卷第2页，共27页
专题01 实数
易错点一：实数的相关概念
熟练掌握实数的有关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方、科学计数法，实数涉及到的概念较多，且均属于基础知识，往往稍不注意就容易出错，像相反数、倒数、绝对值的意义概念就容易混淆出错，此部分易错知识主要在选择题中考查，很少在填空题或者解答题中出现。
易错提醒：多注意0和π的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.
例题：
1．﹣2024是2024的（ ）
A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数
2．2022年末2023年初，某县常住人口80万人，城镇化率65.46%，户籍人口81.47万人，城镇化率32.4%，城镇人口26.44万人，乡村人口55.03万人，其中数字81.47万用科学记数法表示为（ ）
A．8.147×106 B．8.147×105
C．81.47×104 D．0.8147×106
3．（﹣6）2的平方根是（ ）
A．﹣6 B．36 C．±6 D．±
4．的立方根是（ ）
A．2 B．±2 C．8 D．﹣8
5．下列语句正确的是（ ）
A．3.78788788878888是有理数
B．无理数分为正无理数、零、负无理数
C．无限小数不能化成分数
D．无限循环小数是无理数
6．的算术平方根是 ．
变式：
7．2023年12月18日，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，截至12月20日上午9时，国家防灾减灾救灾委员会办公室、应急管理部已向地震灾区调拨棉帐篷、棉衣被、折叠床、取暖炉等共计13.55万件中央救灾物资．其中数据13.55万用科学记数法表示为（ ）
A．1355×102 B．135.5×103 C．13.55×104 D．1.355×105
8．下列说法中错误的是（ ）
A．中的a可以是正数、负数或零
B．中的a不可能是负数
C．数a的平方根有两个
D．数a的立方根有一个
9．的值是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
10．下列说法：①若a+b＝0，则a、b互为相反数；②若a、b互为倒数，则ab＝1；③若|a|＝a，则a＞0；④若a2＝4，则a＝2．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．的平方根是 ．
12．如果＝8，那么＝ ．
易错点二：实数的分类及大小比较
实数的分类可以按性质即正负来分，也可以按定义分为有理数和无理数，有理数下还可以按整数、分数进一步分类，中考直接进行考查的较少，几乎没有，但也要掌握相关分类的定义，例如什么是正整数，非负整数等，这些知识结合其他知识考查常有出现。
实数的大小比较注意两点：1.两个负数作比较
2.有理数与无理数的比较
技巧：
实数大小比较的常用方法：
1、根据性质比较：正负＞0＞负数；
2、数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；
3、差量法：对于任意两个实数a、b，若
4、平方法：若要比较任意两个实数a、b的大小，可以先比较他们的平方，由平方倒推 a、b本身的大小；
5、近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小
易错提醒：实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：；
例题：
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2 B．3.14 C． D．π
2．下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．0是无理数 B．π是有理数 C．4是有理数 D．是分数
4．在下列实数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．3
5．比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A．＜ B．＜0.5 C．＞1.5 D．＞7
6．比较两数大小：﹣ ﹣（用“＜”，或“＞”，或“＝”填空）．
变式：
7．在0，，﹣1，，0.101001…（每相邻两个1之间0的个数逐次多1），这五个数中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．1 D．
9．在﹣2.5，，0，2这四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣2.5 B． C．0 D．2
10．2，，5三个数的大小关系是（ ）
A．5＜＜2 B．＜5＜2
C．2＜5＜ D．＜2＜5
11．在实数：，0，，1.010010001，4.21，π，中，整数有 个．
12．比较大小： ﹣4．（填“＞”，“＜”或“＝”）
易错点三：实数的运算
实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等，其中减法可以转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算；同时要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键还要把握好符号关；实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算。
易错提醒：注意零指数幂和负整数指数幂的运算，还有绝对值的化简及乘方运算有括号和无括号的区别，公式：；；特别地：
例题：
1．计算﹣32+4的结果是（ ）
A．﹣13 B．﹣5 C．﹣2 D．13
2．计算（﹣2）0+6÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
3．计算：（﹣3）2﹣|﹣10|＝ ．
4．计算：＝ ．
5．计算：﹣42÷（﹣2）3﹣．
6．计算：20220+|﹣2|﹣（）﹣1．
7．计算：．
变式：
8．下列式子中，与算式（﹣3）2+（﹣3）2+（﹣3）2结果相同的是（ ）
A．（﹣3）3 B．33 C．（﹣3）6 D．（﹣2）3
9．计算的结果是 ．
10．计算（π﹣3）0+|﹣6|﹣8×4﹣1＝ ．
11．计算：＝ ．
12．计算：﹣23﹣16÷（﹣2）3﹣（﹣1）2024×5．
13．计算：|﹣2|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0．
14．计算：．
试卷第2页，共27页
