2023-2024学年陕西省西安市重点大学附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则此数列的前项的和等于( )
A. B. C. D.
2.函数的极小值为( )
A. B. C. D. 不存在
3.若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为( )
A. B. C. D.
4.设数列的前项和为，并且，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为( )
A. B. C. D.
6.设点是双曲线与圆在第一象限的交点，，是双曲线的两个焦点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为( )
A. B. C. D.
8.若不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于函数极值的说法正确的是( )
A. 导数值为的点一定是函数的极值点
B. 函数的极小值可能大于它的极大值
C. 函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值
D. 若在区间上有极值，则在区间上不单调
10.已知圆：，直线：，则下列说法正确的是飞( )
A. 当时，直线的倾斜角为
B. 当时，直线与圆相交
C. 圆与圆：相离
D. 当，时，过直线上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为
11.已知数列满足，且，则以下正确的有( )
A. B. 数列是等差数列
C. 数列是等比数列 D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点，与两条渐近线交于点，其中点，点在第一象限内，设，分别为与的内心，则( )
A. 点的横坐标为 B. 当时，
C. D. 为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在区间上的最大值是______．
14.设等差数列的前项和为，若，，则 ______．
15.若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是______．
16.已知等差数列公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，其中，，则数列的前项之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，．
求数列、数列的通项公式；
若，求证数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
19.本小题分
已知抛物线的方程是，直线交抛物线于，两点，设，
若弦的中点为，求直线的方程；
若，求证：直线过定点．
20.本小题分
已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项，
求的值，并求数列的通项公式；
若，求使成立的正整数的最小值．
21.本小题分
已知椭圆：的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为，，点，且的面积为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，的斜率分别为，，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
设函数，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：等差数列中，，
，此数列的前项的和等于．
故选：．
由等差数列性质可得，从而确定其项的和．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，由，
时，，时，，
所以的极小值．
故选：．
求出定义域，导数及导数的零点，再判断导数附近的符号，确定结论．
本题考查函数极值点的判断和计算，属于中档题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．
求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点到抛物线的焦点的距离．
【解答】
解：抛物线的准线方程为，
抛物线上一点到轴的距离为，则，
到抛物线的准线的距离为：，
点到抛物线的焦点的距离为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：数列的前项和为，并且，
当时，．
所以．
故选：．
利用即可求解．
本题考查数列前项和公式和通项公式之间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，求导得：，设切点坐标为，
于是，解得，则，
所以所求切线方程为，即．
故选：．
求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：点到原点的距离，，
，，，，
，，．
故选：．
由题意结合圆的半径和双曲线的定义得到，的比值关系即可确定其离心率．
本题主要考查双曲线的离心率的求解，圆的几何性质，双曲线的几何性质等知识，属于中等题．
7.【答案】
【解析】解：构造函数，
则在时恒成立，
所以在时单调递增，
所以，即，
所以，
故选：．
构造函数，讨论其单调性即可求解．
本题考查利用函数单调性比较大小，导数的应用，属中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究恒成立问题，属于中档题．
构造函数，先求导，判断导函数的单调性，即可求出函数的最小值，根据基本不等式即可求出的取值范围．
【解答】
解：设，则，，
，
设，，，则，
函数在上单调递增，
存在，使得，
即存在，使得，
即，两边取对数，可得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
不等式恒成立，
恒成立，
恒成立，
，当且仅当时取等号，
，
即，
故的取值范围是．
故本题选A．
9.【答案】
【解析】解：若，则，令，则，
而在上为增函数，所以无极值，
所以导数值为的点不一定是函数的极值点，故A错误，
B.因为函数的极值是与它附近的函数值比较，是一个局部概念，
所以函数的极小值可能大于它的极大值，故B正确，
C.因为函数在上为增函数，所以在定义域内无极值，故C错误，
D.若在区间上有极值，则在区间上有增有减，
由单调性的定义可知在区间上不单调，故D正确．
故选：．
对于，举例判断，对于，由极值的定义判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：当时，直线为，
所以直线的斜率为，
设倾斜角为，则，
因为，
所以，故A正确；
对于：当时，直线为，
由，可得：圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以圆与直线相离，故B错误；
对于：因为圆：，
所以圆心，半径，
因为，
所以两圆相离，故C正确；
对于：当，时，直线为，
过直线上任意一点作圆的切线，设切点为，
则切线长，
所以当取得最小值时，最小，
因为点在直线：上，
所以当时，最小，
此时，
所以，故D错误．
故选：．
对选项逐个判断即可．
本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：数列满足，且，
可得，
即有，
可得，是公比为的等比数列，不是等差数列，故ACD正确，B错误．
故选：．
由累加法求得，再对选项加以判断，可得正确结论．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由双曲线方程知，令圆在轴上的切点横坐标为，
结合双曲线定义及圆切线性质有，即，
所以圆在轴上的切点与右顶点为重合，又轴，则的横坐标为，错；
由，则，
故，
而，所以，故，解得，
所以，对；
设直线：，点，，，
则点，，
联立，整理可得，
，可得，
则，，
所以，
所以，，
所以，故C正确；
由，分别是，的角平分线，
又，
所以，结合分析易知，
在中，，对．
故选：．
根据双曲线方程有，利用双曲线定义及圆切线性质求圆在轴上的切点横坐标即可判断；
根据，结合双曲线定义、勾股定理求判断；
设直线：，联立，整理可得，结合韦达定理即可求解；判断；
由内切圆圆心性质，结合直角三角形性质判断．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
令，得；令，得；
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故答案为：．
利用导数判断的单调性，从而得解．
本题考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，，，
由等差数列的性质知，，，构成一个等差数列，
，
，
即
故答案为：．
本题知道了等差数列的前四项的和，与前八项的和，即知道了第一个四项的和与第二个四项的和，求第三个四项的和，故本题可以利用等差数列的性质求解．
本题考查等差数列的性质，利用这个性质，极大的简化了运算，学习中注意体会性质的运用．
15.【答案】
【解析】解：令，则得到，
由于，故时，单调递减，
或时，单调递增．
当时，函数减区间为，不合题意，
当时，函数的增区间为．
，，．
综上，．
故答案为：．
将函数看作是复合函数，令，且，得，因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，再由复合函数“同增异减”求得结果．
本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得，，成等比数列，
即有，
由等差数列的通项公式可得，
解得，
则，
由的公比，
则，
可得，
则数列的前项之和为．
故答案为：．
由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得，进而得到的公比和通项公式，求得，由等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
正项等比数列的公比为，，
由，，，
可得，，
解得，舍去，
则，；
证明：
，
所以
．
【解析】设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比；
求得，再由裂项相消求和即可得证．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，则，
则切线的斜率，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
，
则，
由，可得或；由，可得，
所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为．
【解析】利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可；
利用导数求出函数的单调区间即可．
本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属基础题．
19.【答案】解：因为抛物线的方程为，
所以，，
因为弦的中点为，
所以，
两式相减得，
所以，
所以直线的方程为，即．
证明：当的斜率存在时，设直线的方程，
联立，得，
所以，则，
所以直线的方程为，过定点，
当直线的斜率不存在时，直线与轴垂直，则，
因为，
所以，
所以，
所以，则，
所以直线过定点，
综上所述，直线过定点．
【解析】根据题意可得，，弦的中点为，则可得，进而可得直线的斜率，即可得出答案．
分两种情况：当的斜率存在时，当直线的斜率不存在时，讨论直线过定点．
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：设等比数列的公比为，
则有，解得或舍去，
所以，；
由及，得，
，
，
，
得，，
要使成立，只需成立，即，
使成立的正整数的最小值为．
【解析】设等比数列的公比为，然后列出首项及公比的方程组即可求出首项和公比，从而求出通项公式；
本题构造了一个新数列，要求新数列的和，用错位相减来求和，两边同乘以，得到结果后观察成立的正整数的最小值．
本题考查了求数列的通项公式，错位相减法求数列的和，也考査了数列能成立时的最小值，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由椭圆的焦点为，，由点，且的面积为，
可得，解得，又由离心率，可得，
而，
所以椭圆的标准方程为：；
Ⅱ当直线的斜率为时，则，，
则，
当直线的斜率不为时，设，，直线的方程为，
由，整理得，
，则，，
又，，
所以，
令，当时，；
当时，，则，
当，则，当且仅当，即，这时；
当，则，当且仅当，即，这时，
综上所述：．
【解析】Ⅰ由离心率可得，的关系，再由三角形的面积可得的值，进而求出的值，再求的值，求出椭圆的方程；
Ⅱ分直线的斜率为和不为两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，代入，整理可得斜率之积的代数式，换元，由函数的单调性，求出其范围．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，换元法的应用，属于中档题．
22.【答案】解：，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又在区间上存在极值，
则，
所以的取值范围为．
，，
若，则恒成立，在上单调递增，所以无极值点；
若，则，恒成立，
在上单调递增，所以无极值点；
若，则，由得，，，
，
则在，上单调递增，在上单调递间，
所以有极大值点为，极小值点为．
，
，，则，，
，
令，则，
在上单调递减，，，
所以的取值范围为．
【解析】求出的单调区间即可求解；
求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，
根据函数的单调性可得函数的极值；，
令，利用导数研究函数的单调性，由单调性可求的值域，从而可得结果．
本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值、利用导数求函数的值域，属于难题
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