克州2023-2024学年度第一学期期末质量监测试卷
高一年级·数学
时间：120分钟 满分：100分
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。第1题至第8题是单选题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。第9题至第12题是多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分。）
1．已知全集，设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．( )
A． B． C． D．
4．命题“”的否定是 ( )
A． B．
C． D．
5. 设扇形周长为20，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
6．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
7．设，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则的函数值为（ ）
A．-312 B．-174 C．-76 D．174
9．如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间（月）的关系：，以下叙述中正确的是（ ）
A．这个指数函数的底数是2 B．第5个月时，浮萍的面积就会超过
C．浮萍从蔓延到需要经过2个月 D．浮萍每个月增加的面积都相等
10．下列各组函数中，是相同函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
11．函数，则（ ）
A．的一个周期为 B．是增函数
C．的图象关于点对称 D．将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
12．已知函数的图像，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．若，且，则的最大值为 .
14．已知，则 .
15.函数的图象恒过定点_________．
16.函数 的单调递增区间为________.
三、解答题（本题6小题，第17题至第20题每题8分，第21题至第22题每题10分，共52分）
17. （1）计算：
（2）计算: - (π-1)0
18．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.
19．如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形）上修建两个绿化带，矩形的面积为，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为的人行道，且这两个梯形之间也留有的人行道.设.
(1)用表示绿化带的面积；
(2)求绿化带面积的最大值.
20．已知函数，且．
（1）求函数；
（2）用定义证明函数在上是增函数.
21.已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
22．已知函数为定义在上的奇函数.
(1)求的值，并猜想函数的单调性；
(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
高一期末数学考试卷答案解析
一、选择题
1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.AC 10.AD 11.AC 12.BD
1.答案C解析 全集，集合，所以.
2.答案A解析 由得或, 故“”是“”的充分不必要条件
3.答案B
4.答案C
5.答案D解析 解：设弧长为半径为，则有，由20=得，面积=24．
6.答案D 解析不是奇函数，是偶函数，在定义域上不是增函数，又，定义域为且关于原点对称，当时，，当时，，所以为奇函数，又可知时为增函数，所以是增函数且为奇函数，
7.答案C 解析因为，，且，
所以.
8．C 解析由题意，可得.
9.AC 解析：将点代入中，得，所以，所以A正确，
当时，，所以B错误；当时，，当时，，所以浮萍从蔓延到需要经过2个月，所以C正确；由指数函数的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误，
10．AD 解析A选项，的定义域为，
与，的定义域相同，且对应法则相同，A正确；
B选项，，与对应法则不同，B错误；
C选项，，故与的对应法则不同，C错误；
D选项，的定义域为，故，
故两函数是相同函数，D正确.
11．AC 解析对A：的最小正周期为，故A正确；对B：的递增应满足：，即增区间为，故B错误.
对C：的对称中心满足：，即中心为，，故C正确；
对D：将函数的图象向右平移个单位长度可得到，故D错误.
12．BD解析：根据函数的定义域，函数零点以及的取值等进行判断．
【详解】因为所以；
的定义域是，由图知：故
由图知f(x)的零点大于0，即得到a<0，
故选：BD
二、填空题
13．答案: 解析由，且，得，当且仅当时取等号，所以当时，取得最大值.
14. 答案:；解析：∵，（1）；
15.答案：(3,2) 解析 ∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．
16.答案：解析：由题得或.
函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
又函数是减函数，所以函数的单调递增区间为.
三、解答题
17.（1）答案：－1 解析:原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋－×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.（4分，有简单过程即可。答案不正确的，过程中能体现lg 5＋lg 2=1给1分；体现=lg 2，给1分；体现=×给1分；只有答案无任何过程的只得1分.）
（2）答案：16 解析：原式=--1-+6-1-+(43+16=16.
（4分，有简单过程即可。答案不正确的，过程中能体现原式四项中的每一项计算正确均可给1分，总计3分，只有答案无任何过程的只得1分.）
18．（1）(3分)（2）是奇函数，证明见解析（5分）
【解析】 (1)由,（1分）解得, ∴,（2分）∴函数的定义域.（3分）
(2)函数是奇函数.（4分）
证明:由(1)知定义域关于原点对称.（5分）.
∵（6分） = （7分）所以函数是奇函数.（8分）
19【答案】(1)（4分）
(2)（4分）
【详解】（1）因为矩形ABCD的面积为，，所以（1分），
两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，
则，（2分）解得，（3分）
则绿化带面积为；（4分，没有写定义域扣一分）
（2）由（1）知（5分）
，（6分）
当且仅当，即时等号成立，（7分,没有写取等条件扣一分）
所以绿化带面积的最大值为.（8分）
20．（1）；（2分）（2）证明见解析（6分）
【解析】（1），（1分）（2分）
（2）设，（5分，写出作差的表达式给一分，因式分解对的给两分）
（6分）
，即（7分）
则函数在上是增函数（8分）
21. (1)最小正周期；（2分）单调递减区间；（2分）
(2)最大值为；最小值为.（6分）
【详解】（1）因为，
所以函数的最小正周期；（2分）
由，（3分）得.
即函数的单调递减区间为；（4分）
（2）因为，所以，（6分）所以，
当即时，函数取最小值，（7分）；（8分）
当即时，函数取最大值，（9分）.（10分）
22．(1)；（2分）猜想函数为上单调递增的奇函数.（1分）
(2) .（7分）
【详解】（1）解：因为函数为定义在上的奇函数，
所以，（1分）得，（2分）经检验符合题意，所以；猜想函数为上单调递增的奇函数（3分）
（2）证明：根据（1）知，
，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增；（4分，只要通过数学方法论证函数是单调递增函数就给二分）
由函数为上单调递增的奇函数，
，即，
即（5分），
则，
所以对任意实数恒成立（6分），
当时，，显然成立；（7分）
当时，，解得， （9分）综上可知，实数的取值范围是.（10分）
