2023-2024学年黑龙江省绥化市绥棱重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：的倾斜角为，则实数( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，则的值是( )
A. B. C. D.
3.方程表示一个圆，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数的单调减区间是( )
A. B. C. D. 以上都不对
5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.若数列满足，且，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为抛物线：的焦点，过且斜率为的直线交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
8.下列关于函数的判断正确的是( )
的解集是．
是极小值，是极大值．
没有最小值，也没有最大值．
有最大值，没有最小值．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的导函数的图像如图所示，则( )
A. 为函数的零点 B. 为函数的极小值点
C. 函数在上单调递减 D. 是函数的最小值
10.已知等差数列的公差不为，且，，成等比数列，则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.设，为双曲线：的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线与在第一象限相交于一点，则下列说法正确的是( )
A. 直线倾斜角的余弦值为
B. 若，则的离心率
C. 若，则的离心率
D. 不可能是等边三角形
12.已知函数，则( )
A. 当时，函数存在极值点
B. 若函数在点处的切线方程为直线，则
C. 点是曲线的对称中心
D. 当时，函数有三个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线在处的切线方程为______．
14.若圆：被直线平分，则圆的半径为______．
15.若过点可以作三条直线与函数相切，则实数的取值范围是______．
16.已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足若，是数列的前项和，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数的图象过点，且．
求，的值；
求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．
18.本小题分
已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．
求圆的方程；
若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程．
19.本小题分
已知等差数列的首项为，其前项和为，且是与的等比中项．
求数列的通项公式；
若是数列的前项和，求证：．
20.本小题分
已知，分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中点在双曲线的渐近线上．
设，的斜率分别为，，求证：为定值；
判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
21.本小题分
如图，在五棱锥中，平面，，，，，，，三角形是等腰三角形．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的大小．
22.本小题分
已知函数
当，求函数的极值；
若，是方程的两个不同实根，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为直线：的倾斜角为，
所以直线：的斜率为，解得．
故选：．
由题意可得直线：的斜率为，解方程即可得出答案．
本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角等知识，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
根据是等差数列可得，则，进一步利用进行求解即可．
【解答】
解：是等差数列，
，
又，
，即，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：因为方程表示一个圆，
所以，解得，
所以的取值范围是．
故选：．
根据圆的一般方程列出不等式求出的取值范围．
本题考查了圆的一般方程应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题知，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增．
故选：．
的导函数即可解决．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题知表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得或．
故选：．
根据椭圆焦点在轴上，可得，，解出范围即可．
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：数列满足，且，，，
令，
则，
所以，
所以数列是首项和公比都为的等比数列，
所以．
故选：．
根据已知推导出数列是首项和公比都为的等比数列，根据等比数列求和公式求解．
本题考查了等比数列的定义，重点考查了等比数列求和公式，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：如图，设直线的倾斜角为，则根据题意可知，
过作垂直准线，垂足点为，设准线与轴的交点为，
过作垂直轴，垂足点为，
则根据抛物线的定义可得：
，
，为抛物线的焦点到准线的距离，
，
同理可得，
又过且斜率为的直线交于，两点，且，
，
，又，
，
，
故选：．
根据抛物线的几何性质，抛物线的倾斜角的焦半径公式，方程思想，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的倾斜角的焦半径公式，方程思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，故正确；
，由得，
由得或，
由得，
的单调减区间为，单调增区间为
的极大值为，极小值为，故正确．
时，恒成立．
无最小值，但有最大值
不正确，正确．
故选：．
令可解的范围确定正确；
对函数进行求导，然后令求出，在根据的正负判断原函数的单调性进而可确定正确．
根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，不正确．从而得到答案．
本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于，但导函数等于时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．
9.【答案】
【解析】解：由的导函数的图像可知，在，单调递减，在单调递增，
故当或时，取得极小值，但与的大小关系不确定，
故BC正确，AD错误，
故选：．
由的图像可知，在，单调递减，在单调递增，从而可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查识图能力与逻辑思维能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
由于，，成等比数列，得，
即，，解得或舍去，
可得，．
，故A正确；
，，，
由于，则，故B正确；
而，，得C正确，D错误．
故选：．
设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，求得公差，然后逐项判断．
本题考查等差数列、等比数列的通项公式、前项和及性质，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，由题意可得为锐角，且，
由，解得，故A正确；
由在第一象限内，若，则，，
由余弦定理可得，结合，
整理可得，解得舍去，故B错误；
若，则，，
由余弦定理可得，结合，
整理可得，
解得或舍去，故C错误；
由可得不可能为等边三角形，故D正确．
故选：．
设直线的倾斜角为，由直线的斜率公式和同角的基本关系式可判断；由双曲线的定义和余弦定理，结合离心率公式，可判断，；由可判断．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
当时，，函数在上单调递增，函数没有极值，A错误；
因为，，
故函数在处的切线方程为，
由题意得，即，B正确；
设为上的点，关于对称的点，
则，，
因为，
所以，
即，
所以在已知函数的图象上，即的图象关于对称，C正确；
当时，，，
易得，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因为，，
，，，，
故函数只有一个零点，D错误．
故选：．
先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系检验选项A；
结合导数的几何意义先求出切线斜率，结合已知切线方程可求；
结合函数对称性的判断检验选项C；
结合导数分析函数的性质，然后结合函数零点判定定理检验选项D．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系，导数的几何意义，还考查了函数的对称性的应用及函数零点的判断，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
则当时，，，
所以曲线在处的切线方程为，整理得，
故答案为：．
根据条件求出时、的值即可表示出切线方程．
本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：若圆被直线平分，则直线过圆心，
圆：的圆心为，
即，
解得：，
则圆：，则圆的半径为．
故答案为：．
首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径．
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：设切点，
由，
可得，
切线的斜率为，
切线的方程为，
又点在切线上，
，
即有三个不同的实数解，
不是方程的解，
有三个不同的实数解，
令，，
当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
时，，当趋于时，趋于正无穷，
．
故的取值范围是．
设切点，进而得出切线的方程为，代入点得出有三个不同的实数解，利用单调性即可求解．
本题考查导数的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，当时，，
解得，
当时，将代入，
可得，
则有，即，
，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
，，
则当时，，
当时，也符合上式，
，，
，
．
故答案为：．
先将代入题干表达式计算出的值，当时，将代入，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公差的等差数列，通过计算数列的通项公式即可计算出前项和的表达式，再结合公式即可计算出数列的通项公式，进一步推导出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前项和的值．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论，整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：由，得，
由题意可得，，解得；
由得，，，
，，
曲线在点处的切线方程为，即．
取，得，取，得．
曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．
【解析】求出原函数的导函数，由题意列关于，的方程组，求解可得，的值；
由可得函数解析式，再由导数求出曲线在点处的切线方程，再求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，是中档题．
18.【答案】解：由题意可知，的中点为，，
所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，
又半径，
所以圆的方程为；
设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为．
【解析】求出的中垂线方程为，得圆心的坐标，求半径，可得圆的方程；
设，，可得，可得，可得圆的轨迹方程．
本题考查直线与圆的位置关系与点的轨迹方程的求法，属中档题．
19.【答案】解：设等差数列的公差为，由题意，
即，解得，
，
即数列的通项公式为．
证明：，
．
【解析】设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式；
由裂项相消法求和即可；
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：设，，则，，
由的中点在双曲线的渐近线上，则，
即，
，
为定值．
：，
，
联立得：，
同理，，
设到直线的距离为，则，
，
由知：，
．
的面积是定值．
【解析】设，，借鉴点差法原理构造求解．
设：，联立双曲线，可找到，同理可找出，由面积公式表示出化简即可．
本题考查了联立直线与圆锥曲线方程解决数学问题的能力，考查了双曲线性质，考查了数学计算能力，考查了方程思想，属于难题．
21.【答案】证明：在中，，，，
，
，，
．
又平面，，平面，
，，
又平面，平面，，
平面，又平面，
平面平面．
，
，
过做，则，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
即到平面的距离为，
，
到平面的距离，
设直线与平面所成角为，
，．
【解析】利用余弦定理求出，根据勾股定理得出，即，由平面得出，故CD平面，从而得出平面平面；
做即可证明平面，又，故B到平面的距离，求出，的值即可得出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，也可利用空间向量求出，属于中档题．
22.【答案】解：，．
即当时，，
由，得，由，得，
即在上单调递增，在上单调递减．
在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
证明：，是方程的两个不同实根，
，
，
即，．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
由题意设，
欲证，只需证，
又在上单调递增，
故只需证．
，
只需证对任意的恒成立即可，
即，
整理得，
即，
设，
则，
，，
，
在上单调递减，则，
成立．
【解析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，再求出函数的极值；
由题意，可得，，构造函数，利用导数求出其单调区间，可得，再将问题转化为证，结合可知，只需证对任意的恒成立即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属难题．
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