2023—2024学年第一学期七年级校内期末质量检测
数学学科试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作（ ）
A. B. C. D.
2. 截至2022年底，我国海上风电累计装机已超千瓦，连续两年位居全球首位，占比达一半左右．将数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，B地在灯塔O的西北方向，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，点C为线段AB上一点，若，，则（ ）
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
6. 如果，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 若表示a、b两数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8. 若的值为5，则值为（ ）
A. B. C. D. 9
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果，那么点C为线段中点．
B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”．
C. 如果，，，那么A，B，C三点在一条直线上．
D. 已知且，依据“同角的补角相等”可得．
10. 已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A. 8 B. 5 C. 3 D. 1
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 2024倒数是______．
12. 单项式系数为______．
13. 一个角余角等于，那么这个角等于______度．
14. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x，则可列方程______．
15. 如果，那么的值为______．
16. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，，为折痕，若点的对应点恰好落在折痕上，且，则______．（用含的式子表示）
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 解方程：
（1）
（2）
19. 先化简，再求值：，其中，
20. 如图，已知，，若平分，求的度数．
21. 一段公路甲队单独修需30天，乙队单独修需20天．先由甲队单独修路10天后，再由甲、乙两队共同修路，还需多少天才能修完？(列方程解决问题)
22. 如图，点C线段上一点，点D为线段延长线上一点且满足，
（1）尺规作图：根据题意补全图形；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求线段的长．
23. 某超市用3000元购进苹果、桔子两种水果共500千克，这两种水果的进价、标价如下表所示：
类型价格 苹果 桔子
进价（元/千克） 7 3
标价（元/千克） 10 6
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）若苹果按标价的八折出售，桔子也打折出售，那么这两种水果全部售出后，要使超市获利率为，桔子应打几折出售？
24. 综合与实践：
某校七年级开展了“制作正方体纸盒”的实践活动课，他们利用长为（），宽为（）的长方形纸板设计并制作出正方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计），有以下两种设计方案：
方案一：（设计无盖正方体盒子）如图1，当，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个棱长为（）的无盖的正方体纸盒；
方案二：（设计有盖正方体盒子）如图2，当，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形和两个同样大小的正方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体棱长大小一样，请你在图2中画出符合要求的设计图；
图1 图2 图3
问题解决：（1）根据方案一的操作，你发现与之间存在的数量关系为______；
（2）根据方案二的操作，你发现与之间存在的数量关系为______；
实际应用：（3）如图3，将一张长，宽的纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折合起来得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值．
25. 如图1，点O直线上，射线、在直线上方，，．
图1 备用图 备用图
（1）若，请说明射线是的角平分线；
（2）射线在直线上方，平分，，
①当时，求的度数
②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．2023—2024学年第一学期七年级校内期末质量检测
数学学科试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查负数的意义，解题的关键是运用负数来描述生活中的实例．首先审清题意，明确正数和负数所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作，
故选：A．
2. 截至2022年底，我国海上风电累计装机已超千瓦，连续两年位居全球首位，占比达一半左右．将数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，B地在灯塔O的西北方向，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，先根据方位角的描述得到， ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A地在灯塔O的北偏东方向，B地在灯塔O的西北方向，
∴， ，
∴，
故选：A．
5. 如图，点C为线段AB上一点，若，，则（ ）
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了线段的和差．熟练掌握线段的和差计算，是解决问题的关键．
根据线段是由与组成求解即可．
【详解】∵点C在线段AB上，，，
∴．
故选：D．
6. 如果，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等式的基本性质：“如果，那么”，“如果，那么”，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键．
【详解】解：A.将两边同时乘以可得，结论正确，故不符合题意；
B.将两边同时减可得，结论正确，故不符合题意；
C.当时，变形错误，故符合题意；
D.将两边同时加上可得，结论正确，故不符合题意；
故选：C．
7. 若表示a、b两数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，有理数的加减以及乘法运算法则；先观察数轴可知，，|，然后根据有理数的加减和乘法法则，对各个选项中的式子进行判断即可．
【详解】解：观察数轴可知：，，，
∴，，，，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
8. 若的值为5，则值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求代数式的值，根据题意得出，整体代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，则
∴，
故选：C．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果，那么点C为线段中点．
B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”．
C. 如果，，，那么A，B，C三点在一条直线上．
D. 已知且，依据“同角的补角相等”可得．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查线段中点定义、线段的基本事实、余角和补角的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．分别根据线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差，余角的性质，进行分析可得答案．
【详解】解：A．如果，点C不一定在线段上，所以错误，不符合题意；
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点之间线段最短”，所以错误，不符合题意；
C．如果，，，那么A，B，C三点在一条直线上，正确，符合题意；
D．已知且，依据“同角的余角相等”可得，所以错误，不符合题意．
故选：C．
10. 已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A. 8 B. 5 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．先根据等式的性质求出方程的解是，根据方程的解为正整数和k为整数求出k，再求出和即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∵关于x的方程的解为正整数，k为整数，
∴或，
解得：或，
∴和为．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 2024的倒数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了倒数，乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可．
【详解】解：，
2024的倒数是，
故答案为：．
12. 单项式的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数可得答案．
【详解】单项式的系数为．
故答案为：．
13. 一个角的余角等于，那么这个角等于______度．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是根据和为的两个角互为余角，列出算式进行计算即可．
【详解】解：∵一个角的余角等于，
∴这个角为．
故答案为：30．
14. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x，则可列方程______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，设人数为x，根据每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，列出方程即可．
【详解】解：设人数为x，根据题意得：
，
故答案为：．
15. 如果，那么的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：3．
16. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，，为折痕，若点的对应点恰好落在折痕上，且，则______．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠问题，平角的定义，设，则，根据折叠的性质可得，，进而得出，根据，即可求解．
【详解】解：设，则，
∵折叠，
∴，
又∵
即
∴
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】17.
18
【解析】
【分析】本题考查绝对值、有理数乘方以及有理数的四则混合运算；
（1）先去括号，移项后再从左往右依次加减；
（2）先求乘方并且去除绝对值的符号，再算乘除后算加减．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，；
【小问2详解】
解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
19. 先化简，再求值：，其中，
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查整式的化简求值，原式去括号，再合并同类项化简原式，继而将、的值代入计算可得.
【详解】解：
当，时，原式
20. 如图，已知，，若平分，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，根据角的和差、角平分线的定义，可得出答案．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴．
21. 一段公路甲队单独修需30天，乙队单独修需20天．先由甲队单独修路10天后，再由甲、乙两队共同修路，还需多少天才能修完？(列方程解决问题)
【答案】还需8天能修完
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设还需天能修完，由题意：一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修完，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设还需天能修完，
由题意得：
解得：，
答：还需天能修完．
22. 如图，点C为线段上一点，点D为线段延长线上一点且满足，
（1）尺规作图：根据题意补全图形；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，线段的和差倍分关系，掌握“画一条线段等于已知线段”是解本题的关键．
（1）以点B为圆心，为半径画弧，与的延长线交于一点，该点即为点D；
（2）先求解线段，再结合，根据求出结果即可．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求作的线段，
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
23. 某超市用3000元购进苹果、桔子两种水果共500千克，这两种水果的进价、标价如下表所示：
类型价格 苹果 桔子
进价（元/千克） 7 3
标价（元/千克） 10 6
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）若苹果按标价的八折出售，桔子也打折出售，那么这两种水果全部售出后，要使超市获利率为，桔子应打几折出售？
【答案】（1）购买苹果375千克，桔子购进125千克
（2）桔子应该打折出售
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量列方程是解题的关键．
（1）根据两个等量关系：苹果质量桔子质量，购买苹果钱数购买桔子钱数列方程解题即可；
（2）设桔子应打y出售，根据利润售价进价，列方程解题即可．
小问1详解】
解：设购买苹果x千克，桔子购进千克，根据题意得：
，
解得：，
∴桔子购进（千克），
答：购买苹果375千克，桔子购进125千克．
【小问2详解】
解：设桔子应打y出售，根据题意得：
，
解得：，
答：桔子应该打折出售．
24. 综合与实践：
某校七年级开展了“制作正方体纸盒”的实践活动课，他们利用长为（），宽为（）的长方形纸板设计并制作出正方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计），有以下两种设计方案：
方案一：（设计无盖正方体盒子）如图1，当，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个棱长为（）的无盖的正方体纸盒；
方案二：（设计有盖正方体盒子）如图2，当，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形和两个同样大小的正方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体棱长大小一样，请你在图2中画出符合要求的设计图；
图1 图2 图3
问题解决：（1）根据方案一操作，你发现与之间存在的数量关系为______；
（2）根据方案二操作，你发现与之间存在的数量关系为______；
实际应用：（3）如图3，将一张长，宽的纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折合起来得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图等知识；
（1）从而图形可以直观得出；
（2）横着4个面，竖着3个面，从而得出结果；
（3）从正方体的三类展开图可以得出结果．
【详解】解：（1）如图1，
∵，
∴；
（2）如图2，
∵，，
∴；
（3）如图3，
因为正方体的11种展开图中分为3类中，横排至少4个面，
∴正方体的棱长最大是，
∴表面积最大为：．
25. 如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．
图1 备用图 备用图
（1）若，请说明射线是的角平分线；
（2）射线在直线上方，平分，，
①当时，求的度数
②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①或；②存在；时，为定值
【解析】
【分析】（1）先求出，根据，求出，求出，得出，即可证明结论；
（2）①分两种情况：当在左侧时，当在左侧时，分别画出图形，求出结果即可；
②根据，，得出一定在内部，得出，，表示出，得出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴射线是的角平分线．
【小问2详解】
解：设度，则度，
，
①当在左侧时，如图所示：
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当在左侧时，如图所示：
，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
综上分析可知，或；
②存在；
∵，，
∴一定在内部，如图所示：
∵，，
又∵平分，
∴，
∵，
，
∴
，
∴当，即时，为定值．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
