高一数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 连续函数在定义域内有关数据如下：，，，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数在内一定不存在零点
B. 函数在内一定不存在零点
C. 函数在内一定存在零点
D. 函数内一定存在零点
3. 函数（且）的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
7. 近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为，，，且，满足，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的定义域为
C. 的值域为 D. 在其定义域上是增函数
10. 若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减
12. 给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”．下列给出的函数为“函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若角的终边上一点的坐标为，将角的终边按逆时针旋转得到角，则______．
14. 若函数对任意都有意义，则实数a的取值范围是______．
15. 已知函数为幂函数，且，若，则实数a的取值范围是______．
16. 已知函数，则______；若在上恒成立，则整数t的最小值为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．
（1）若，且为第三象限角，求x，y的值；
（2）若，求取值范围．
18. 已知：．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19. 已知幂函数在上满足，函数．
（1）求值；
（2）当时，记、的值域分别为、，设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20. 已知函数，当时，的最小值为．
（1）求；
（2）若，求a的值及此时的最大值．
21. 按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量最大值为万吨．
（1）求的解析式；
（2）按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内？（参考数据，，）
22. 设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称x为的一个“准不动点”．已知函数．
（1）若，求的准不动点；
（2）若为一个“准不动点”，且，求实数a的取值范围；
（3）设函数，若，，使得成立，求实数a的取值范围．高一数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值,
【详解】.
故选：B.
2. 连续函数在定义域内有关数据如下：，，，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数在内一定不存在零点
B. 函数在内一定不存在零点
C. 函数在内一定存在零点
D. 函数在内一定存在零点
【答案】D
【解析】
【分析】根据零点存在定理判断即可.
【详解】因为，，函数在内并不一定无零点，故A、C错误；
因为，，，
所以函数在内一定存在零点，故B错误，D正确，
故选：D.
3. 函数（且）的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用可求出函数的图象所过定点的坐标.
【详解】对于函数（且），由，可得，
又因为，故函数的图象过定点.
故选：D.
4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可得，利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，则，，
，故.
故选：A.
5. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积.
【详解】
可得：扇形面积，
三角形面积，
可得弓形面积，
故选：C
6. 已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得出，分析可知，分、两种情况讨论，求出的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为，当时，，
又因为函数在区间上的最大值为，
则，
若，则，此时，有，A合乎条件；
若，则，又因为，则，即.
BCD均不合乎题意.
故选：A.
7. 近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得出，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果.
【详解】由题意可知，，
则.
所以，当放电电流时，放电时间为.
故选：C.
8. 已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为，，，且，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，，变形后得到，求出值域.
【详解】画出的图象如下：
由题意得，，
令得，或4，故，
其中，
故，
，所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的定义域为
C. 的值域为 D. 在其定义域上是增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正切函数的周期性、定义域、值域以及单调性，结合复合函数的性质，即可判断和选择.
【详解】对A：的最小正周期为，又，
故的最小正周期为，A正确；
对B：若使得函数有意义，则，即，
解得，故B错误；
对C：，故可得，即的值域为，故C正确；
对D：不妨取，显然，但，
故在定义域上不是单调增函数，D错误.
故选：AC.
10. 若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，且，
对于A选项，，，A对；
对于B选项，，则，B对；
对于C选项，因为，所以，，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，因为所以，C错.
对于D选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即有最小值，又因为，s所以，D错；
故选：AB.
11. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先化简函数，再根据函数的图象求函数的解析式，结合三角函数的性质，即可判断A，B；利用图象平移求函数的解析式，再结合函数的性质，即可判断C，D.
详解】函数，当，
此时，，
因，所以，所以，故A正确；
，所以关于点对称，故B正确；
函数图象向左平移个单位长度后得到，
，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
，当时，，
所以函数在上单调递减，故D正确.
故选：ABD
12. 给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”．下列给出的函数为“函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】依题意，依次判断是否有非零解，即可求解.
【详解】解：对于A项，，故A项错误；
对于B项，由，得，则为“函数”，故B项正确；
对于C项，由，得，
得，显然有非零解，则“函数”，故C项正确；
对于D项，当时，则，
由，得，
得，得，因为，则，则为“函数”，故D项正确；
故选：BCD
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若角的终边上一点的坐标为，将角的终边按逆时针旋转得到角，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式可求得的值.
【详解】因为角的终边上一点的坐标为，则，
将角的终边按逆时针旋转得到角，则，
故.
故答案为：.
14. 若函数对任意都有意义，则实数a取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，转化为在恒成立，分离参数求解即可.
【详解】因为函数对任意都有意义，
所以在恒成立，
即在恒成立，因为在上单调递增，所以，
所以，
故答案为：.
15. 已知函数为幂函数，且，若，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】待定系数法求出解析式，得到其定义域和单调性，从而得到不等式，求出答案.
【详解】设，则，解得，
故，定义域为，且单调递减，
故，解得.
故答案为：
16. 已知函数，则______；若在上恒成立，则整数t的最小值为______．
【答案】 ①. ②. 12
【解析】
【分析】根据代入分段函数求值，画出简图，结合图象分析即可.
【详解】因为，所以，
因为，，所以.
图象如图：
，，，
时，，
时，，或，
时，，
所以时，恒成立，
整数t的最小值为12.
故答案为：；12.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．
（1）若，且为第三象限角，求x，y的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义得到，结合同角三角函数关系得到；
（2）利用诱导公式得到，结合三角函数定义和同角三角函数关系求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，
因为为第三象限角，所以，，
又，
解得，．
【小问2详解】
由，
所以，即，
所以
18. 已知：．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题干结合同角三角函数基本关系求解即可；
（2）结合诱导公式化简，进而结合同角三角函数基本关系化简求解即可.
【小问1详解】
由
解得：或
由得或
【小问2详解】
因为，所以．
所以
19. 已知幂函数在上满足，函数．
（1）求的值；
（2）当时，记、的值域分别为、，设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，再结合进行检验，即可得出实数的值；
（2）求出集合、，根据题意可得出 ，可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围，结合 检验即可得解.
【小问1详解】
解：因为函数为幂函数，则，
即，解得或.
当时，，则在上为增函数，则，合乎题意，
当时，，则在上为减函数，则，不合乎题意.
综上所述，.
【小问2详解】
解：由（1）得，
当时，，即，
当时，，即，
由是成立的必要不充分条件，则 ，显然，
则，解得，
验证当时， ，当时， ，
所以实数的取值范围为．
20. 已知函数，当时，的最小值为．
（1）求；
（2）若，求a的值及此时的最大值．
【答案】（1）
（2），的最大值是5
【解析】
【分析】（1）将转化为关于的二次函数，经配方得到对称轴，根据求得的范围，结合二次函数图象的单调性性质分段讨论得到的最小值为的解析式；
（2）根据（1）中的分段函数满足时的情况分别讨论得到值，最后结合不含参数的解析式，结合的有界性即得.
【小问1详解】
,
因为，所以
① 当，即时，则当时，取最小值，
的最小值为；
②当，即时，则当时，取最小值，
的最小值为；
③当，即时，则当时，取最小值,
的最小值为.
故.
【小问2详解】
当时，由解得：，不合题意，舍去；
当时，由，解得：或（舍去），故；
当时，由解得：，不合题意，舍去.
综上可知：，此时，则当时，得．
所以若，则有，此时的最大值是5.
21. 按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量最大值为万吨．
（1）求的解析式；
（2）按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内？（参考数据，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，年化学需氧量排放总量为，求出以及，即可得出的函数解析式；
（2）利用对数指数函数的单调性结合对数运算解不等式，即可得出结论.
【小问1详解】
解：设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，
年化学需氧量排放总量为，所以，则，
又，即，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，，
由，，
即，
所以，到年，将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内.
22. 设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称x为的一个“准不动点”．已知函数．
（1）若，求的准不动点；
（2）若为一个“准不动点”，且，求实数a的取值范围；
（3）设函数，若，，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）0或1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，解方程即可求解.
（2）在上有解，令，可得在上有解，分离参数即可求解.
（3）将问题转化为，利用单调性求出的最值，令，，可得恒成立，分离参数求解即可.
【小问1详解】
若，由可得，，
令，则，解或，
所以或，故的不动点为0或1
【小问2详解】
由可得，在上有解，
令，由可得，则在上有解，
故，
当时，在上单调递增，
所以，，
解得，故a的取值范围．
【小问3详解】
由，
则，
又在上单调递增，则，，
则，即
令，，则，从而，
则，又，在上均为增函数，则，
所以，即．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
