2023-2024 学 年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 卷
九 年 级 数 学
满分:120分
一.选择题.(每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里.每题3分，共30分)
1.在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则tanA 的值为
A. B.
C. D.
3.关于x的方程x +4x-4=0 的根的情况判断正确的是
A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.有一个实数根
4.如图，已知 则 DF 的长为
A.9 B.12
C.15 D.21
5.已知点P(2，m)在反比例函数 的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标为
A.(-2,1) B.(1,-2) C.(2,-1) D.(2,1)
6.下列图形一定相似的是
A.两个等腰三角形 B.两个等边三角形 C.两个直角三角形 D. 两个矩形
7.导体中的电流I(A)，导体的电阻 R(Ω)与导体两端的电压 U(V)之间满足关系式：U=IR，当U=220V时，下列说法错误的是
A. I 是 R 的反比例函数 B.Ⅰ与 R的函数图象是双曲线的一支
C. 当 R 越来越大时，I 也越来越大 D. 当 R=40Ω时,I为5.5A
8.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边上的中线，以 AC为直径作圆，设线段 CD的中点为 P，则点 P与⊙O的位置关系为
A.点P在⊙O内 B. 点 P在⊙O上
C.点 P在⊙O外 D.不能确定
9.已知二次函数 y=a x -bx-ca≠0的图象经过点A(-1,n),B(5,n-1),C(6,n+1),D(,y ),E(2,y ),F(4,y ),则y 、y 、y 的大小关系是 .
10.如图,在 ABCD中,点M、N分别是 AD、BC上的点,且AM=2DM,BN=2CN,点O 是 CM、DN的交点,直线 AB 分别与CM、DN的延长线交于点 P、Q.若 ABCD的面积为 144,则△POQ的面积为
A.72 B.216
C.268 D.300
二.填空题.(每题3分，共15分)
11.已知反比例函数 的图象在每一象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围是
12 扇形的半径为4cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 cm
13.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内,则sin∠APB=
14.一位同学在画二次函数 的图象时，把-b看成了 +b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位所得的图象，则b的值为
15.如图所示，已知正方形OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，点 F的坐标为(1，1)，点C 的坐标为(4，2)，则这两个正方形的位似中心的坐标是
三.解答题.(本大题8 小题，共75分)
16.(10分)(1)计算:
(2)经过实验获得两个变量： )的几组对应值如下表.
x 1 2 3 4 5 6
y 6 3 2 1.5 1.2 1
17.(8分)某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤.
(1)小明选择项目①的概率为 ；
(2)用画树状图或列表的方法求小明和小慧选择参加同一项目的概率.
18.(8分)如图,已知等腰 ,点 D、E分别在 BC、AB上,且4
(1)求证:
(2)如果 ,求 AB 的长.
19.(8分)如图，为了测量河对岸 A、B 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 C，测得 A、B均在C 的北偏东37°方向上，沿正东方向行走 90m至观测点D，测得A 在D 的正北方向，B在D 的北偏西53°方向上.求A、B两点间的距离.
(参考数据：8
20.(9分)如图,一次函数 )的图象与反比例函数 的图象交于点A、B，与x轴交于点 F，与y轴交于点C，点 A 的坐标为(6，2)，点B 的坐标为(
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点 E 是点C 关于x轴的对称点，求 的 面积.
21.(10分)某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价 x(元)之间满足一次函数关系：
(1)当文具店每周销售这种纪念册获得 150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元
(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大 最大利润是多少
22.(10分)如图,在. 中,经过 A、B两点的⊙O与边 BC 交于点E,圆心O 在BC上,过点O作 ，交⊙O 于点 D,连接AD交 BC 于点F,且
(1)试判断 AC与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积(结果保留π).
23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）[问题发现]
①当θ=0°时，； ②当θ=180°时，____；
（2）[拓展研究]
试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）[问题解决]
在旋转过程中，BE的最大值为______．
参考答案
选择题1-5CDABA 6-10BCADD
填空题
11.K<-2
12.
13.
14.12
15.(-2,0)或（）
解答题
16.(1)原式=
(2) 解：(1)函数图象如图所示，由图象得，y是关于x 的反比例函数.设函数解析式为 把 代入，得 k=6，∴函数解析式为
17.(1)
(2)列表如下：
小明 小慧 ① ② ③
① (①,①) (②,①) (③,①)
② (①,②) (②,②) (③,②)
③ (①,③) (②,③) (③,③)
由表知，共有9 种等可能的结果，其中小明和小慧选择参加同一项目的结果有3种，所以小明和小慧选择参加同一项目的概率为 故选 A.
18.(1)证明: ∵AB=AC,
∴ ∠B=∠C,
又∵∠BDE=∠CAD,
∴ △BDE∽△CAD;
(2)解: ∵△BDE∽△CAD,
∴AC=12,
∴AB=12 .
19.由题意得: ∠ECD=∠ADC=90°, ∠ECA=37°,∠ADB=53°,
∴∠ACD=∠ECD-∠ECA=53°, ∠BDC=∠ADC-
∠ADB=37°,
∴∠DBC=180°-∠BDC-∠ACD=90°,
∴∠ABD=180°-∠CBD=90°,
∴ ∠A=90°-∠ADB=37°,
在Rt△CBD中, CD=90米,
∴BD=CD·cos37°≈90×0.8=72(米),
在Rt△ABD中, ∠A=37°,
(米),
∴A, B两点间的距离约为96米
20.解:(1)∵点A(6,2)在反比例函数y=(m≠0)的图象上,∴m=6x2=12,
∴反比例函数的解析式为：y= ,
∵ 点B(a,-6)在 的画象上，代入得a=-2，
将A(6,2),B(-2,-6)代入y=kx+b 中得:
解得:
∴一次函数的解析式为y=x-4，
(2)由 y=x-4得:C(0,-4).
∵点E与点C关于x轴对称，
∴E(0,4),∴CE=8
S△ABE=S△ACE+S△BCE= ×2×8+ ×6×8=32
21.(1)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价为x元 ，
根据题意得：
整理得:
解得： 或 (舍去).
答：当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是25元.
(2)由题意可得： ，
∵-2<0
∴当 时,W 最大 (元)，
答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润
是200元.
22.(1)AC与⊙O的相切, 理由如下,
又
∴∠OFD+∠ODF=90°,
∴∠CAF+∠OAF=90°,
∴OA⊥AC,
∵OA是半径,
∴AC是⊙O的切线,
∴AC与⊙O的相切;
(2)过A作AM⊥BC于M,
设OA=OE=r,
在Rt△CAO中, 由勾股定理得:
解得r=1,
∴OC=OE+EC=2,
∴∠C=30°,
在Rt△CAM中,
∴S阴影部分=S△AOB-S扇形AOB
23.解：（1）①在Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB=AC，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠A，
∴∠DEA=∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴＝，
故答案为：
②如图，
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE=∠B，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴∠DEA=∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
∴=，
故答案为：；
（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化；
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴=，∠CAB=45°，
同理=，∠DAE=45°，
∴，
∵∠CAB=∠DAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ADC∽△AEB，
∴=；
（3）如答图，当点E在BA的延长线上时，BE最大，其最大值为AB+AE，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴AB= AC=，
∴AD=DE=AB=2，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=90°，
∴AE=AD=2，
∴BE最大=AB+AE=4+2，
故答案为：4+2．
